Enunciado

Uma fábula antiga descreve como um navio de madeira foi destruído por soldados que refletiram luz do sol nos seus escudos de bronze polido sobre o casco, fazendo o navio ficar em chamas. Para testar a validade da fábula, um grupo de estudantes recebeu espelhos que usaram para refletir luz do sol sobre uma área de 100 mm × 100 mm de um modelo de madeira, com espessura t = 10 mm, caracterizado por k   =   0,8 W m K . A base do modelo esta imersa em água a T a   =   20 ° C , enquanto a temperatura do ar é T = 25°C. A vizinhança encontra-se a T v i z   =   23 ° C . A madeira tem emissividade igual a ε = 0,90; nas duas superfícies da madeira há um coeficiente de transferência de calor h   =   5 W m 2 K . A irradiação absorvida dos N espelhos dos estudantes é G S , N   =   70.000 W m 2 na superfície frontal do modelo.

  1. Seguiu-se um debate sobre onde o raio deveria ser focado, localização A ou localização B. Usando um método de diferenças finitas, com Δx = Δy = 100 mm, e tratando a madeira como uma superfície bidimensional estendida (Figura 3.17a), esclareça aos estudantes sobre qual posição A ou B seria mais efetiva na ignição da madeira, determinando a temperatura máxima local, em regime estacionário.
  2. Alguns estudantes desejaram saber se a mesma técnica poderia ser utilizada para derreter um casco de aço inoxidável. Repita a parte (a) considerando um modelo de aço inoxidável com as mesmas dimensões e k   =   15 W m K e ε = 0,2. O valor da irradiação absorvida é o mesmo da parte (a).

Passo 1

Mais uma bem legal ein galerinha !!

Vamos colocar nossos pontinhos na figura dada:

Os pontos de 1 até 6 possuem a temperatura da água, certo?

T 1 = T 2 = T 3 = T 4 = T 5 = T 6 = 20 ° C + 273 = 293   K

Os demais pontos são internos e ainda sofrem convecção e radiação através dos dois lados, certo?

Ponto 7:

k t d x T 15   -   T 7 d y   + k t d y T 8   -   T 7 d x   +   2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 7 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 7 4 )   =   0

Ponto 8:

k t d y ( T 7   -   T 8 ) d x   + k t d x ( T 16   -   T 8 ) d y   + k t d y ( T 9   -   T 8 ) d x     + k t d x ( T 1   -   T 8 ) d y +   2 h ( d x d y ) ( T ∞   -   T 8 )   +   2 ε σ ( d x d y ) ( T v i z 4   -   T 8 4 )   =   0

Ponto 9:

k t d y ( T 8   -   T 9 ) d x   +   k t d x ( T 17   -   T 9 ) d y   +   k t d y ( T 10   -   T 9 ) d x   + k t d x ( T 2   -   T 9 ) d y + 2 h ( d x d y ) ( T ∞   -   T 9 )   +   2 ε σ ( d x d y ) ( T v i z 4   -   T 9 4 )   =   0

Ponto 11:

k t d y ( T 10   -   T 11 ) d x   +   k t d x ( T 19   -   T 11 ) d y   +   k t d y ( T 12   -   T 11 ) d x   + k t d x ( T 4   -   T 11 ) d y + 2 h ( d x d y ) ( T ∞   -   T 11 )   +   2 ε σ ( d x d y ) ( T v i z 4   -   T 11 4 )     =   0

Ponto 12:

k t d y ( T 11   -   T 12 ) d x   +   k t d x ( T 20   -   T 12 ) d y   + k t d y ( T 13   -   T 12 ) d x + k t d x ( T 5   -   T 12 ) d y + 2 h ( d x d y ) ( T ∞   -   T 12 )   +   2 ε σ ( d x d y ) ( T v i z 4   -   T 1 2 4 )   =   0

