Use o método de Müller para determinar a raiz positiva de
f(x)=x^3+x^2-3 x-5

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de M"uller à função
f(x)=x^3+x^2-3x-5
para encontrar sua raiz positiva. O método de M"uller constrói em cada iteração um polinômio quadrático que interpola três aproximações sucessivas de f e, a partir dele, gera uma nova aproximação mais precisa da raiz.

Passo 2

Escolhemos três valores iniciais que cercam a raiz positiva. Como f(1)=-6 e f(2)=1, e sabendo que a raiz está entre 1 e 2, fixamos
x0=1, x1=2, x2=3
Calculamos então
f(x0)=f(1)=-6, f(x1)=f(2)=1, f(x2)=f(3)=22

Passo 3

Agora fazemos a primeira iteração do método de M"uller:
Definimos
h0 = x1 - x0=1, h1 = x2 - x1=1,
de<a0 = f(x1)-f(x0)h0 = 1-(-6)1=7,de<a1 = f(x2)-f(x1)h1 = 22-11=21
Com isso, os coeficientes do polinômio interpolador quadrático são
a = de<a1 - de<a0h1 + h0 = 21-72=7,
b = a,h1 + de<a1 = 7cdot1 +21 = 28,
c = f(x2) = 22
A nova aproximação x3 é dada por
x3 = x2 + -2cb + sgn(b)raizb^2 - 4ac = 3 + -2cdot2228 + raiz28^2 - 4cdot7cdot22 approx 1,9253

Passo 4

Repetimos o procedimento tomando agora
x0'=x1=2, x1'=x2=3, x2'=x3approx1,9253,
e
f(x0')=1, f(x1')=22, f(x2')approx0,0749
Calculamos
h0' = 3-2=1, h1' = 1,9253-3=-1,0747,
de<a0' = 22-11=21, de<a1' = 0,0749-22-1,0747approx20,421
Então
a'=de<a1'-de<a0'h1'+h0'approx7,75, b'=a',h1'+de<a1'approx12,087, c'=0,0749
E a próxima aproximação
x4 = x2' + -2c'b' + sgn(b')raizb'^2 -4a'c' approx1,9191

Passo 5

Verificando lvert x4 - x3rvertapprox0,0062, que já é pequeno, podemos parar aqui obtendo a raiz positiva aproximada de f.

Resposta

A raiz positiva aproximada é
xapprox1,9191

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