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A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em um material semitransparente, com condutividade térmica k e espessura L , exposto à irradiação laser é descrita por

T x = - A k a 2 e - a x + B x + C

em que A ,   a ,   B e C são constantes conhecidas. Nessa condição, a absorção de radiação no material é manifestada por um termo de geração de energia distribuída,   q ˙ ( x ) .

(a) Obtenha expressões para os fluxos de calor por condução nas superfícies superior e inferior.

(b) Deduza uma expressão para q ˙ ( x ) .

(c) Desenvolva uma expressão para a taxa na qual a radiação é absorvida em todo material, por unidade de área superficial. Expresse seu resultado em termos das constantes conhecidas para a distribuição de temperaturas, da condutividade térmica do material e da sua espessura.

Passo 1

Bora ver essa questão lindona? Apesar de ter três alternativas ela é bem curtinha beleza? Então vamos lá! Aqui nós temos uma distribuição da temperatura em um meio semitransparente submetido a um fluxo radiativo.

E nós queremos encontrar as expressões para o fluxo de calor nas superfícies superior e inferior, a taxa de geração de calor e a expressão para radiação absorvida por unidade de superfície em termos de A ,   a ,   B , C ,   L e k . Então bora!

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que:

(1) Estamos em condição de estado estacionário;

(2) A condução é unidimensional no meio;

(3) As propriedades são constantes;

(4) Toda a irradiação com laser é absorvida e pode ser caracterizada por um termo volumétrico de geração de calor q ˙ ( x ) .

Para a letra (a) queremos calcular expressões para os fluxos de calor por condução nas superfícies. Conhecendo a distribuição de temperatura, vamos encontrar os fluxos de calor da superfície usando a lei de Fourier:

q x ' ' = - k d T d x = - k - A k a 2 - a e - a x + B

Para a superfície superior, x = 0 , temos:

q x ' ' 0 = - k + A k a . 1 + B = - A a + k B

Para a superfície inferior , x = L , temos:

q x ' ' L = - k + A k a e - a L + B = - + A a e - a L + k B

Passo 3

Na letra (b) queremos q ˙ ( x ) . Sabemos que equação de troca de calor por difusão no meio é:

d d x d T d x + q ˙ k = 0 ou q ˙ = - k d d x d T d x

Então, utilizando a segunda equação, temos:

q ˙ x = - k d d x + A k a e - a x + B = A e - a x

Passo 4

E por último, na letra (c), queremos uma expressão para a taxa na qual a radiação é absorvida em todo material. Fazendo o balanço de energia no meio, temos:

E ˙ e n t - E ˙ s a i + E ˙ g = 0

Onde E ˙ g representa a absorção por radiação. Por unidade de área superficial, temos:

E ' ' ˙ g = - E ˙ e n t ' ' + E ˙ s a i ' ' = - q x ' ' 0 + q x ' ' ( L ) = + A a ( 1 - e - a L )

Resposta

(a) q x ' ' 0 = - A a + k B

q x ' ' L = - + A a e - a L + k B

(b) q ˙ x = A e - a x

(c) E ' ' ˙ g = + A a ( 1 - e - a L )

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