Seja w=e^x y, x=s^2+2 s t, e y=2 s t+t^2. Ache
partial^2 wpartial s^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função composta
w(s,t)=e^,u(s,t),com u(s,t)=x(s,t),y(s,t),
onde
x(s,t)=s^2+2s,t, y(s,t)=2s,t+t^2
Vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto para obter partial^2 wpartial s^2.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de x e y em relação a s:
partial xpartial s =2s+2t, partial ypartial s =2t

Passo 3

Como u=xy, usamos a regra do produto para obter
partial upartial s =y,partial xpartial s +x,partial ypartial s =(2s,t+t^2)(2s+2t)+(s^2+2s,t)(2t)
Desenvolvendo e somando termos semelhantes, vem
partial upartial s =6s^2,t+10s,t^2+2t^3

Passo 4

Agora derivamos partial upartial s mais uma vez em relação a s:
partial^2 upartial s^2 =partialpartial sl(6s^2,t+10s,t^2+2t^3r) =12s,t+10t^2

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula da segunda derivada de w=e^u:
partial^2 wpartial s^2 =e^ul[l(partial upartial sr)^2 +partial^2 upartial s^2r]
Substituindo u=xy, partial upartial s=6s^2t+10st^2+2t^3 e partial^2 upartial s^2=12st+10t^2, obtemos
partial^2 wpartial s^2 =e^,x yl[(6s^2t+10s,t^2+2t^3)^2+(12s,t+10t^2)r]

Resposta

partial^2 wpartial s^2 =e^,x yl[(6s^2t+10s,t^2+2t^3)^2+(12s,t+10t^2)r]

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