75 Use séries de potências para provar que
integral0^x tan ^-1 t d t=x tan ^-1 x-12 ln (1+x^2) para |x|<1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
F(x)=integral0^xtan^-1t,dt
para |x|<1, usando séries de potências. Vamos usar a expansão em série de Taylor de tan^-1t no intervalo de convergência |t|<1 e integrar termo a termo.

Passo 2

Começamos lembrando a série de Taylor centrada em 0 para tan^-1t, válida para |t|<1:
tan^-1t=sumn=0^infty(-1)^n,t^2n+12n+1
Isso vem da expansão de 11+u com u=t^2 e integração.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de t=0 até t=x. Como a série converge uniformemente em qualquer compacto de |t|<1, temos
F(x)=integral0^xtan^-1t,dt =sumn=0^infty(-1)^n,12n+1 integral0^xt^2n+1,dt =sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+2(2n+1)(2n+2)

Passo 4

Para reconhecer essa série como uma forma fechada, escrevemos as séries de
;xtan^-1x e de ;tfrac12ln(1+x^2).
  1. Da série de tan^-1x multiplicada por x:
xtan^-1x =sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+22n+1
  1. Da expansão de ln(1+u) com u=x^2:
ln(1+x^2)=sumk=1^infty(-1)^k-1,x^2kk,
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12ln(1+x^2) =sumk=1^infty(-1)^k-1,x^2k2k

Passo 5

Subtraindo termo a termo, para n>=0 trocando índice em ln:
xtan^-1x;-;12ln(1+x^2) =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+22n+1 ;-;sumn=1^infty(-1)^n-1x^2n2n
No segundo somatório, escreva nto n+1 para alinhar potências x^2n+2. Vai dar exatamente
sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+2(2n+1)(2n+2),
que coincide com a série de F(x) do passo 3.

Resposta

integral0^xtan^-1t,dt =xtan^-1x-12lnl(1+x^2r), |x|<1

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