Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
(43 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \sqrt{k}}{k+10})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^infty (-1)^k,raizkk+10
usando testes apropriados e, caso converja, decidir se é convergência absoluta ou condicional. O conteúdo principal aqui é o teste da série alternada (critério de Leibniz) e o teste de comparação para séries positivas (p-série).

Passo 2

Vamos primeiro verificar a convergência absoluta, ou seja, estudar
sumk=1^infty |(-1)^k,raizkk+10| = sumk=1^infty raizkk+10
Para isso, comparamos com uma p-série sum k^-1/2.

Passo 3

Note que, para todo k>=1,
k+10 <= 11,k Longrightarrow raizkk+10 >= raizk11,k = 111,raizk
Como sumk=1^infty tfrac111,raizk diverge (é p-série com p=tfrac12<=1), pelo critério da comparação com séries divergentes, concluímos que
sumk=1^infty raizkk+10 diver>=
Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
sumk=1^infty (-1)^k,ak, ak = raizkk+10
Precisamos checar:
  1. limktoinftyak=0.
  2. ak é (eventualmente) monotonicamente decrescente.
  3. Claramente
limktoinfty raizkk+10 =limktoinfty k^1/2k(1+10/k) =limktoinfty 1k^1/2(1+10/k) =0
  1. Considere a função contínua
f(x)=raizxx+10 (x>0)
Seu derivada é
f'(x) =(1/(2raizx))(x+10)-raizx(x+10)^2 =10-x2,raizx,(x+10)^2
Para x>=10 temos f'(x)<=0, logo f (e portanto ak=f(k)) é decrescente para todo k>=10.
Como as duas condições do critério de Leibniz são satisfeitas, concluímos que a série alternada converge.

Resposta

A série converge, mas apenas condicionalmente (não converge absolutamente).

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