Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
Identificamos que
com
O objetivo é calcular as derivadas de segunda ordem
,
,
,
e verificar a igualdade dos mistos.
Passo 2
Primeiro obtemos as derivadas de primeira ordem usando a regra da cadeia. Como
segue
Passo 3
Para
diferenciamos
em relação a . Com
e
, a regra do produto dá
em relação a
Aqui
logo
Passo 4
Por simetria, trocando
por
, obtemos
Passo 5
Para
diferenciamos
em relação a . Usando
em relação a
segue
Passo 6
Para
procedemos de modo análogo diferenciando
em relação a . O cálculo é idêntico por troca de variáveis, e resulta em
em relação a
Passo 7
Comparando, vemos que
ou seja, os derivados parciais mistos coincidem.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d) \n
(e) Confere-se que
(b)
(c)
(d)
(e) Confere-se que