Use o Teorema do círculo de Geršgorin para mostrar que uma matriz estritamente diagonal dominante precisa ser não singular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma matriz estritamente diagonal dominante é não singular, usando o Teorema de Gersgorin.
Conteúdo: definição de dominância diagonal estrita, Teorema dos círculos de Gersgorin e relação entre valor próprio zero e singularidade de uma matriz.

Passo 2

Definimos uma matriz A = (a_{ij})\in\mathbb{C}^{n\times n} como estritamente diagonal dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}| \;>\; \sum_{j\neq i} |a_{ij}|.
Para cada linha i associamos o raio
R_i \;=\;\sum_{j\neq i}|a_{ij}|
e o disco de Gersgorin
D_i \;=\;\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z - a_{ii}|\le R_i\}.

Passo 3

O Teorema de Gersgorin afirma que todo valor próprio \lambda de A está contido na união dos discos:
\lambda \;\in\;\bigcup_{i=1}^n D_i.

Passo 4

Como A é estritamente diagonal dominante, em cada disco D_i temos
|a_{ii}| > R_i.
Se 0 pertencesse a algum D_i, então
|0 - a_{ii}| \le R_i
ou seja
|a_{ii}|\le R_i,
o que contradiz a dominância estrita. Logo 0\notin D_i para todo i e, portanto, 0 não pode ser valor próprio de A.

Resposta

Como 0 não é valor próprio de A, temos \det(A)\neq 0 e, consequentemente, A é não singular.

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