Suponha que barA=3 bari+barj-4 bark, barB=4 bari+barj-bark, barC=2 bari-5 barj+4 bark, barD=-2 bari+barj+7 bark, e barE=2 bari+barj-bark são vetores no espaço. Calcule cada uma das expressões.
ângulo theta3 entre barA-barB e barA+barB

Passo 1

O enunciado pede o ângulo theta3 entre os vetores baru=barA-barB e barv=barA+barB. O conteúdo necessário é a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = barucdotbarv|baru|;|barv|

Passo 2

Calcular baru=barA-barB. Temos
barA=(3,1,-4), barB=(4,1,-1),
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baru = barA-barB = (3-4,;1-1,;-4-(-1)) = (-1,0,-3)

Passo 3

Calcular barv=barA+barB. Assim,
barv = (3+4,;1+1,;-4+(-1)) = (7,2,-5)

Passo 4

Determinar o produto escalar barucdotbarv:
barucdotbarv = (-1)cdot7 + 0cdot2 + (-3)cdot(-5) = -7 + 15 = 8

Passo 5

Calcular as normas |baru| e |barv|:
|baru| = raiz(-1)^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz1+9 = raiz10,
|barv| = raiz7^2 + 2^2 + (-5)^2 = raiz49+4+25 = raiz78

Passo 6

Aplicar a fórmula do cosseno:
cos(theta3) = 8raiz10,raiz78 = 8raiz780 = 4raiz195
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theta3 = arccos!l(tfrac4raiz195r)

Resposta

theta3 = arccos!l(tfrac4raiz195r) approx 1,28 rad (approx 73,4^circ)

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