Use a série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de potências para cada expressão. Em cada caso, especifique o intervalo de valores de x para os quais a expansão é válida.
(16+x^4)^1 / 4)

Passo 1

O enunciado pede para achar um desenvolvimento em série de potências de
(16 + x^4)^1/4
usando a série binomial. Aqui o conteúdo é a expansão de (1+t)^alpha para alphainR e vamos precisar usar a forma
(1+t)^alpha = sumk=0^infty binomalphak t^k,
válida para lvert trvert<1.

Passo 2

Para aplicar a série binomial, escrevemos
(16 + x^4)^1/4 = 16^1/4,l(1 + tfracx^416r)^1/4
Como 16^1/4=2, isso fica
(16 + x^4)^1/4 = 2,l(1 + tfracx^416r)^1/4

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com alpha=tfrac14 e t = tfracx^416:
l(1 + tfracx^416r)^1/4 = sumk=0^infty binomtfrac14k,l(tfracx^416r)^k,
onde
binomtfrac14k = tfrac14,(tfrac14-1),(tfrac14-2)cdots(tfrac14-k+1)k!

Passo 4

Vamos escrever os primeiros termos:
  • Para k=0: binomtfrac140=1.
  • Para k=1: binomtfrac141=tfrac14, e l(tfracx^416r)^1 = tfracx^416.
  • Para k=2: binomtfrac142 = tfrac14cdot(tfrac14-1)2! = tfrac14cdot(-tfrac34)2 = -332, l(tfracx^416r)^2 = x^8256
  • Para k=3: binomtfrac143 = tfrac14cdot(-tfrac34)cdot(-tfrac74)3! = 7128, l(tfracx^416r)^3 = x^124096
Logo
l(1 + tfracx^416r)^1/4 = 1 + tfrac14,x^416 - 332,x^8256 + 7128,x^124096 + cdots
Simplificando cada coeficiente:
= 1 + x^464 - 3,x^88192 + 7,x^12524288 + cdots
Multiplicando tudo por 2 (veja Passo 2):
(16 + x^4)^1/4 = 2 + x^432 - 3,x^84096 + 7,x^12262144 + cdots

Passo 5

A condição de validade vem de lvert trvert<1, ou seja
llverttfracx^416rrvert < 1 Longrightarrow lvert xrvert^4 < 16 Longrightarrow lvert xrvert < 2

Resposta

(16 + x^4)^1/4 = 2 + x^432 - 3,x^84096 + 7,x^12262144 + cdots, válido para |x|<2 á

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