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Um tubo em U contém água no braço direito e outro líquido no braço esquerdo. Observa-se que, quando o tubo em U gira a 30   r p m em torno do eixo que está a 15   c m do braço direito e 5   c m do braço esquerdo, os níveis de líquido em ambos os braços se igualam. Determine a densidade do fluido no braço esquerdo.

Passo 1

Bom, nesse problema temos um tubo em U contendo água no braço direito e outro líquido no braço. O que vamos fazer é determinar a densidade do fluido que não conhecemos.

Para a resolução vamos considerar que os fluidos são incompressíveis e que os dois fluidos se encontram no eixo de rotação, assim, existe apenas água à direita.

Passo 2

Começamos estabelecendo que a diferença de pressão entre dois pontos 1 e 2 é:

P 2 - P 1 = ρ ω 2 2 r 2 2 - r 1 2 - ρ g z 2 - z 1

Calculando a velocidade angular, temos:

ω = 2 π f = 2 π 30 r e v m i n × 1   m i n 60   s = 3,14   r a d / s

Passo 3

Tendo o seguinte diagrama:

Concluimos que a pressão no ponto 2 é igual para os dois fluidos, da mesma forma que as pressões nos pontos 1 e 1 * , portanto, P 2 - P 1 é o mesmo.

A diferença entre z 2 e z 1 nos dá - h , assim, para a água temos:

P 2 - P 1 * = ρ w ω 2 2 0 - R 2 2 - ρ w g - h = ρ w - ω 2 R 2 2 2 + g h

E, para o fluido que não conhecemos:

P 2 - P 1 = ρ f ω 2 2 0 - R 1 2 - ρ f g - h = ρ f - ω 2 R 1 2 2 + g h

Igualando as duas expressões, temos:

ρ f - ω 2 R 1 2 2 + g h = ρ w - ω 2 R 2 2 2 + g h

ρ f = - ω 2 R 2 2 2 + g h - ω 2 R 1 2 2 + g h ρ w

Assim, substituindo os dados:

ρ f = - 3,14 r a d s 2 0,15   m 2 2 + 9,81 m s 2 × 0,1   m - 3,14 r a d s 2 0,05   m 2 2 + 9,81 m s 2 × 0,1   m × 1000 k g m 3

ρ f = - 3,14 r a d s 2 0,15   m 2 + 9,81 m s 2 × 0,1   m - 3,14 r a d s 2 0,15   m 2 + 9,81 m s 2 × 0,1   m × 1000 k g m 3 = 794 k g m 3

Prontinho!!

Resposta

794 k g m 3

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