Deslocamento X Distância Percorrida

Teoria Completa

Deslocamento x Distância Percorrida

Deslocamento e distância percorrida são dois conceitos muito usados no estudo do movimento, e geralmente as pessoas tendem a confundí-los, porque os dois fazem referência à posição do objeto.

Então vamos diferenciá-los para que você consiga entender bem o que é o que e quando usá-los.

- Deslocamento é a variação da posição, no deslocamento importa apenas o estado inicial e final do objeto.

Assim, se um objeto saiu da posição zero e cruzou o mundo inteiro três vezes e no fim voltou para a mesma posição. Não importa se ele cruzou o mundo três ou infinitas vezes se no fim ele parou no mesmo lugar que iniciou o movimento, o deslocamento desse objeto foi zero.

Como o deslocamento é a variação da posição final e inicial, dizemos que:

d e s l o c a m e n t o = Δ S = S f - S 0

É importante observar que o deslocamento depende do sentido do movimento e por isso ele tem sinal, representando se o deslocamento foi no sentido positivo ou negativo.

- A distância percorrida é o quanto o objeto andou (o número de metros que o objeto percorreu)

Esse conceito se importa com qual caminho o objeto fez, assim se um objeto saiu da posição zero e cruzou o mundo inteiro três vezes e no fim voltou para a mesma posição. Vamos ter que descobrir quanto ele andou para cruzar o mundo as três vezes, para poder calcular qual foi a distância percorrida por esse objeto.

A distância percorrida não leva em consideração o sentido do movimento, apenas quanto o objeto andou e por isso não tem sinal.

Só para dar um exemplo, se você der uma volta em uma pista de corrida circular o seu deslocamento será zero, pois a sua posição inicial será igual a final e a distância percorrida será a extensão dessa pista, beleza?

Velocidade média x Velocidade escalar média

A velocidade média é definida como a variação da posição no tempo, por isso podemos dizer que a velocidade média é o deslocamento de um objeto no tempo.

v m = Δ S Δ t = D e s l o c a m e n t o Δ t

Assim, a velocidade média tem sinal, representando o sentido do movimento, assim como o deslocamento.

Por outro lado, a velocidade escalar média s m é a distância total percorrida no tempo, assim podemos escrever a fórmula da velocidade escalar média como:

s m = D i s t â n c i a   p e r c o r r i d a Δ t

Como a distância percorrida não considera a direção, a velocidade escalar média não tem sinal.

Vamos usar a velocidade escalar média sempre que o caminho for importante ou quando o problema quer analisar a velocidade em todo o trajeto.

No exemplo lá em cima, onde objeto saiu da posição zero e cruzou o mundo inteiro três vezes e no fim voltou para a mesma posição, vamos supor que é pedido para calcular a velocidade do objeto no trajeto total.

Bom, não é interessante dizer que a velocidade dele foi zero, pois ele saiu e voltou ao mesmo lugar, nesse caso o problema quer saber qual foi a velocidade escalar média pois ele quer que analisemos o trajeto.

Para calcular essa velocidade teríamos que calcular o quanto ele andou e quanto tempo gastou nessa viagem.

Agora que você sabe diferenciar bem cada caso, vamos fazer uns exercícios pra ficar fera?

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 32-02.

Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40   k m / h     e desce a ladeira com uma velocidade constante de 60   k m / h   . Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta.

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Passo 1

Esse é um problema onde o trajeto é dividido em dois e pede-se a velocidade escalar média do trajeto. Vamos considerar todas as velocidades positivas, pois não levaremos em consideração as direções ( subindo ou descendo a ladeira) .

A primeira situação é subindo a ladeira, temos o seguinte esquema:

Na subida o carro vai percorrer a distância l da ladeira com velocidade v 1 = 40 k m / h

O outro caso é a descida:

Na descida o carro de novo vai percorrer a distância l e com velocidade v 2 = 60 k m / h .

Como o carro sobe e desce a ladeira, percorre a distância total 2 l , sendo assim a equação da velocidade escalar média para todo o percurso fica:

v m = 2 l Δ t

Onde Δ t é o tempo total dos dois movimentos, ou seja, é a soma do tempo para subir a ladeira t 1 com o tempo para descer a ladeira t 2 .

∆ t = t 1 + t 2

Precisamos então calcular o tempo pra cada um desses movimentos, bora lá?

