Enunciado

Uma calha de água de seção transversal semicircular com raio de 0,5 m consiste em duas pares simétricas com dobradiças entre as partes inferiores, como mostra a Figura P3-58. As duas partes são mantidas juntas por um cabo e esticador colocados a cada 3 m ao longo do comprimento da calha. Calcule a tensão em cada cabo quando a calha está cheia até a borda.

Passo 1

Vamos começar com as hipóteses:

  1. A pressão atmosférica age em ambos os lados da parede e assim pode ser ignorada nos cálculos;
  2. O peso da calha pode ser desprezado.

Para determinarmos a altura em cada caso, precisamos obter a força hidrostática resultante. Para isso, primeiro fazemos um diagrama de corpo livre da metade da calha:

Passo 2

A força hidrostática resultante F R pode ser determinada a partir dos componentes horizontal e vertical F H e F V . A componente horizontal é:

F H = F x = P m é d A = ρ g h C A = ρ g R 2 A

F H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,5 ⋅ 3 = 3679   N

Para esse caso, a força vertical na superfície horizontal é zero, pois coincide com superfície livre. Assim a componente vertical da força hidrostática é igual ao peso do fluido em um bloco de 3 m de comprimento:

F V = W = ρ g V = ρ g w ⋅ π R 2 4 = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 0,5 4 = 5779   N

A intensidade e a direção da força hidrostática resultante são:

F R = F H 2 + F V 2 = 3679 2 + 5779 2 = 6851   N

tan ⁡ θ = F V F H = 5779 3679 = 1,571 → θ = 57,52 °

Passo 3

Para obtermos a tensão no cabo quando a calha está cheia, fazemos o somatório de momentos em A entre a força resultante e a tensão do cabo:

∑ M A = 0 → - F R R sin ⁡ 90 ° - θ + T R = 0

T = F R sin ⁡ ( 90 - θ ) = 6851 sin ⁡ ( 90 ° - 57,52 ° ) = 3679   N

Resposta

T = 3679   N

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