Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(24\left{n^{1 / n^{2}}\right})

Passo 1

O enunciado pede para a sequência
an = n^1/n^2
determinar se converge e, em caso afirmativo, calcular o seu limite. O conteúdo envolvido é o de limites de sequências, usando propriedades de logaritmo e exponencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Para estudar o limite, escrevemos an como exponencial do seu logaritmo:
an = expl(ln(an)r) com ln(an) = lnl(n^1/n^2r) = 1n^2,ln n

Passo 3

Analisamos o limite do expoente:
limntoinfty ln nn^2
Como n^2 cresce muito mais rápido que ln n, temos
limntoinfty ln nn^2 = 0

Passo 4

Portanto,
limntoinfty an = limntoinfty expl(tfracln nn^2r) = exp(0) = 1
Isso mostra que a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty n^1/n^2 = 1

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