Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(21\left{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}\right})
(21\left{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}\right})
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
determinando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o limite. Vamos usar técnicas de álgebra (racionalização) e análise assintótica de sequência.
Passo 2
Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
. Assim, temos
Passo 3
No denominador aparece uma diferença de quadrados, pois
Logo a sequência se reduz a
Passo 4
Para
grande,
. Usando a expansão para grandes
,
segue
Assim
que cresce sem limite à medida que
.
Passo 5
Como
cresce proporcional a
para
, não existe um valor finito para o limite. Concluímos que a sequência diverge, mais precisamente diverge para
.
Resposta
A sequência diverge para
.