Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(23\left{n^{1 / \sqrt{n}}\right})
(23\left{n^{1 / \sqrt{n}}\right})
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu limite. O conteúdo principal aqui é limite de sequências que podem ser estudadas aplicando uma transformação logarítmica para lidar com expoentes dependentes de
.
Passo 2
Como
para todo
, vamos estudar o limite de
. Definimos
Passo 3
Agora calculamos
Sabemos que
cresce muito mais rápido que
, logo
(Se preferir, aplique a Regra de L’Hôpital ao considerar a função contínua
e
para
.)
Passo 4
Como
, pela continuidade da exponencial temos
Resposta
A sequência converge e