Método dos Parâmetros Concentrados

Teoria Completa

Introdução

A gente já estudou muitas coisas, mas todas tinham algo em comum: a gente sempre assumia que o estado era estacionário. Sendo assim, as propriedades não mudavam ao longo do tempo.

Mas imagina que você pegue um corpo que está dentro do forno a uma temperatura alta T i e a coloque em uma piscina com água bem gelada T ∞ . Se a gente acompanhar a temperatura dessa placa, ela vai diminuir ao longo do tempo.

Logo que a gente coloca o corpo ali dentro, existe um gradiente de temperatura entre ele e o fluido, gerando um fluxo de calor. Sendo assim, o corpo perde energia. Ao perder essa energia, sua temperatura diminui. E isso acontece até a temperatura da esfera se igualar à do fluido.

Esse é um caso típico de um problema em que uma propriedade (a temperatura) varia no tempo. A isso chamamos de regime transiente!

No caso do regime estacionário, a gente conseguiu várias expressões analíticas para descrever o perfil de temperatura na parede plana, na esfera, no cilindro... Mas com o regime transiente não é tão fácil, as soluções analíticas são bem mais raras!

Mas o que é o método dos parâmetros concentrados?

Pois bem, o método dos parâmetros concentrados é uma das poucas soluções analíticas que a gente pode conseguir. Mas, como nada é de graça, pra usar esse método a gente adota uma simplificação:

“A condutividade do material ( k ) deve ser considerada infinita, para que a temperatura do sólido seja constante a cada instante de tempo.

Não existem materiais com condutividade térmica ( k ) infinita. Mas, se a resistência de condução R c o n d no interior do sólido for muito pequena quando comparada a resistência de convecção R c o n v , aí a gente pode assumir que a condutividade térmica é “infinita”. Ou seja:

R c o n d ≪ R c o n v

Dividindo os dois lados da inequação por R c v , a gente fica com:

R c o n d R c o n v ≪ 1

Para o caso da parede plana, a gente pode substituir as expressões das resistências:

L k . A 1 h . A ≪ 1

Reorganizando a inequação:

h . L k ≪ 1

Pronto! Agora tá mais tranquilo de ver como a gente define, na prática, se essa aproximação é válida. Com os valores de h , L e k conhecidos, a gente calcula essa razão e verifica se o valor é muito menor do que 1 .

Só que essa razão é tão importante que recebe uma nomenclatura especial, esse é o que chamamos do número de Biot ( B i ):

B i = R c o n d R c o n v = h . L k  

Mas você pode estar pensando: “Se esse número der 0,6 já tá bom? Ou ele tem que ser 0,00000003 pra eu considerar que é muito menor do que 1 ?”

É uma ótima pergunta! Muitos experimentos foram feitos e observaram que a simplificação já é válida se:

B i ≤ 0,1

Então, se der 0,6 você não pode usar esse método dos parâmetros concentrados, mas se der 0,09 já pode!

A gente só vai usar esse método pra parede plana?

Ótima pergunta, pequeno gafanhoto! E a resposta é “não”! A gente pode usar pra esferas e cilindros também usando o mesmo cálculo do número de Biot ( B i ).

Só que o comprimento L vai virar um comprimento característico L c e ele pode ser definido de duas formas:

  1. Razão entre o volume e a área superficial do sólido.
  2. Comprimento correspondente à maior diferença de temperatura no sólido.

Pra calcular pela primeira definição, basta saber como calcular os volumes e áreas, mas pra usar a segunda definição, você tem que prever onde seria o ponto mais quente e onde seria o ponto mais frio no sólido e encontrar essa distância.

Mas fica tranquilo, que eu já coloquei tudo bonitinho aqui pra você! Dá uma olhada:

Tudo muito bonito, mas como fazer os exercícios?

Isso aí! Pra isso, nada melhor que um exemplo! Você se lembra daquele corpo tava quente ( T i ) e você imergiu num fluido frio ( T ∞ ). Bora falar dele então!

Como tudo em Transferência de Calor, bora fazer um balanço de energia nesse corpo:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a = E ˙ a c u m u l a

Como não tem nenhuma energia entrando e o corpo não gera calor por si só, a gente fica com:

- E ˙ s a i = E ˙ a c u m u l a

A taxa de calor de saída ( E ˙ s a i ) é uma taxa de convecção, então a gente sabe como escrever sua expressão. E a taxa de acúmulo ( E ˙ a c u m u l a ) a gente já viu como pode escrever também:

- h . A . [ T ( t ) - T ∞ ] = ρ . V . c p . d T ( t ) d t

Em que T ( t ) é a temperatura do corpo num dado instante t e vale T i no início ( t = 0 ).

