Uma matriz bissimétrica é uma matriz que é simétrica em relação a ambas as diagonais, isto é, uma ma \operatorname{triz} A=\left(a_{i j}\right), N \times N, é bissimétrica se a_{i j}=a_{j i}=a_{N+1-1, N+1-j}, para todo i=1,2, \ldots, N e j=1,2, \ldots, N.
Diversos problemas em teoria da comunicação têm soluções que envolvem os autovalores e os autovetores de matrizes que estão em forma bissimétrica. Por exemplo, o autovetor correspondente ao autovalor mínimo da matriz bissimétrica 4 \times 4
A=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right]
fornece a resposta ao impulso do canal de energia unitário para uma dada sequência de erro de comprimento 2 e subsequentemente o peso minimo de qualquer sequência de erro possivel.
a. Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para mostrar que, se A for a matriz dada acima e \lambda for seu autovalor mínimo, então |\lambda-4|=\rho(A-4 I), em que \rho denota o raio espectral.
b. Encontre o autovalor minimo da matriz A encontrando todos os autovalores de A-4 I e calculando seu raio espectral. A seguir, ache o autovetor correspondente.
c. Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para mostrar que, se \lambda é o autovalor mínimo da matriz
B=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & -1 & -1 & 1 \\\\ -1 & 3 & -1 & -1 \\\\ -1 & -1 & 3 & -1 \\\\ 1 & -1 & -1 & 3 \end{array}\right],
então |\lambda-6|=\rho(B-6 I).
d. Repita a parte (b) utilizando a matriz B e o resultado na parte (c).

Passo 1

O enunciado trata de duas matrizes reais simétricas 4\times4,
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 & 1\\\\ -1 & 3 & -1 & -1\\\\ -1 & -1 & 3 & -1\\\\ 1 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Nas partes (a) e (c) vamos aplicar o Teorema de Geršgorin a A-4I e a B-6I para mostrar que o raio espectral equivale a \lvert\lambda_{\min}-4\rvert e \lvert\lambda_{\min}-6\rvert, respectivamente. Nas partes (b) e (d) vamos calcular explicitamente os autovalores de A e B (ou de A-4I e B-6I) e encontrar o autovetor associado ao menor autovalor.

Passo 2

(a) Matriz A-4I tem entradas diagonais 2-4=-2 e fora da diagonal iguais às de A. Para cada linha i seu disco de Geršgorin é
D\bigl(a_{ii}-4,\;R_i\bigr),
onde R_i=\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
– Linha 1 e 4: centro -2, raio |{-1}|=1, disco [-3,-1].
– Linha 2 e 3: centro -2, raio |{-1}|+|{-1}|=2, disco [-4,0].
Logo todos os autovalores \mu_i de A-4I satisfazem
\mu_i\in[-4,0].
Como \mu_i=\lambda_i(A)-4 são reais, o raio espectral é
\rho(A-4I)=\max_i|\mu_i| =\max\bigl\{\,|\min_i\mu_i|,\;|\max_i\mu_i|\bigr\} =\bigl|\min_i\mu_i\bigr| =\bigl|\lambda_{\min}(A)-4\bigr|.

Passo 3

(b) A matriz A é o típico tridiagonal simétrico cuja fórmula exata dos autovalores é
\lambda_k(A) =2-2\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi}{5}\bigr), \quad k=1,2,3,4.
Logo os autovalores de A-4I são
\lambda_k(A)-4 =-2-2\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi}{5}\bigr).
Numericamente, em ordem crescente de \lambda_k(A) temos
\lambda_1(A) =2-2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)\approx0{,}38197,
e daí
\rho(A-4I) =\bigl|\lambda_1(A)-4\bigr| =4-\lambda_1(A) =2+2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr) \approx3{,}61803.
Assim o menor autovalor de A é
\lambda_{\min}(A) =2-2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr).
O autovetor normalizado (até escalar) que corresponde a esse autovalor tem componentes
v_j =\sin\!\bigl(\tfrac{j\pi}{5}\bigr), \quad j=1,2,3,4,
pois satisfaz a recorrência do autovetor do tridiagonal.

Passo 4

(c) Para B-6I procedemos igual. Cada linha de B-6I tem centro 3-6=-3 e soma dos módulos dos não-diagonais
R_i=|{-1}|+|{-1}|+|1|=3.
Todos os discos são [-6,0]. Logo seus autovalores \mu_i=\lambda_i(B)-6 estão em [-6,0] e
\rho(B-6I) =\max_i|\mu_i| =\bigl|\lambda_{\min}(B)-6\bigr|.

Passo 5

(d) Vamos achar os autovalores de B. Observando subespaços invariante por permutações, obtém‐se
\lambda(B)\in\{2,2,4,4\}.
O menor autovalor é \lambda_{\min}(B)=2. Assim
\rho(B-6I) =|2-6|=4.
Do espaço próprio \ker(B-2I) podemos escolher, por exemplo, o vetor
w=(1,0,0,-1)^{\mathsf T},
que satisfaz (B-2I)w=0 e é autovetor associado a \lambda=2.

Resposta

a. Aplicando Geršgorin a A-4I obtemos \rho(A-4I)=\lvert\lambda_{\min}(A)-4\rvert.
b. Os autovalores de A são \lambda_k=2-2\cos(k\pi/5),
logo \lambda_{\min}=2-2\cos(\pi/5) e um autovetor associado é \bigl(\sin(j\pi/5)\bigr)_{j=1}^4.
c. Aplicando Geršgorin a B-6I obtemos \rho(B-6I)=\lvert\lambda_{\min}(B)-6\rvert.
d. Os autovalores de B são \{2,2,4,4\}, logo \lambda_{\min}(B)=2 e, por exemplo, (1,0,0,-1)^{\mathsf T} é um autovetor correspondente.

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