Passo 2

Pra encontrarmos o tempo de subida t 1 vamos aplicar a equação da velocidade média somente pro movimento de subida, onde a velocidade é v 1 = 40 k m / h e a distância percorrida é l .

v 1 = l t 1

Substituindo:

40   = l t 1

Enfim temos o tempo de subida:

t 1 = l 40

Passo 3

Fazendo o mesmo para o movimento de descida da ladeira, temos:

v 2 = l / t 2

Substituindo v 2 = 60 k m / h :

60 = l t 2

Temos o tempo de descida.

t 2 = l 60

Passo 4

O tempo total do movimento total será

Δ t = t 1 + t 2

∆ t = l 40 + l 60

Fazendo o MMC dos dois números temos:

∆ t = 60 l + 40 l 40 × 60

Simplicando todo mundo por 20 temos:

∆ t = 3 l + 2 l 120 = 5 l 120

Enfim simplicando a fração por 5:

Δ t = l 24

Agora que temos o tempo total podemos calcular a velocidade escalar média de todo o percurso( Subida + Descida), assim usaremos a equação do ínicio com distância total 2 l .

  v m   = 2 l Δ t

v m =   2 l l 24   = 2 l × 24 l      

Enfim temos:

v m = 48   k m / h  

Resposta

v m = 48   k m / h

Exercício Resolvido #2

UNITAU-SP

Um móvel parte do km 50, indo até o km 60, de onde, mudando o sentido do movimento, vai até o km 32. A variação de espaço (deslocamento) e a distância efetivamente percorrida são:

a )   28   k m   e   28   k m b )   18   k m   e   38   k m c )   -   18   k m   e   38   k m d )   -   18   k m   e   18   k m e )   38   k m   e   18   k m

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Passo 1

Vamo lá, começando pelo deslocamento! Como a gente sabe, a gente pode calculá-lo assim: ∆ S = S f i n a l - S i n i c i a l   → 32 - 50 = - 18 k m . Legal! Agora a gente já fica em dúvida só entre a letra C e D... E a distância total percorrida foi o total que o móvel andou!Como ele andou de 50 até 60, já temos 10km daí, e depois ele voltou pro 32, então temos 10+28 = 38km, o que nos deixa com o gabarto da letra C! Showww!

Resposta

c) − 18 km e 38 km

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Se um cachorrinho andou do ponto A e deu a volta na figura (passando pelo ponto B, C e D) parando novamente no ponto A, calcule seu deslocamento e a distância percorrida.

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Passo 1

A distância percorrida vai ser... A soma dos lados da figura! Então o cachorrinho andou 10+7+5+5=27m, fechou?

E nosso deslocamento podemos calcular assim: ∆ S = S f i n a l - S i n i c i a l

O cachorrinho saiu do ponto A e parou no ponto A, então nosso deslocamento é 0, porque o S f i n a l = S i n i c i a l . Sacou? :D

Resposta

0 e 27m

Exercício Resolvido #4

VamosEstudarFísica.com

Uma atleta partindo de A,  dá volta em uma pista retangular como mostra a figura abaixo. Determine a distância percorrida e o seu deslocamento desde o momento da partida nos seguintes casos:

a) A distância percorrida por ela quando se encontra em B e posteriormente em C;

b) O seu deslocamento nessas respectivas posições;

c) A distância percorrida e o deslocamento em uma volta completa.

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Passo 1

Como a gente vê na imagem, A a B percorreu 800 m e de A a C  percorreu 800 + 600 = 1400 m. Massa? :D

Passo 2

O deslocamento de A até B são os próprios 800m! E de A a C será a hipotenusa do Triangulo ABC, sacou? Então vamos lá usar pitágoras:

h i p s = A B 2 + B C 2

d e s l o c a m e n t o 2 = 800 2 + 600 2

d e s l o c a m e n t o = 1000 m

Lindíssimo!

Passo 3

A distância percorrida em uma volta completa é AB+BC+CD+DA = 2800m. E o deslocamento  ∆ S = S - S 0 será 0, porque a distância do ponto de partida A  e o de chegada A é igual a zero, sacou?

Fechouuu!

Resposta

a) 800m e 1400m.

b) 800m e 1000m.

c) 2800m e 0m.

