Nos problemas de 17 a 20, determine (a) , (b) , (c) , e
(d) .

Passo 1

O enunciado dá a função vetor
bar F(t) = l(e^t+3r), i + l(e^t+7r), j
e pede:
(a) bar F'(t), (b) bar F''(t), (c) bar F'(t)cdotbar F''(t) e (d) ddtl|bar F(t)r|.
Vamos usar diferenciação componente a componente, produto interno e a regra da cadeia para a norma.

Passo 2

Derivando componente a componente, como ddt(e^t+C)=e^t, obtemos
bar F'(t) = e^t, i + e^t, j

Passo 3

Derivando de novo, cada e^t e^t, logo
bar F''(t) = e^t, i + e^t, j

Passo 4

O produto interno é
bar F'(t)cdotbar F''(t) = l(e^tr)l(e^tr) + l(e^tr)l(e^tr) = 2,e^2t

Passo 5

A norma de bar F(t) é
l|bar F(t)r| = raiz(e^t+3)^2 + (e^t+7)^2
Usando ddt|bar F| = bar Fcdotbar F'|bar F|, calculamos
bar F(t)cdotbar F'(t) = (e^t+3)e^t + (e^t+7)e^t = 2e^2t + 10e^t,
logo
ddtl|bar F(t)r| = 2e^2t + 10e^traiz(e^t+3)^2 + (e^t+7)^2

Resposta

(a) bar F'(t)=e^t, i + e^t, j.
(b) bar F''(t)=e^t, i + e^t, j.
(c) bar F'(t)cdotbar F''(t)=2,e^2t.
(d) ddtl|bar F(t)r| = 2e^2t + 10e^traiz(e^t+3)^2 + (e^t+7)^2.

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