Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(21\left{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}\right})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = 1raizn^2+1;-;n
determinando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o limite. Vamos usar técnicas de álgebra (racionalização) e análise assintótica de sequência.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizn^2+1+n. Assim, temos
1raizn^2+1-n;cdot;raizn^2+1+nraizn^2+1+n =raizn^2+1+n(raizn^2+1-n)(raizn^2+1+n)

Passo 3

No denominador aparece uma diferença de quadrados, pois
(raizn^2+1-n)(raizn^2+1+n) =(n^2+1)-n^2=1
Logo a sequência se reduz a
an=raizn^2+1+n

Passo 4

Para n grande, raizn^2+1=nraiz1+1n^2. Usando a expansão para grandes n,
raiz1+1n^2=1+12n^2+o!l(tfrac1n^2r),
segue
raizn^2+1=nl(1+12n^2+o!l(tfrac1n^2r)r) =n+12n+o!l(tfrac1nr)
Assim
an=raizn^2+1+n =2n+12n+o!l(tfrac1nr),
que cresce sem limite à medida que ntoinfty.

Passo 5

Como an cresce proporcional a 2n para ntoinfty, não existe um valor finito para o limite. Concluímos que a sequência diverge, mais precisamente diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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