Exercício Resolvido #5

PUCRIO-2008

Um veleiro deixa o porto navegando   70   k m em direção leste. Em seguida, para atingir seu destino, navega mais 100   k m na direção nordeste. Desprezando a curvatura da terra e admitindo que todos os deslocamentos são coplanares, determine o deslocamento total do veleiro em relação ao porto de origem. (Considere √ 2   =   1,40 e √ 5   =   2,20 ). Considere o ângulo entre leste e nordeste como 45 °

a )   106 k m

b )   34 k m

c )   157 k m

d )   284 k m

e )   217 k m

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Passo 1

Vamos entender em primeiro lugar o que são as direções usadas como referência por aqui. O enunciado nos dá um sistema de direções e diz que o ângulo entre nordeste e leste é 45 ° , podemos ver isso melhor com essa figura.

Em seguida o enunciado nos diz pra onde esse veleiro anda e ainda fala para desprezarmos a curvatura terrestre, e que todos os deslocamento são coplanares.

Bom sem curvatura temos um deslocamento totalmente linear e o fato de serem coplanares é que estão contidos no mesmo plano, assim o deslocamento total do veleiro poderá ser encontrado desenhando no plano os vetores e calculando a resultante.

Passo 2

Vamos aos números é dito que o veleiro anda 70 k m para leste e depois 100 k m   para o nordeste, vamos representar isso no nosso esquema de eixos e representar também o vetor D que é a resultante dessas duas distâncias.

Podemos usar a regra do paralelogramo pra encontrar a distância D , se liga aí:

D 2 = A 2 + B 2 + A B c o s ( θ )

Onde A e B são os módulos dos vetores das distâncias e θ é o ângulo externo entre eles.

D 2 = 70 2 + 100 2 + 2 × 70 × 100 c o s ⁡ ( 45 )

D = 24799,5 = 157,48 k m

Ou seja, o deslocamento total realizado foi de 157,48 k m . Letra c!

Resposta

c) 157,48 k m

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Um móvel parte de A sobre uma trajetória e vai até uma posição B e, em seguida, retorna para C. Observe a figura e responda o que se pede.

a) Qual a distância percorrida de A até B?

b) Qual o deslocamento efetuado pelo carro de A até B?

c) Qual a distância total percorrida e o deslocamento do carro desde o instante t1 até o instante t3?

d) Qual a velocidade média e a velocidade escalar média do móvel em todo percurso, sabendo que isso levou 2 horas e 30 minutos?

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Passo 1

Vamo lá, a distância percorrida pelo de A até B foi a distância de -20 até 80. Então temos que a distância percorrida é 100km! E o deslocamentoi? Como a gente já viu, podemos calcular assim: ∆ S = S f i n a l - S i n i c i a l = 80 - - 20 = 100 k m . VISH! Coincidentemente nossa distância percorrida e nosso deslocamento deram iguais, mas lembra que nem sempre é assim, sacou? Show! :D

Passo 2

Agora na letra c, pra calcularmos a distància total percorrida, temos que somar a distància de A a B e depois de B a C, que foi o percurso feito pelo móvel! 100+40=140km

E nosso deslocamento: ∆ S = S f i n a l - S i n i c i a l   → 40 - - 20 = 60 k m

Showww!

Passo 3

Agora pra gente calcular a velocidade média e a escalar média é só jogarmos na formulinha!

V m é d i a = ∆ S d e s l o c a m e n t o ∆ t               V e s c a l a r = d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a ∆ t

A gente já calculou que nosso deslocamento total foi 60km, e temos um tempo de 2,5h, então...

V m é d i a = 60 2,5 = 2 4 k m / h

E nossa distância total percorrida foi 140km, então...

V e s c a l a r = 140 2,5 = 56 k m / h

Showwww demais!!

Resposta

a) 100km

b) 100km

c) 140km e 60km

d) 24km/h e 56km/h

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 32-01

A figura mostra as trajetórias de quatro objetos de um ponto inicial a um ponto final, todas no mesmo intervalo de tempo. As trajetórias passam por três linhas retas igualmente espaçadas. Coloque as trajetórias na ordem a da velocidade média dos objetos e b da velocidade escalar média dos objetos, começando pela maior.

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Passo 1

a Queremos a velocidade média e por isso vamos analisar a fórmula dela

v m = Δ S Δ t

Como o intervalo de tempo é o mesmo para todas as partículas, o que vai definir qual v m   é maior será o deslocamento.

