Método dos Parâmetros Concentrados

Teoria Completa

Introdução

A gente já estudou muitas coisas, mas todas tinham algo em comum: a gente sempre assumia que o estado era estacionário. Sendo assim, as propriedades não mudavam ao longo do tempo.

Mas imagina que você pegue um corpo que está dentro do forno a uma temperatura alta T i e a coloque em uma piscina com água bem gelada T ∞ . Se a gente acompanhar a temperatura dessa placa, ela vai diminuir ao longo do tempo.

Logo que a gente coloca o corpo ali dentro, existe um gradiente de temperatura entre ele e o fluido, gerando um fluxo de calor. Sendo assim, o corpo perde energia. Ao perder essa energia, sua temperatura diminui. E isso acontece até a temperatura da esfera se igualar à do fluido.

Esse é um caso típico de um problema em que uma propriedade (a temperatura) varia no tempo. A isso chamamos de regime transiente!

No caso do regime estacionário, a gente conseguiu várias expressões analíticas para descrever o perfil de temperatura na parede plana, na esfera, no cilindro... Mas com o regime transiente não é tão fácil, as soluções analíticas são bem mais raras!

Mas o que é o método dos parâmetros concentrados?

Pois bem, o método dos parâmetros concentrados é uma das poucas soluções analíticas que a gente pode conseguir. Mas, como nada é de graça, pra usar esse método a gente adota uma simplificação:

“A condutividade do material ( k ) deve ser considerada infinita, para que a temperatura do sólido seja constante a cada instante de tempo.

Não existem materiais com condutividade térmica ( k ) infinita. Mas, se a resistência de condução R c o n d no interior do sólido for muito pequena quando comparada a resistência de convecção R c o n v , aí a gente pode assumir que a condutividade térmica é “infinita”. Ou seja:

R c o n d ≪ R c o n v

Dividindo os dois lados da inequação por R c v , a gente fica com:

R c o n d R c o n v ≪ 1

Para o caso da parede plana, a gente pode substituir as expressões das resistências:

L k . A 1 h . A ≪ 1

Reorganizando a inequação:

h . L k ≪ 1

Pronto! Agora tá mais tranquilo de ver como a gente define, na prática, se essa aproximação é válida. Com os valores de h , L e k conhecidos, a gente calcula essa razão e verifica se o valor é muito menor do que 1 .

Só que essa razão é tão importante que recebe uma nomenclatura especial, esse é o que chamamos do número de Biot ( B i ):

B i = R c o n d R c o n v = h . L k  

Mas você pode estar pensando: “Se esse número der 0,6 já tá bom? Ou ele tem que ser 0,00000003 pra eu considerar que é muito menor do que 1 ?”

É uma ótima pergunta! Muitos experimentos foram feitos e observaram que a simplificação já é válida se:

B i ≤ 0,1

Então, se der 0,6 você não pode usar esse método dos parâmetros concentrados, mas se der 0,09 já pode!

A gente só vai usar esse método pra parede plana?

Ótima pergunta, pequeno gafanhoto! E a resposta é “não”! A gente pode usar pra esferas e cilindros também usando o mesmo cálculo do número de Biot ( B i ).

Só que o comprimento L vai virar um comprimento característico L c e ele pode ser definido de duas formas:

  1. Razão entre o volume e a área superficial do sólido.
  2. Comprimento correspondente à maior diferença de temperatura no sólido.

Pra calcular pela primeira definição, basta saber como calcular os volumes e áreas, mas pra usar a segunda definição, você tem que prever onde seria o ponto mais quente e onde seria o ponto mais frio no sólido e encontrar essa distância.

Mas fica tranquilo, que eu já coloquei tudo bonitinho aqui pra você! Dá uma olhada:

Tudo muito bonito, mas como fazer os exercícios?

Isso aí! Pra isso, nada melhor que um exemplo! Você se lembra daquele corpo tava quente ( T i ) e você imergiu num fluido frio ( T ∞ ). Bora falar dele então!

Como tudo em Transferência de Calor, bora fazer um balanço de energia nesse corpo:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a = E ˙ a c u m u l a

Como não tem nenhuma energia entrando e o corpo não gera calor por si só, a gente fica com:

- E ˙ s a i = E ˙ a c u m u l a

A taxa de calor de saída ( E ˙ s a i ) é uma taxa de convecção, então a gente sabe como escrever sua expressão. E a taxa de acúmulo ( E ˙ a c u m u l a ) a gente já viu como pode escrever também:

- h . A . [ T ( t ) - T ∞ ] = ρ . V . c p . d T ( t ) d t

Em que T ( t ) é a temperatura do corpo num dado instante t e vale T i no início ( t = 0 ).

