Use o teste da comparação direta para determinar a convergência de cada série.
sumk=1^infty 1raiz10 k)

Passo 1

O enunciado dá a série
sumk=1^infty1raiz10,k
e pede para usar o teste da comparação direta. Vamos identificar que tipo de série é essa e escolher uma série-fonte conhecida (um p-série) para comparar.

Passo 2

Escrevendo o termo geral de forma mais clara, temos
ak = 1raiz10,k =1raiz10,raizk =1raiz10;1raizk,

Passo 3

Como tfrac1raiz10>0, podemos comparar ak com
bk = 1raizk,
De fato, para todo k>=1,
ak = 1raiz10;bk Longrightarrow ak >= 1raiz10;bk
Sabemos que sum bk = sumk=1^infty tfrac1k^1/2 é uma p-série com p=tfrac12<=1 e, portanto, diverge.

Passo 4

Pelo teste da comparação direta: se 0 <= c,bk <= ak com c>0 constante e sum bk diverge, então sum ak também diverge. Aqui c=tfrac1raiz10>0 e sum bk diverge, logo
sumk=1^inftyak =sumk=1^infty1raiz10,k
diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty1raiz10,k diverge.

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