Use o Teorema do círculo de Geršgorin para mostrar que uma matriz estritamente diagonal dominante precisa ser não singular.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma matriz estritamente diagonal dominante é não singular, usando o Teorema de Gersgorin.
Conteúdo: definição de dominância diagonal estrita, Teorema dos círculos de Gersgorin e relação entre valor próprio zero e singularidade de uma matriz.
Conteúdo: definição de dominância diagonal estrita, Teorema dos círculos de Gersgorin e relação entre valor próprio zero e singularidade de uma matriz.
Passo 2
Definimos uma matriz
como estritamente diagonal dominante por linhas se, para todo
,
Para cada linha
associamos o raio
e o disco de Gersgorin
Passo 3
O Teorema de Gersgorin afirma que todo valor próprio
de
está contido na união dos discos:
Passo 4
Como
é estritamente diagonal dominante, em cada disco
temos
Se
pertencesse a algum
, então
ou seja
o que contradiz a dominância estrita. Logo
para todo
e, portanto,
não pode ser valor próprio de
.
Resposta
Como
não é valor próprio de
, temos
e, consequentemente,
é não singular.