Nos problemas de 13 a 20, encontre cada derivada parcial.
g(x, y, z)=cos (x y z^2); (a) gx z(x, y, z), (b) gy z(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y,z)=cosl(x,y,z^2r)
e pede as derivadas mistas ,gxz e ,gyz. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e, nos casos de produto, a regra do produto.

Passo 2

Primeiro achamos a derivada parcial em relação a x. Defina
u(x,y,z)=x,y,z^2,
então
g(x,y,z)=cosl(u(x,y,z)r)
Pela regra da cadeia,
gx = -sinl(ur),partial upartial x = -sinl(x,y,z^2r)timesl(y,z^2r)
Portanto,
gx(x,y,z) = -y,z^2,sinl(x,y,z^2r)

Passo 3

Agora derivamos gx em relação a z. Como gx(x,y,z) = -y,z^2,sin(xyz^2), aplicamos a regra do produto a
A(z)=-y,z^2, B(z)=sinl(x,y,z^2r)
Temos
A'(z)=-ycdot 2z = -2y,z,
e, de novo pela cadeia,
B'(z)=cosl(x,y,z^2r)cdotddz(x,y,z^2) =cosl(x,y,z^2r)times(2x,y,z)
Assim,
gxz = A'(z),B(z) + A(z),B'(z) = l(-2y,zr)sinl(x,y,z^2r) +l(-y,z^2r)l(2x,y,zr)cosl(x,y,z^2r)
Logo,
gxz(x,y,z) = -2y,z,sinl(x,y,z^2r) -2x,y^2,z^3,cosl(x,y,z^2r)

Passo 4

Agora achamos gy diretamente do enunciado. Como antes,
g(x,y,z)=cosl(x,y,z^2r),
a regra da cadeia dá
gy = -sinl(x,y,z^2r),partialpartial y(x,y,z^2) = -sinl(x,y,z^2r)times(x,z^2)
Logo,
gy(x,y,z) = -x,z^2,sinl(x,y,z^2r)

Passo 5

Finalmente derivamos gy em relação a z. Aplicando produto em
C(z)=-x,z^2, D(z)=sinl(x,y,z^2r),
obtemos
C'(z)=-xcdot2z = -2x,z,
e novamente
D'(z)=cosl(x,y,z^2r),(2x,y,z)
Então
gyz = C'(z),D(z)+C(z),D'(z) = l(-2x,zr)sinl(x,y,z^2r) +l(-x,z^2r)l(2x,y,zr)cosl(x,y,z^2r),
isto é
gyz(x,y,z) = -2x,z,sinl(x,y,z^2r) -2x^2,y,z^3,cosl(x,y,z^2r)

Resposta

(a) gxz(x,y,z) = -2y,z,sinl(x,y,z^2r) -2x,y^2,z^3,cosl(x,y,z^2r)
(b) gyz(x,y,z) = -2x,z,sinl(x,y,z^2r) -2x^2,y,z^3,cosl(x,y,z^2r)

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