Ponto 13:

k t d y ( T 12   -   T 13 ) d x   +   k t d x 2 ( T 21   -   T 13 ) d y   + k t d x 2 ( T 6   -   T 13 ) d y + 2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 13 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 13 4 ) =   0

Ponto 14:

k t d x ( T 23   -   T 14 ) d y + k t d y ( T 15   -   T 14 ) d x   + 2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 14 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 14 4 )   =   0

Ponto 15:

k t d y ( T 14   -   T 15 ) d x   + k t d x ( T 7   -   T 15 ) d y   + k t d y ( T 16   -   T 15 ) d x   + k t d x ( T 24   -   T 15 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 15 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 15 4 )     =   0

Ponto 16:

k t d y ( T 15   -   T 16 ) d x   + k t d x ( T 8   -   T 16 ) d y   + k t d y ( T 17   -   T 16 ) d x   + k t d x ( T 25   -   T 16 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 16 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 16 4 )       =   0

Ponto 17:

k t d y ( T 16   -   T 17 ) d x   + k t d x ( T 9   -   T 17 ) d y   + k t d y ( T 18   -   T 17 ) d x   + k t d x ( T 26   -   T 17 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 17 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 17 4 ) =   0

Ponto 18:

k t d y ( T 17   -   T 18 )   d x   + k t d x ( T 10   -   T 18 )   d y   + k t d y ( T 19   -   T 18 )   d x   + k t d x ( T 27   -   T 18 )   d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 18 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 18 4 )   =   0

Ponto 19:

k t d y ( T 18   -   T 19 ) d x   + k t d x ( T 11   -   T 19 ) d y   + k t d y ( T 20   -   T 19 ) d x   + k t d x ( T 28   -   T 19 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 1 9 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 19 4 )     =   0

Ponto 20:

k t d y ( T 19   -   T 20 ) d x   + k t d x ( T 12   -   T 20 ) d y   + k t d y ( T 21   -   T 20 ) d x   + k t d x ( T 29   -   T 20 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 20 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 20 4 )       =   0

Ponto 21:

k t d y ( T 20   -   T 21 ) d x   + k t d x 2 ( T 13   -   T 21 ) d y   + k t d x 2 ( T 30   -   T 21 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 1 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 1 4 )     =   0

Ponto 23:

k t d y 2 ( T 22   -   T 23 ) d x   + k t d x ( T 14   -   T 23 ) d y   + k t d y 2 ( T 24   -   T 23 ) d x   +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 3 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 3 4 ) =   0

Ponto 24:

k t d y 2 ( T 2 3   -   T 2 4 ) d x   + k t d x ( T 1 5   -   T 23 ) d y + k t d y 2 ( T 2 5   -   T 2 4 ) d x   +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 4 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 4 4 ) =     0

Ponto 25:

k t d y 2 ( T 2 4   -   T 2 5 ) d x   +   k t d x ( T 1 6   -   T 2 5 ) d y   + k t d y 2 ( T 2 6   -   T 2 5 ) d x   +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 5 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 5 4 ) =     0

Ponto 26:

k t d y 2 ( T 2 5   -   T 2 6 ) d x   +   k t d x ( T 1 7   -   T 2 6 ) d y   +   k t d y 2 ( T 2 7   -   T 2 6 ) d x   +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 6 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 6 4 ) =     0

Ponto 27:

k t d y 2 ( T 2 6   -   T 2 7 ) d x   + k t d x ( T 1 8   -   T 2 7 ) d y   + k t d y 2 ( T 2 8   -   T 2 7 ) d x   +   2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 2 7 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 2 7 4 ) =     0

Ponto 28:

k t d y 2 ( T 2 7   -   T 2 8 ) d x + k t d x ( T 1 9   -   T 2 8 ) d y   +   k t d y 2 ( T 2 9   -   T 2 8 ) d x   +   2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 2 8 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 2 8 4 ) =     0