Vamos fazer aquela mudança de variável para a temperatura de excesso ( θ ):

- h . A . θ ( t ) = ρ . V . c p . d θ ( t ) d t

Essa é a equação que a gente tem pra resolver! Existem basicamente dois casos de problemas envolvendo o regime transiente:

Caso A: A gente sabe qual a temperatura final do corpo e queremos saber quanto tempo é necessário pra que essa temperatura seja alcançada. (Variável de interesse: t ( θ ) )

Caso B: A gente sabe quanto tempo o corpo vai ficar exposto ao fluido e quer saber sua temperatura final. (Variável de interesse: θ ( t ) )

Então a gente pode resolver a equação de duas maneiras, uma para cada caso:

Caso A: Solução para o tempo.

- d t = ρ . V . c p h . A . d θ θ

Integrando em ambos os lados:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ t

Caso B: Solução para a temperatura.

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ t

Aplicando a exponencial em ambos os lados e isolando o termo θ , a gente fica com:

exp ⁡ h . A . t ρ . V . c p = θ i θ ( t )

θ ( t ) θ i = exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Podemos escrever mais suscintamente a expressão como:

θ ( t ) θ i = exp ⁡ - t τ

Em que, a constante de tempo ( τ ) é dada por:

τ = ρ . V . c p h . A

OBS: Nessa solução, a gente pode ainda reorganizar os termos dentro do expoente e verificar a presença de dois números adimensionais importantes: o número de Biot ( B i ) e o número de Fourier ( F o ).

θ ( t ) θ i = exp ⁡ - B i . F o

Em que:

B i = h . L c k  

F o = k . t ρ . c p . L c 2 = α . t L c 2  

Como calcular a quantidade de calor trocada?

Além de saber a temperatura ou o tempo, às vezes a gente tá interessado em saber a quantidade de energia total que foi transferida ( Q ). Pra isso, basta a gente integrar a taxa de calor ao longo do tempo:

Q t = ∫ 0 t q t   d t  

Q t = ∫ 0 t h . A . θ ( t )   d t

Substituindo a expressão da temperatura de excesso que encontramos:

Q t = ∫ 0 t h . A . θ i . exp ⁡ - t τ   d t

Integrando a expressão:

Q t = - h . A . τ . θ i . exp ⁡ - t τ 0 t

Q t = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - t τ

Prontinho! Agora você já tá preparado pra enfrentar os desafios do regime transiente com o método da capacidade concentrada!

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um armazenamento de energia térmica consiste em um grande canal retangular no qual é bem isolado em sua superfície externa e engloba camadas alternadas de material de armazenagem e canal de escoamento.

Cada camada do material de armazenamento é uma placa de alumínio ( ρ = 2702   k g . m - 3 ,   c p = 1033   J . k g - 1 . K - 1   e   k = 231   W . m - 1 . K - 1 ) de largura W =   0,05   m , a qual está a uma temperatura de 25 o C . Considere condições para as quais a unidade de armazenamento é carregada pela passagem de um gás quente através dos canais. A temperatura do gás e o coeficiente de convecção são considerados valores constantes de T ∞ = 600 o C e h = 100   W . m - 2 . K - 1 em todo o canal.

a Quanto tempo irá levar para atingir 75 % da energia armazenada máxima possível?

b Qual será a temperatura do alumínio nesse instante?

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Passo 1

a Quanto tempo irá levar para atingir 75 % da energia armazenada máxima possível?

A gente pode encarar o problema como sendo várias paredes planas, tais que:

Dessa maneira, a gente precisa calcular o número de Biot do bloco pra verificar a validade da aproximação do método dos parâmetros concentrados ( B i < 0,1 ).

Para o caso das paredes planas, o comprimento característico ( L c ) é exatamente a metade da largura da parede ( W / 2 ), então:

B i = h . L c k             →             B i = h . W 2 . k

Substituindo os valores:

B i = 100   W . m - 2 . K - 1 . 0,05   m 2 . 231   W . m - 1 . K - 1

B i = 0,011

Como B i < 0,1 , a gente pode usar o método dos parâmetros concentrados!

