Use a série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de potências para cada expressão. Em cada caso, especifique o intervalo de valores de x para os quais a expansão é válida.
integral0^x raiz[3]1+t^3 d t)

Passo 1

O enunciado pede para usar a série binomial generalizada para obter um desenvolvimento em série de potências da função
f(x)=integral0^xraiz[3]1+t^3;dt
e identificar o intervalo de x em que essa expansão converge. O conteúdo envolve a expansão
(1+u)^alpha=sumn=0^inftybinomalphanu^n para lvert urvert<1, e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro expandimos o integrando usando a série binomial com alpha=tfrac13 e u=t^3. Para lvert t^3rvert<1 (isto é, lvert trvert<1) vale
(1+t^3)^tfrac13 =sumn=0^inftybinomtfrac13n,t^3n,
onde
binomtfrac13n =l(tfrac13r)l(tfrac13-1r)cdotsl(tfrac13-n+1r)n!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 até x. Como
integral0^xt^3n,dt =x^3n+13n+1,
temos
integral0^x(1+t^3)^tfrac13dt =sumn=0^inftybinomtfrac13n,x^3n+13n+1

Resposta

integral0^xraiz[3]1+t^3,dt =sumn=0^inftybinomtfrac13n,x^3n+13n+1 =x+x^412-x^763+cdots,
válida para lvert xrvert<1.

Exercícios de Livros Relacionados