Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(23\left{n^{1 / \sqrt{n}}\right})

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n^1/raizn
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu limite. O conteúdo principal aqui é limite de sequências que podem ser estudadas aplicando uma transformação logarítmica para lidar com expoentes dependentes de n.

Passo 2

Como an>0 para todo n, vamos estudar o limite de ln(an). Definimos
ln(an) = lnl(n^1/raiznr) = ln nraizn

Passo 3

Agora calculamos
limntoinftyln(an) = limntoinftyln nraizn
Sabemos que raizn cresce muito mais rápido que ln n, logo
limntoinftyln nraizn = 0
(Se preferir, aplique a Regra de L’Hôpital ao considerar a função contínua f(x)=ln x e g(x)=raizx para xtoinfty.)

Passo 4

Como ln(an)to 0, pela continuidade da exponencial temos
limntoinftyan = limntoinftye^ln(an) = e^0 = 1

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn^1/raizn = 1

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