Movimento Relativo Bidimensional

Teoria Completa

Como já vimos no caso unidimensional precisamos de um referencial para dar uma medida, e esse valor vai depender do referencial adotado, se adotarmos um referencial A para medir a velocidade de um objeto, ele pode estar parado e para outro referencial B , o mesmo objeto pode estar com um velocidade v .

No caso bidimensional não é diferente, e vamos ver que as fórmulas de posição, velocidade e aceleração relativas são muito parecidas com o caso unidimensional.

Posição Relativa

O vetor posição relativa do objeto A   em relação ao objeto B é representado por r → A B , onde esse vetor representa a distância entre a posição de A e a posição de B .

Sendo assim o módulo desse vetor nos fornece o tamanho da reta entre os pontos A e B e o vetor fornece a direção e sentido entre esses pontos.

A equação para descobrir a posição entre o objeto A   e B é dada por:

r → A B = r → A - r → B

Onde r → A é o vetor posição de A   em relação a origem e r → B é o vetor posição de B em relação a origem.

Que em termos unitários podemos escrever da seguinte forma:

r → A B = r A x - r B x i ^ + ( r A y - r B y ) j ^

Velocidade e Aceleração relativa

O vetor velocidade relativa entre A   e B   é v → A B e é calculado da mesma forma que a posição relativa

v → A B = v → A - v → B

Onde v → A e v → B é o vetor velocidade de A e B em relação a um referencial parado v = 0 , o chão na maioria dos casos.

E a aceleração relativa entre A   e B é a → A B

a → A B = a → A - a → B

Onde a → A e a → B são os vetores acelerações de A e B em relação a um referencial parado v = 0 , o chão na maioria das vezes.

Ambos vetores relativos podem ser escritos nas fórmulas de unitários como representamos o vetor posição relativa.

Ainda podemos calcular a posição, velocidade ou aceleração relativa entre dois objetos pela equação do movimento se todas as outras informações também forem relativas aos dois movimentos

v → A B t = v → A B 0   + a → A B . t

r → A B t = r → A B 0 + v → A B 0 . t + a → A B . t 2 2

Esse jeito de resolução é pouco usual, porém algumas vezes o exercício pode te dar a posição relativa e a velocidade relativa entre dois objetos e te pedir a aceleração e esse é o jeito mais rápido de fazer essas questões.

Então vamos lá resolver essas questões!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um ônibus (ônibus 1) trafega com velocidade v → = 20 i + 36 j m / s em relação a Terra. Outro ônibus (ônibus 2) se aproxima do ônibus 1 com velocidade de v → = 25 i + 14 j m / s .

  1. Qual a velocidade do ônibus 1 em relação ao ônibus 2?
  2. Qual é, aproximadamente, o módulo dessa velocidade?
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Passo 1

Fala aí! Vamo lá?

Pra achar a velocidade do ônibus 1 em relação a o ônibus 2, temos que diminuir a velocidade do ônibus 1 pela velocidade do ônibus 2! Show, então:

v → r e l a t i v a = v → ô n i b u s 1 - v → ô n i b u s 2

v → r e l a t i v a = 20 i + 36 j - ( 25 i + 14 j )

v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s

Lindíssimooo!

Passo 2

Agora pra calcularmos o módulo desse vetor é só usarmos aquela regrinha que aprendemos em vetores, né?

M ó d u l o   d e   v =   c o m p o n e n t e   e m   x 2 + c o m p o n e n t e   e m   y 2

Então, no nosso caso, temos:

v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s

M ó d u l o   d e   v → r e l a t i v a = - 5 2 + 22 2

M ó d u l o   d e   v → r e l a t i v a = 509   ≅ 22,6   m / s

Conseguimos! Show!!

Resposta

  1. v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s
  2. v = 22,6   m / s

Exercício Resolvido #2

UFF

Um ciclista trafega com velocidade v → = 3 i + 2 j m / s em relação a um observador em repouso no solo. Outra ciclista, que trafega com rapidez 4 m / s no sentido negativo do eixo x, observa o primeiro. Qual a velocidade do primeiro ciclista no referencial da segunda?

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Passo 1

Fala aí! Vamo nessa?

Nós temos a velocidade de dois ciclistas e queremos encontrar a velocidade de um ciclista em no referencial da outra (que está em movimento). Pra mudar de referencial é bem simples, lembra? É só subtrairmos pela velocidade do novo referencial que tá em movimento. Ou seja:

v → n o v o   r e f = v → a n t i g o   r e f - v → r e f

Como a questão nos diz, v → r e f é 4m/s no sentido negativo de x, ou seja:

v → r e f = - 4 i   m / s

Portanto, ficamos com:

v → n o v o   r e f = ( 3 i + 2 j ) - ( - 4 i )

v → n o v o   r e f = 7 i + 2 j m / s

Conseguimos! Show de bolinhas!

Resposta

v → n o v o   r e f = 7 i + 2 j m / s

Exercício Resolvido #3

PUC-RIO – 1ª Prova – 2012.2

Observe a figura e leia atentamente o texto:

No instante t = 0   s , um carro, dirigido por Bruno B , se encontra na esquina de um cruzamento enquanto que outro carro, dirigido por Ângela ( A ) , está em uma rua a 10   m da esquina. Bruno viaja para Norte (eixo y ) enquanto Ângela viaja para o Leste (eixo x ). Em relação ao solo, as velocidades de Ângela v → A S e Bruno v → B S são constantes e têm mesmo módulo de 10   m / s .

a   Escreva o vetor velocidade de Ângela em relação a Bruno v → A B .

b   Encontre o vetor posição de Ângela em relação a Bruno r → A B , em função do tempo.

c   Qual é a aceleração relativa de Ângela em relação a Bruno?

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Passo 1

a   Utilizando a fórmula de velocidade relativa temos que:

v → A B = v → A S - v → B S

Substituindo os dados sem esquecer-se de explicitar a direção das velocidades:

v → A B = 10 i ^ + 0 j ^ - ( 0 i ^ + 10 j ^   m / s

v → A B = 10 i ^ - 10 j ^   m / s  

Passo 2

b   Como v → A B é constante, temos:

r → A B = r → A B 0 + v → A B . t

As posições iniciais foram dadas, r → A S 0 = 10 i ^   m e r → B S 0 = 0 . Portanto r → A B 0 = 10 i ^   m . Assim:

r → A B = 10 + 10 t i ^ - 10 t j ^  

Passo 3

c   Como v → A B é constante, então a → A B = 0 .

Resposta

a   v → A B = 10 i ^ - 10 j ^   m / s

b   r → A B = 10 + 10 t i ^ - 10 t j ^  

c   a → A B = 0

Exercício Resolvido #4

UFRJ-Física 1- 1ª Prova-2014.1

Vista de um referencial O X Y Z fixo nas escretas e centrado no Sol, a Terra tem vetor velocidade dado em um certo instante por v → = v x i ^ + v y j ^ e um foguete em translação tem velocidade constante V → = - V j ^ , como mostra a figura. Considerando o foguete como um referencial com eixos coordenados O ' X ' , O ' Y ' , e O ' Z ' de mesmas direções e sentidos que os respectivos eixos O X , O Y e O Z , o vetor velocidade da Terra relativo a ele é