Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
sumk=1^infty kk+1(19)^k)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=1^infty kk+1l(19r)^k.
O conteúdo aqui são séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão para decidir convergência e, em seguida, verificar se a convergência é absoluta ou condicional.

Passo 2

Definimos
ak = kk+1l(19r)^k
Aplicando o teste da razão, calculamos
L = limktoinfty|ak+1ak| = limktoinfty k+1k+2l(19r)^k+1 kk+1l(19r)^k = limktoinftyk+1k+2,k+1k,19

Passo 3

Observando que
limktoinftyk+1k+2=1
e
limktoinftyk+1k=1,
segue
L = 19 < 1
Como L<1, pelo teste da razão a série converge.

Passo 4

Todos os termos ak são não negativos, portanto não há oscilações de sinal e a convergência obtida pelo teste da razão é ao mesmo tempo convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente, pois o teste da razão fornece L = 1/9 < 1.

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