Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(27\left{\frac{2 n+1}{3 n+2}\right})
(27\left{\frac{2 n+1}{3 n+2}\right})
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar (
) se ela é crescente, decrescente ou não-monótona; (
) se é limitada superiormente e/ou inferiormente; (
) se é convergente ou divergente. Vamos usar teste de monotonicidade por diferença de termos, estudar limites para limites superior e inferior, e aplicar o teorema de sequências monótonas e limitadas.
Passo 2
Para verificar a monotonicidade calculamos
Fazendo a subtração numérica no numerador por meio de produto cruzado,
Logo,
Isso mostra que
é estritamente crescente.
Passo 3
Como
é crescente, o menor valor ocorre em
, que é
Para ver se há limite superior, analisamos
Como a sequência é crescente e tende a
, ela nunca ultrapassa esse valor; logo é limitada superiormente por
e limitada inferiormente por
(ou mesmo por qualquer número
).
Passo 4
Pelo Teorema de Bolzano (ou monotoni
imite finito), como
é crescente e limitada superiormente, ela converge. O limite já foi calculado e é
Resposta
A sequência
é crescente, limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
, e é convergente com