Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(28{\operatorname{sen} n \pi})

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an definida por
an = sin(npi)
Precisamos classificar sua monotonicidade (crescente, decrescente ou não-monótona), verificar se é limitada superiormente e/ou inferiormente e dizer se ela converge ou diverge.

Passo 2

Usamos a propriedade do seno para múltiplos de pi:
sin(npi)=0para todo inteiro n
Logo
an = 0para todo n

Passo 3

Como an é sempre igual a 0, temos
a1 = a2 = a3 = cdots = 0
Uma sequência constante é ao mesmo tempo não decrescente (crescente no sentido fraco) e não crescente (decrescente no sentido fraco). Portanto, ela é monótona.

Passo 4

Para qualquer n, an=0. Assim
supan=0 e infan=0,
ou seja, a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente.

Passo 5

Uma sequência constante converge para o próprio valor constante. Logo
limntoinftyan = limntoinfty0 = 0
Então a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é constante an=0, monótona (tanto não estritamente crescente quanto não estritamente decrescente), limitada superiormente e inferiormente, e convergente com
limntoinftyan = 0

Exercícios de Livros Relacionados