Use os resultados envolvendo séries geométricas para encontrar a soma de cada série
sumk=0^infty[2(14)^k+7(17)^k+1])

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série
sumk=0^inftyl[2l(14r)^k+7l(17r)^k+1r]
O conteúdo aqui são séries geométricas, e vamos usar o resultado
sumk=0^inftyr^k=11-r,lvert rrvert<1

Passo 2

Separamos a soma em duas séries:
sumk=0^infty2l(14r)^k e sumk=0^infty7l(17r)^k+1

Passo 3

Para a primeira parte, r=tfrac14, então
sumk=0^infty2l(tfrac14r)^k =2sumk=0^inftyl(tfrac14r)^k =2cdot11-tfrac14 =2cdot1tfrac34 =83

Passo 4

Para a segunda parte, note que
sumk=0^inftyl(tfrac17r)^k+1 =tfrac171-tfrac17 =16
Multiplicando por 7,
7sumk=0^inftyl(tfrac17r)^k+1 =7cdot16 =76

Passo 5

Somando os resultados das duas partes:
83+76 =166+76 =236

Resposta

236

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