Ponto 29:

k t d y 2 ( T 2 8   -   T 2 9 ) d x   +   k t d x ( T 20   -   T 2 9 ) d y   + k t d y 2 ( T 30   -   T 2 9 ) d x   +   2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 2 9 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 2 9 4 ) =     0

Ponto 30:

k t d y 2 ( T 2 9   -   T 30 ) d x   +   k t d x 2 ( T 2 1   -   T 30 ) d y   +   2 h d x d y 4 ( T ∞   -   T 30 )   +   2 ε σ d x d y 4 ( T v i z 4   -   T 30 4 ) =     0

Essas equações permaneceram constantes, porem quando focamos os raios no ponto 22 teremos:

Ponto 10:

k t d y ( T 9   -   T 10 ) d x   + k t d x ( T 18   -   T 10 ) d y     +   k t d y ( T 11   -   T 10 ) d x   + k t d x ( T 4   -   T 10 ) d y +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 29 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 29 4 ) =     0

Ponto 22:

k t d y 2 ( T 9   -   T 22 ) d x +   2 h d x d y 8 ( T ∞   -   T 2 2 )   +   2 ε σ d x d y 8 ( T v i z 4   -   T 2 2 4 )   + G s N d x d y 8   =   0

Lançando os dados no software IHT:

T 22 = 613,6 ° C

Agora nós vamos fazer as contas para quando os raios são direcionados para o ponto 10:

Ponto 10:

k t d y ( T 9   -   T 10 ) d x   + k t d x ( T 18   -   T 10 ) d y     +   k t d y ( T 11   -   T 10 ) d x   + k t d x ( T 4   -   T 10 ) d y +   2 h d x d y T ∞   -   T 10 +   2 ε σ d x d y T v i z 4   -   T 10 4 + G s N d x d y =     0

Ponto 22:

k t d y 2 ( T 9   -   T 22 ) d x +   2 h d x d y 8 ( T ∞   -   T 22 )   +   2 ε σ d x d y 8 ( T v i z 4   -   T 22 4 )   =   0

Lançando os dados no software IHT:

T 10 = 613,6 ° C

Então, para ambos os casos a temperatura alcançada será a mesma !!

Por isso não vai importar se direcionarem os raios para a localização A ou B!!

Passo 2

Na letra (b) nós precisamos fazer a mesma coisa, mas aqui se trata do aço e não da madeira, sendo assim, e k   =   15 W m K e ε = 0,2.

Lançaremos agora nossos dados no software, porém com tais valores diferentes, certo?

Quando os raios são direcionados para o ponto 22:

T 22 = 804,7 ° C

E quando ela é feita no ponto 10:

T 10 = 767,3 ° C

Portanto, é preferível que os raios sejam direcionados para a localização A !!!

Ufaaaa !!

Acabamos mais umaa

Resposta

  1. I n d e p e n d e   d a   L o c a l i z a ç ã o ;
  2. L o c a l i z a ç ã o   A .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma análise por diferenças finitas, em condições de regime estacionário, foi efetuada em uma aleta cilíndrica com um diâmetro de 12 mm e condutividade térmica de 15 W m K . O processo de transferência
Considere uma aleta plana triangular, bidimensional, com comprimento L = 50 mm e espessura na base de t = 20 mm. A condutividade térmica da aleta é k=25 W m K . A temperatura de sua base é T b=50 ° C
Seja a condução bidimensional, em regime estacionário, em uma seção transversal quadrada com temperaturas superficiais especificadas. Determine as temperaturas nos nós 1, 2, 3 e 4. Estime a temperatur
Uma folha metálica delgada, com espessura 0,25 mm e um padrão de orifícios extremamente pequenos, serve como uma grade de aceleração para controlar o potencial elétrico de um feixe de íons. Tal grade
Considere usar a metodologia experimental do Problema 4.70 para determinar a distribuição de coeficientes de transferência de calor ao redor de um aerofólio de forma complexa.Levando em conta a conduç