Nos problemas 17 a 24, verifique se a função é contínua no ponto indicado.
D=llx yy-2 x & se y neq 2 x 1 & se y=2 x em(1,2).

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)= dfracxyy-2x,&se yneq2x, 1,&se y=2x,
e pede para verificar a continuidade em (1,2). Lembrando que f é contínua em (1,2) se, e somente se,
lim(x,y)to(1,2)f(x,y)
existe e é igual a f(1,2).

Passo 2

Como em (1,2) temos y=2x, a definição nos dá
f(1,2)=1

Passo 3

Para examinar
lim(x,y)to(1,2)xyy-2x,
note que, ao aproximar de (1,2) mantendo yneq2x, o numerador tende a 1cdot2=2 e o denominador tende a 0. Por exemplo, siga o caminho
y=2x+h, hneq0 pequeno
Então
xyy-2x =x(2x+h)h ;longrightarrow;2h quando (x,y)to(1,2)
Se hto0^+, isso vai para +infty; se hto0^-, vai para -infty. Logo, o limite não existe finitamente.

Passo 4

Como o limite diverge, não pode coincidir com f(1,2)=1. Portanto f não é contínua em (1,2).

Resposta

f não é contínua em (1,2).

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