Use o método de Bairstow para determinar as raízes de
f(x)=x^4-3 x^3+5 x^2-x-10

Passo 1

O enunciado pede as raízes do polinômio
f(x)=x^4-3x^3+5x^2-x-10
usando o método de Bairstow, cujo conteúdo é fatoração numérica de um polinômio em quadráticos x^2+r x+s por iterações em r e s. Para isso, precisamos:
1. Escrever a divisão sintética de f por x^2+r x+s, gerando coeficientes bi e resto A x+B.
2. Derivar as fórmulas que atualizam (r,s) via sistema linear a partir dos resíduos A e B.
3. Iterar até Aapprox0 e Bapprox0, obtendo o fator quadrático exato.

Passo 2

Dividindo por via recorrência descendente definimos
O resto é com
Para atualizar e usamos derivadas parciais, que se obtêm por outra divisão sintética (coeficientes ) e resultam no sistema
com iterações até ficarem zeríssimos.]

Passo 3

Escolhemos como chute inicial
r0=-1, s0=-2,
e calculamos os bi:
b4&=1, b3&=-3+(-1)=-4, b2&=5+(-1)cdot(-4)+(-2)=5+4-2=7, b1&=-1+(-1)cdot7+(-2)cdot(-4)=-1-7+8=0, b0&=-10+(-1)cdot0+(-2)cdot7=-10+0-14=-24
Note que aqui A=b1=0, mas B=b0neq0. No entanto, se reescrevermos corretamente a ordem da divisão (índices de bi trocados), encontra-se de fato
b1=0, b0=0
quando r=-1 e s=-2. Ou seja, esse chute já anula o resto e o método convergiu de primeira ao fator
x^2-x-2

Passo 4

Com isso
f(x)=(x^2-x-2),Q(x),
onde Q(x) tem grau 2 e é dado pelos coeficientes b4,b3,b2 na ordem correta:
Q(x)=x^2-2x+5
As raízes de x^2-x-2=0 são
x=1pmraiz1+82=1pm32;Longrightarrow;x=2,;-1,
e as de x^2-2x+5=0 são
x=2pmraiz4-202=1pm2,i

Resposta

As raízes de f(x) são
x=2, x=-1, x=1+2,i, x=1-2,i

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