Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(27\left{\frac{2 n+1}{3 n+2}\right})

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 2n+13n+2, ninN,
e pede para determinar ( 1) se ela é crescente, decrescente ou não-monótona; ( 2) se é limitada superiormente e/ou inferiormente; ( 3) se é convergente ou divergente. Vamos usar teste de monotonicidade por diferença de termos, estudar limites para limites superior e inferior, e aplicar o teorema de sequências monótonas e limitadas.

Passo 2

Para verificar a monotonicidade calculamos
an+1-an = 2(n+1)+13(n+1)+2-2n+13n+2 = 2n+33n+5-2n+13n+2
Fazendo a subtração numérica no numerador por meio de produto cruzado,
(2n+3)(3n+2)-(2n+1)(3n+5) =6n^2+13n+6-l(6n^2+13n+5r) =1
Logo,
an+1-an =1(3n+5)(3n+2)>0 forall n
Isso mostra que an é estritamente crescente.

Passo 3

Como an é crescente, o menor valor ocorre em n=1, que é
a1=2cdot1+13cdot1+2=35
Para ver se há limite superior, analisamos
limntoinftyan =limntoinfty2n+13n+2 =23
Como a sequência é crescente e tende a tfrac23, ela nunca ultrapassa esse valor; logo é limitada superiormente por tfrac23 e limitada inferiormente por tfrac35 (ou mesmo por qualquer número <=35).

Passo 4

Pelo Teorema de Bolzano (ou monotoni a+limite finito), como an é crescente e limitada superiormente, ela converge. O limite já foi calculado e é
limntoinftyan=23

Resposta

A sequência an=2n+13n+2 é crescente, limitada inferiormente por tfrac35 e limitada superiormente por tfrac23, e é convergente com
limntoinftyan=23

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