Modifique o algoritmo de fatoração L D L^{i} conforme sugerido no texto de forma que possa ser utilizado para resolver sistemas lineares. Utilize o algoritmo modificado para resolver os sistemas lineares a seguir.
2 x_{1}-x_{2}=3,
-x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-3,
-x_{2}+2 x_{3}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}=3,\\\\ -\,x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-3,\\\\ -\,x_{2}+2x_{3}=1, \end{cases}
cuja matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}
é simétrica e definida positiva. O objetivo é usar a fatoração LDL ^T modificada para resolver diretamente Ax=b, sem precisar primeiro só fatorar e depois resolver em separado.

Passo 2

A modificação do algoritmo LDL ^T consiste em, após computarmos L e D, resolver três sistemas triangulares de forma encadeada:
  1. L\,y=b por substituição direta;
  2. D\,z=y dividindo cada componente y_i por d_i;
  3. L^T x = z por substituição retroativa.

Passo 3

Fatoração de A em L\,D\,L^T:
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}.
Para k=1:
d_{1}=a_{11}=2,\quad l_{2,1}=\frac{a_{21}}{d_{1}}=-\tfrac12,\quad l_{3,1}=\frac{a_{31}}{d_{1}}=0.
Atualiza-se
a_{22}^{(2)}=2-\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}\cdot2=\tfrac32,\quad a_{23}^{(2)}=-1,\quad a_{33}^{(2)}=2.
Para k=2:
d_{2}=a_{22}^{(2)}=\tfrac32,\quad l_{3,2}=\frac{a_{32}^{(2)}}{d_{2}}=-\tfrac23.
Atualiza-se
a_{33}^{(3)}=2-\bigl(-\tfrac23\bigr)^{2}\cdot\tfrac32=\tfrac43.
Para k=3:
d_{3}=a_{33}^{(3)}=\tfrac43.
Portanto
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac12 & 1 & 0\\\\ 0 & -\tfrac23 & 1 \end{pmatrix},\quad D=\operatorname{diag}\!\bigl(2,\tfrac32,\tfrac43\bigr).

Passo 4

Resolvendo L\,y=b e em seguida D\,z=y:
Para L\,y=b:
y_{1}=3,
y_{2}=-3-\bigl(-\tfrac12\bigr)\cdot3=-\tfrac32,
y_{3}=1-0\cdot3-\bigl(-\tfrac23\bigr)\,y_{2} =1-\bigl(-\tfrac23\bigr)\bigl(-\tfrac32\bigr) =1-1=0.
Para D\,z=y:
z_{1}=\frac{y_{1}}{d_{1}}=\frac{3}{2},\quad z_{2}=\frac{y_{2}}{d_{2}}=-1,\quad z_{3}=\frac{y_{3}}{d_{3}}=0.

Passo 5

Resolvendo L^T x=z por substituição retroativa:
Da terceira linha de L^T x=z:
x_{3}=z_{3}=0.
Da segunda linha:
x_{2}-\tfrac23\,x_{3}=z_{2}\implies x_{2}=-1.
Da primeira linha:
x_{1}-\bigl(-\tfrac12\bigr)x_{2}=z_{1} \implies x_{1}=\tfrac32-\bigl(-\tfrac12\bigr)\cdot(-1)=1.

Resposta

x=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.

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