Vamos fazer aquela mudança de variável para a temperatura de excesso ( θ ):

- h . A . θ ( t ) = ρ . V . c p . d θ ( t ) d t

Essa é a equação que a gente tem pra resolver! Existem basicamente dois casos de problemas envolvendo o regime transiente:

Caso A: A gente sabe qual a temperatura final do corpo e queremos saber quanto tempo é necessário pra que essa temperatura seja alcançada. (Variável de interesse: t ( θ ) )

Caso B: A gente sabe quanto tempo o corpo vai ficar exposto ao fluido e quer saber sua temperatura final. (Variável de interesse: θ ( t ) )

Então a gente pode resolver a equação de duas maneiras, uma para cada caso:

Caso A: Solução para o tempo.

- d t = ρ . V . c p h . A . d θ θ

Integrando em ambos os lados:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ t

Caso B: Solução para a temperatura.

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ t

Aplicando a exponencial em ambos os lados e isolando o termo θ , a gente fica com:

exp ⁡ h . A . t ρ . V . c p = θ i θ ( t )

θ ( t ) θ i = exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Podemos escrever mais suscintamente a expressão como:

θ ( t ) θ i = exp ⁡ - t τ

Em que, a constante de tempo ( τ ) é dada por:

τ = ρ . V . c p h . A

OBS: Nessa solução, a gente pode ainda reorganizar os termos dentro do expoente e verificar a presença de dois números adimensionais importantes: o número de Biot ( B i ) e o número de Fourier ( F o ).

θ ( t ) θ i = exp ⁡ - B i . F o

Em que:

B i = h . L c k  

F o = k . t ρ . c p . L c 2 = α . t L c 2  

Como calcular a quantidade de calor trocada?

Além de saber a temperatura ou o tempo, às vezes a gente tá interessado em saber a quantidade de energia total que foi transferida ( Q ). Pra isso, basta a gente integrar a taxa de calor ao longo do tempo:

Q t = ∫ 0 t q t   d t  

Q t = ∫ 0 t h . A . θ ( t )   d t

Substituindo a expressão da temperatura de excesso que encontramos:

Q t = ∫ 0 t h . A . θ i . exp ⁡ - t τ   d t

Integrando a expressão:

Q t = - h . A . τ . θ i . exp ⁡ - t τ 0 t

Q t = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - t τ

Prontinho! Agora você já tá preparado pra enfrentar os desafios do regime transiente com o método da capacidade concentrada!

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um armazenamento de energia térmica consiste em um grande canal retangular no qual é bem isolado em sua superfície externa e engloba camadas alternadas de material de armazenagem e canal de escoamento.

Cada camada do material de armazenamento é uma placa de alumínio ( ρ = 2702   k g . m - 3 ,   c p = 1033   J . k g - 1 . K - 1   e   k = 231   W . m - 1 . K - 1 ) de largura W =   0,05   m , a qual está a uma temperatura de 25 o C . Considere condições para as quais a unidade de armazenamento é carregada pela passagem de um gás quente através dos canais. A temperatura do gás e o coeficiente de convecção são considerados valores constantes de T ∞ = 600 o C e h = 100   W . m - 2 . K - 1 em todo o canal.

a Quanto tempo irá levar para atingir 75 % da energia armazenada máxima possível?

b Qual será a temperatura do alumínio nesse instante?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Quanto tempo irá levar para atingir 75 % da energia armazenada máxima possível?

A gente pode encarar o problema como sendo várias paredes planas, tais que:

Dessa maneira, a gente precisa calcular o número de Biot do bloco pra verificar a validade da aproximação do método dos parâmetros concentrados ( B i < 0,1 ).

Para o caso das paredes planas, o comprimento característico ( L c ) é exatamente a metade da largura da parede ( W / 2 ), então:

B i = h . L c k             →             B i = h . W 2 . k

Substituindo os valores:

B i = 100   W . m - 2 . K - 1 . 0,05   m 2 . 231   W . m - 1 . K - 1

B i = 0,011

Como B i < 0,1 , a gente pode usar o método dos parâmetros concentrados!

Passo 2

O enunciado nos pede qual é o tempo ( t x ) pra que a quantidade de energia armazenada atinja 75 % da quantidade máxima de calor ( Q m á x ). A gente pode escrever da seguinte maneira:

Q t x = 0,75 . Q m á x

A gente sabe que a quantidade de calor na situação do corpo sob convecção somente depende do tempo e é dada por:

Q t = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - t τ

Vamos entender então o que acontece em diferentes momentos:

No instante inicial, a transferência de calor ainda não começou, logo a quantidade de calor trocado será igual a zero, como podemos ver substituindo t = 0 na equação:

Q 0 = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - 0 τ =   - h . A . τ . θ i . 1 - 1 = 0