Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=ln sen raizx^2+y^2

Passo 1

Identificamos que f(x,y)=lnl(sin(r)r) com
r = raizx^2 + y^2
O objetivo é calcular as derivadas de segunda ordem partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, partial^2 fpartial ypartial x, partial^2 fpartial xpartial y e verificar a igualdade dos mistos.

Passo 2

Primeiro obtemos as derivadas de primeira ordem usando a regra da cadeia. Como
ddrlnl(sin rr)=cot r, partial rpartial x=xr, partial rpartial y=yr,
segue
fx = cot(r),xr, fy = cot(r),yr

Passo 3

Para partial^2 fpartial x^2 diferenciamos
;fx=(x/r)cot(r);
em relação a x. Com u = x/r e v=cot(r), a regra do produto dá
partial^2 fpartial x^2 =partial upartial x,v +u,partial vpartial x
Aqui
partial upartial x =r^2 - x^2r^3 =y^2r^3, partial vpartial x =-csc^2(r),xr,
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partial^2 fpartial x^2 = y^2r^3,cot(r) - x^2r^2,csc^2(r)

Passo 4

Por simetria, trocando x por y, obtemos
partial^2 fpartial y^2 = x^2r^3,cot(r) - y^2r^2,csc^2(r)

Passo 5

Para partial^2 fpartial ypartial x diferenciamos
;fx=(x/r)cot(r);
em relação a y. Usando
partialpartial yl(xrr) =-xyr^3, partialpartial yl(cot(r)r) =-csc^2(r),yr,
segue
partial^2 fpartial ypartial x = -xyr^3,cot(r) - xyr^2,csc^2(r)

Passo 6

Para partial^2 fpartial xpartial y procedemos de modo análogo diferenciando
;fy=(y/r)cot(r);
em relação a x. O cálculo é idêntico por troca de variáveis, e resulta em
partial^2 fpartial xpartial y = -xyr^3,cot(r) - xyr^2,csc^2(r)

Passo 7

Comparando, vemos que
partial^2 fpartial ypartial x = partial^2 fpartial xpartial y,
ou seja, os derivados parciais mistos coincidem.

Resposta

(a) partial^2fpartial x^2 = y^2r^3cot(r); - ;x^2r^2csc^2(r)\n
(b) partial^2fpartial y^2 = x^2r^3cot(r); - ;y^2r^2csc^2(r)\n
(c) partial^2fpartial ypartial x = -,xyr^3cot(r); - ;xyr^2csc^2(r)\n
(d) partial^2fpartial xpartial y = -,xyr^3cot(r); - ;xyr^2csc^2(r)\n
(e) Confere-se que partial^2fpartial ypartial x = partial^2fpartial xpartial y

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