A massa está distribuída sobre a regiâo ® dada na maneira indicada. Ache a massa total (m) na região ®.
R : o triângulo com vértices (0,0),(4,0) e (4,4), com uma função de densidade (\sigma) dada por (\sigma(x, y)=y^{2}) quilogramas por metro quadrado.

Passo 1

O enunciado nos dá a região triangular R com vértices em (0,0), (4,0) e (4,4), e uma densidade superficial sigma(x,y)=y^2 kg/m ^2. Queremos a massa total
m=integral duplaRsigma(x,y),dA
Para isso, escolhemos descrever R como
0<= x<= 4, 0<= y<= x,
porque o lado oblíquo é a reta y=x.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla em ordem dy,dx:
m=integralx=0^4integraly=0^xy^2,dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^xy^2,dy =gl[y^33gr]0^x =x^33

Passo 4

Agora integramos em x:
m =integral0^4x^33,dx =13gl[x^44gr]0^4 =13cdot4^44 =112cdot 256 =25612 =643

Resposta

A massa total na região R é
m=643 kg

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