Passo 2

O enunciado nos pede qual é o tempo ( t x ) pra que a quantidade de energia armazenada atinja 75 % da quantidade máxima de calor ( Q m á x ). A gente pode escrever da seguinte maneira:

Q t x = 0,75 . Q m á x

A gente sabe que a quantidade de calor na situação do corpo sob convecção somente depende do tempo e é dada por:

Q t = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - t τ

Vamos entender então o que acontece em diferentes momentos:

No instante inicial, a transferência de calor ainda não começou, logo a quantidade de calor trocado será igual a zero, como podemos ver substituindo t = 0 na equação:

Q 0 = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - 0 τ =   - h . A . τ . θ i . 1 - 1 = 0

Daí pra frente, quanto maior o valor de t , menor será o valor da exponencial e consequentemente maior será a quantidade de energia trocada. Sendo assim, o máximo de calor trocado é atingido quando o tempo tender ao infinito:

Q ∞ = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - ∞ τ =   - h . A . τ . θ i . 1 - 0 = - h . A . τ . θ i = Q m á x

Substituindo na equação:

Q t x Q m á x = 0,75

Q t x Q m á x = 1 - exp ⁡ - t x τ = 0,75

Assim:

exp ⁡ - t x τ = 0,25

t x = - τ . ln ⁡ 0,25  

Em que:

τ = ρ . V . c p h . A             →             τ = ρ . L c . c p h           →             τ = ρ . W . c p 2 . h

τ = 2702   k g . m - 3 . 0,05   m . 1033   J . k g - 1 . K - 1 2 . 100   W . m - 2 . K - 1

τ = 697,8   s

Logo:

t x = - 697,8   s . ln ⁡ 0,25

t x = 967,4   s

Isso significa aproximadamente 16   m i n .

Passo 3

b Qual será a temperatura do alumínio nesse instante?

Agora estamos num problema do caso B, em que já sabemos o tempo ( t x ) e precisamos determinar a temperatura do corpo! Sendo assim, a gente tem que:

θ ( t x ) θ i = exp ⁡ - t x τ

Substituindo os valores que encontramos e já sabemos do enunciado:

θ t x = 298 - 873   K . exp ⁡ - 967,4   s ( 697,8   s )

Logo:

θ t x = - 143,7   K

E, lembrando da definição da temperatura de excesso, a temperatura da esfera nesse instante será:

T t x = 873   K - 168,7   K

T t x = 729,3   K

Resposta

a t x = 967,4   s

b T t x = 729,3   K

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma esfera sólida de aço ( ρ = 7835   k g . m - 3 ,   c p = 559   J . k g - 1 . K - 1   e   k = 48,8   W . m - 1 . K - 1 ) de 300   m m de diâmetro é revestida com uma camada de material dielétrico de espessura 2   m m e condutividade térmica 0,04   W . m - 1 . K - 1 . A esfera revestida está inicialmente a uma temperatura de 500 o C e é subitamente resfriada em um grande banho de óleo, o qual se encontra a T ∞ = 100 o C e h =   3300   W . m - 2 . K - 1 . Estime o tempo necessário para que a temperatura da esfera revestida atinja 140 o C .

Dica: despreze o efeito do armazenamento de energia no material dielétrico, uma vez que sua capacidade térmica ( ρ . c . V ) é pequena quando comparada com a da esfera de aço.

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Passo 1

Esse é exatamente pra gente exercitar e ver se entendemos tudo certinho! Bora lá!

A situação proposta pelo enunciado pode ser esquematizada da seguinte forma:

Bom, então a gente tem que calcular quanto tempo leva pra esfera atingir 140 o C . Como é um problema transiente, a gente pode verificar se dá pra usar o método dos parâmetros concentrados

Então, bora calcular o número de Biot desse problema:

B i = h . L c k

Mas aqui a gente não tem só a esfera, tem também um revestimento que a gente precisa contabilizar! Mas tem uma forma da gente simplificar isso, dá uma olhada!

