Enunciado

Um muro de arrimo contra um deslizamento de lama deve ser construído colocando-se blocos de concreto retangulares de 0,8 m de altura e 0,2 m de largura ( ρ = 2700   k g / m 3 ) lado a lado, como mostra a Figura P3-61. O coeficiente de atrito entre o solo e os blocos de concreto é f = 0,3, e a densidade da lama é de cerca de 1800 kg/m³. Existe a preocupação de que os blocos de concreto deslizem ou escapem da aresta esquerda inferior à medida que o nível de lama suba. Determine a altura da lama na qual (a) os blocos superarão o atrito e começarão a deslizar e (b) escaparão.

Passo 1

Vamos começar com as hipóteses:

  1. A pressão atmosférica age em ambos os lados da parede e assim pode ser ignorada nos cálculos;
  2. A linha de ação da força hidrostática passa pelo centro de pressão.

Para determinarmos a altura em cada caso, precisamos obter a força hidrostática resultante. Para isso, primeiro fazemos um diagrama de corpo livre do muro:

Passo 2

Para determinarmos a força de atrito nos blocos, vamos obter o peso dos blocos:

W b l o c o = ρ g V = 2700 ⋅ 9,81 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 ⋅ 1 = 4238   N

F a t r i t o = μ W b l o c o = 0,3 ⋅ 4238 = 1271   N

A força hidrostática que age sobre o muro é:

F H = F x = P m é d A = ρ l a m a g h C A = ρ l a m a g h 2   ( 1 × h )

F H = 1800 ⋅ 9,81 ⋅ h 2 2 = 8829 h 2   N

Igualando a força de atrito com a força hidrostática, a altura para que os blocos superem o atrito será:

8829 h 2 = 1271 → h = 0,379   m

Passo 3

Para obtermos a altura em que os blocos escaparão, fazemos o somatório de momentos em A:

∑ M A = 0

Observe que a linha de ação da força hidrostática passa pelo centro de pressão, que nesse caso coincide com o centroide do triângulo formado pela ação da pressão, igual a 2h/3 a partir da superfície livre. A linha de ação do peso do muro passa no plano médio do mesmo. Logo:

F H ( h / 3 ) - W b l o c o ( e / 2 ) = 0 → 8829 h 3 / 3 = W b l o c o ( e / 2 )

h = 3 W b l o c o e 2 × 8829 1 3 = 3 ⋅ 4238 ⋅ 0,1   2 × 8829 1 3 = 0,416   m

Resposta

  1. h = 0,379   m
  2. h = 0,416   m
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