Analisando o deslocamento de cada caso, vemos que todas as partículas moveram-se apenas uma linha para a direita em relação a sua posição inicial e por isso, temos que :

v m 1 = v m 2 = v m 3 = v m 4

Passo 2

b Neste item deseja-se saber qual é a velocidade escalar média das partículas, como s m é dado por

s m = d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a Δ t

Como Δ t   é o mesmo para todo o movimento das partículas, teremos que quanto maior a distância percorrida maior será s m

Assim, pela figura vemos que a ordem das partículas que mais andaram foi

p 4 > p 2 = p 1 > p 3

Desta forma a ordem das partículas com maior velocidade escalar média é:

s m 4 > s m 2 = s m 1 > s m 3

Resposta

a v m 1 = v m 2 = v m 3 = v m 4

b   s m 4 > s m 2 = s m 1 > s m 3

Exercício Resolvido #8

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-13

Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55   k m / h     e a outra metade a 90   k m / h . Na volta, você viaja metade da distância a 55   k m / h     e a outra metade a 90   k m / h . Qual é a velocidade escalar média a do Rio a São Paulo, b de São Paulo ao Rio e c na viagem inteira? d Qual é a velocidade média na viagem inteira? e Plote o gráfico de x   em função de t para o item a , supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de x . Mostre como a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico.

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Passo 1

a Esse exercício divide o caminho para ir do Rio a São Paulo em dois trechos. Nos dois trechos, você viaja por tempos iguais mas com velocidades diferentes.

t r e c h o 1 t v = 55   k m / h

t e c h o 2 t v =   90   k m / h

Para calcular a velocidade escalar média, temos:

s m = S 1 + S 2 t + t    

Agora precisamos calcular quanto que você andou no primeiro e no segundo trecho.

Passo 2

Para calcular a distância percorrida no primeiro trecho, faremos:

55 = S 1 t

S 1 = 55   t

E no segundo trecho:

90 = S 2 t

S 2 = 90   t

Passo 3

Agora, vamos substiruir os valores de S 1 e S 2 na equação da velocidade escalar média.

s m = 55 t + 90 t 2 t

s m = 72,5   k m / h

Passo 4

b No trajeto de São Paulo ao Rio, você anda metade do trajeto com uma velocidade e a outra metade com outra velocidade. Diferente do item a que você anda por tempos iguais com velocidades diferentes.

Vamos separa o trajeto em dois como fizemos no item anterior

t r e c h o 1 S v = 55   k m / h

t e c h o 2 S v =   90   k m / h

A equação da velocidade escalar média vai ficar

s m = 2 S t 1 + t 2

Passo 5

Temos que descobrir o t 1 e o t 2 , faremos isso pela equação da velocidade

55 = S t 1

t 1 = S 55

E o mesmo para o segundo trecho

90 = S t 2

t 2 = S 90

Passo 6

Substituindo os valores de t 1 e t 2 na equação da velocidade escalar média

s m = 2 S S 55 + S 90  

Fazendo m.m.c e cortando S temos:

s m = 9900 145 = 68,27   k m / h

Passo 7

c Para calcular a velocidade escalar média da viagem inteira, temos que o caminho para ir é igual ao de voltar logo

S i d a = S v o l t a

O tempo de ída e volta, vamos calcular usando as velocidades escalar média que acabamos de encontrar no item a a de ída e no b de volta

t í d a = S 72,5

t v o l t a = S 68,27

Assim aplicando a fórmula de velocidade escalar média temos

s m = 2 S S 72,5 + S 68,27

Fazendo m.m.c do denominador e cortando S chegamos em:

s m = 9900 140,77 = 70,33   k m / h

Passo 8

d a velocidade média da viagem inteira seria zero, pois o deslocamento seria zero

v m = 0 Δ t = 0  

Passo 9

e O gráfico S   x   t   de movimento do item a será duas retas inclinas, onde a segunda está mais inclinada que a primeira, pois a velocidade no segundo trecho é maior que no primeiro. Fica algo assim:

Tá meio fora de escala mas é só um esboço :)

Agora que temos o gráfico, basta traçar uma reta entre o ponto inicial 0,0 e o ponto final S 2 , 2 t , a tangente dessa reta é a velocidade média nesse trajeto.

Resposta

a   s m = 72,5   k m / h

b s m = 68,27   k m / h

c   s m = 70,33   k m / h  

d   v m = 0  

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