A gente sabe que uma esfera aquecida sem isolamento vai perder calor para o fluido e essa transferência está associada à resistência de convecção do meio. Se colocarmos um revestimento, essa resistência à transferência aumenta e passa a ser:

R t o t = R c o n v + R r e v e s t  

Substituindo as expressões da resistência convectiva e condutiva na esfera:

R t o t = 1 h . A + 1 / r 1 - 1 / r 2 4 π . k  

R t o t = 1 3300   W . m - 2 . K - 1 . π . 0,302   m 2 + 0,150   m - 1 - 0,152   m - 1 4 π . ( 0,04   W . m - 1 . K - 1 )

R t o t = 0,176   K . W - 1

Mas por que estamos fazendo isso? Porque a gente precisa de uma expressão para o coeficiente de convecção ( h ) pra calcular o B i , mas não podemos usar o 3300   W . m - 2 . K - 1 direto, porque temos que levar em consideração a resistência do revestimento.

Agora que a gente já sabe a resistência, podemos propor um coeficiente global de transferência ( U ), que contabiliza os dois efeitos (condução e convecção) da seguinte forma:

U . A = 1 R t o t

U . A = 5,7   W . K - 1

Dividindo pela área da esfera, a gente fica com o coeficiente global:

U = 5,7   W . K - 1 π . 0,300   m 2  

U = 20   W . m - 2 . K - 1

A gente deve calcular o B i com esse valor!

Passo 2

Além disso, o comprimento característico ( L c ) pode ser calculado de duas maneiras:

  1. Razão entre o volume do sólido e a área superficial do sólido.
  2. Comprimento correspondente à maior diferença de temperatura no sólido.

Bora ver quanto dá cada um deles. Pela razão entre volume e área da esfera, a gente fica com:

L c = V e s f A e s f             →             L c = π 6 . D 3 π . D 2           →             L c = D 6

Pela distância que corresponde a maior diferença de temperatura, a gente tem que:

L c = D 2

Como o B i fica menor usando a primeira opção, bora usar ele, porque assim fica mais fácil da aproximação do método dos parâmetros concentrados valer ^^

Assim:

B i = h . D 6 . k             →             B i = 20   W . m - 2 . K - 1 . 0,300   m 6 . 48,8   W . m - 1 . K - 1             →             B i = 0,021

Como B i < 0,1 , a gente pode usar o método dos parâmetros concentrados! Então, vamos aos cálculos!

Passo 3

O enunciado é um exemplo do caso A, então temos que:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ

Podemos escrever de outra forma:

t = ρ . D . c p 6 . U . ln ⁡ θ i θ

Substituindo os valores do enunciado:

t = 7835   k g . m - 3 . 0,300   m . 559   J . k g - 1 . K - 1 6 . 20   W . m - 2 . K - 1 . ln ⁡ 773 - 373   K 413 - 373   K

t = 25212   s  

Isso equivale a aproximadamente 7 h !

Resposta

t = 25212   s           ( = ~ 7 h )

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Eixos de aço carbono (AISI 1010) com 0,1   m de diâmetro são tratados termicamente pelo aquecimento em fornalhas a gás onde os gases se encontram a 1200   K e mantêm um coeficiente convectivo de 100   W / m 2 K .

Se os eixos entram no forno a 300   K , quanto tempo eles devem permanecer no interior da fornalha para suas linhas de centro atingirem a temperatura de 800   K ?

Dados: ρ = 7832   k g / m 3 , k = 51,2   W / m K , c p = 541   J / k g K , α = 1,21 × 10 - 5   m 2 / s .

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Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer aqui é calcular o número de Biot pra saber se podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados pra resolver o problema.

B i = h . L c k

Para cilindros, de acordo com a tabela na Teoria deste tópico, L c = D / 4 , logo:

B i = h . D 4 k

Onde:

h = 100   W / m 2 K

D = 0,1   m

k = 51,2   W / m K

Substituindo os valores:

B i = 100 × 0,1 4 × 51,2

B i = 0,0488 < 0,1

Opa! Então está de boassa usar o Método dos Parâmetros Concentrados.

Passo 2

Pelo Método dos Parâmetros Concentrados nós temos que:

θ ( t ) θ i = T - T ∞ T i - T ∞ = exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Agora é só reorganizar a equação pra isolar o tempo t :

- h . A . t ρ . V . c p = ln ⁡ T - T ∞ T i - T ∞

t = - ρ . V . c p h . A . ln ⁡ T - T ∞ T i - T ∞

Onde:

ρ = 7832   k g / m 3

V A = π r 2 L 2 π r L = r 2 = D 4 = 0,1 4 = 0,025   m

c p = 541   J / k g K

T = 800   K

T i = 300   K

T ∞ = 1200   K