75 Use séries de potências para provar que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva
para
, usando séries de potências. Vamos usar a expansão em série de Taylor de
no intervalo de convergência
e integrar termo a termo.
Passo 2
Começamos lembrando a série de Taylor centrada em
para
, válida para
:
Isso vem da expansão de
com
e integração.
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
até
. Como a série converge uniformemente em qualquer compacto de
, temos
Passo 4
Para reconhecer essa série como uma forma fechada, escrevemos as séries de
e de
.
- Da série de
multiplicada por :
- Da expansão de
com :
logo
Passo 5
Subtraindo termo a termo, para
trocando índice em
:
No segundo somatório, escreva
para alinhar potências
. Vai dar exatamente
que coincide com a série de
do passo 3.