Movimento Relativo Bidimensional

Teoria Completa

Como já vimos no caso unidimensional precisamos de um referencial para dar uma medida, e esse valor vai depender do referencial adotado, se adotarmos um referencial A para medir a velocidade de um objeto, ele pode estar parado e para outro referencial B , o mesmo objeto pode estar com um velocidade v .

No caso bidimensional não é diferente, e vamos ver que as fórmulas de posição, velocidade e aceleração relativas são muito parecidas com o caso unidimensional.

Posição Relativa

O vetor posição relativa do objeto A   em relação ao objeto B é representado por r → A B , onde esse vetor representa a distância entre a posição de A e a posição de B .

Sendo assim o módulo desse vetor nos fornece o tamanho da reta entre os pontos A e B e o vetor fornece a direção e sentido entre esses pontos.

A equação para descobrir a posição entre o objeto A   e B é dada por:

r → A B = r → A - r → B

Onde r → A é o vetor posição de A   em relação a origem e r → B é o vetor posição de B em relação a origem.

Que em termos unitários podemos escrever da seguinte forma:

r → A B = r A x - r B x i ^ + ( r A y - r B y ) j ^

Velocidade e Aceleração relativa

O vetor velocidade relativa entre A   e B   é v → A B e é calculado da mesma forma que a posição relativa

v → A B = v → A - v → B

Onde v → A e v → B é o vetor velocidade de A e B em relação a um referencial parado v = 0 , o chão na maioria dos casos.

E a aceleração relativa entre A   e B é a → A B

a → A B = a → A - a → B

Onde a → A e a → B são os vetores acelerações de A e B em relação a um referencial parado v = 0 , o chão na maioria das vezes.

Ambos vetores relativos podem ser escritos nas fórmulas de unitários como representamos o vetor posição relativa.

Ainda podemos calcular a posição, velocidade ou aceleração relativa entre dois objetos pela equação do movimento se todas as outras informações também forem relativas aos dois movimentos

v → A B t = v → A B 0   + a → A B . t

r → A B t = r → A B 0 + v → A B 0 . t + a → A B . t 2 2

Esse jeito de resolução é pouco usual, porém algumas vezes o exercício pode te dar a posição relativa e a velocidade relativa entre dois objetos e te pedir a aceleração e esse é o jeito mais rápido de fazer essas questões.

Então vamos lá resolver essas questões!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um ônibus (ônibus 1) trafega com velocidade v → = 20 i + 36 j m / s em relação a Terra. Outro ônibus (ônibus 2) se aproxima do ônibus 1 com velocidade de v → = 25 i + 14 j m / s .

  1. Qual a velocidade do ônibus 1 em relação ao ônibus 2?
  2. Qual é, aproximadamente, o módulo dessa velocidade?
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Passo 1

Fala aí! Vamo lá?

Pra achar a velocidade do ônibus 1 em relação a o ônibus 2, temos que diminuir a velocidade do ônibus 1 pela velocidade do ônibus 2! Show, então:

v → r e l a t i v a = v → ô n i b u s 1 - v → ô n i b u s 2

v → r e l a t i v a = 20 i + 36 j - ( 25 i + 14 j )

v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s

Lindíssimooo!

Passo 2

Agora pra calcularmos o módulo desse vetor é só usarmos aquela regrinha que aprendemos em vetores, né?

M ó d u l o   d e   v =   c o m p o n e n t e   e m   x 2 + c o m p o n e n t e   e m   y 2

Então, no nosso caso, temos:

v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s

M ó d u l o   d e   v → r e l a t i v a = - 5 2 + 22 2

M ó d u l o   d e   v → r e l a t i v a = 509   ≅ 22,6   m / s

Conseguimos! Show!!

Resposta

  1. v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s
  2. v = 22,6   m / s

Exercício Resolvido #2

UFF

Um ciclista trafega com velocidade v → = 3 i + 2 j m / s em relação a um observador em repouso no solo. Outra ciclista, que trafega com rapidez 4 m / s no sentido negativo do eixo x, observa o primeiro. Qual a velocidade do primeiro ciclista no referencial da segunda?

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Passo 1

Fala aí! Vamo nessa?

Nós temos a velocidade de dois ciclistas e queremos encontrar a velocidade de um ciclista em no referencial da outra (que está em movimento). Pra mudar de referencial é bem simples, lembra? É só subtrairmos pela velocidade do novo referencial que tá em movimento. Ou seja:

v → n o v o   r e f = v → a n t i g o   r e f - v → r e f

Como a questão nos diz, v → r e f é 4m/s no sentido negativo de x, ou seja:

v → r e f = - 4 i   m / s

Portanto, ficamos com:

v → n o v o   r e f = ( 3 i + 2 j ) - ( - 4 i )

v → n o v o   r e f = 7 i + 2 j m / s

Conseguimos! Show de bolinhas!

Resposta

v → n o v o   r e f = 7 i + 2 j m / s

Exercício Resolvido #3

PUC-RIO – 1ª Prova – 2012.2

Observe a figura e leia atentamente o texto:

No instante t = 0   s , um carro, dirigido por Bruno B , se encontra na esquina de um cruzamento enquanto que outro carro, dirigido por Ângela ( A ) , está em uma rua a 10   m da esquina. Bruno viaja para Norte (eixo y ) enquanto Ângela viaja para o Leste (eixo x ). Em relação ao solo, as velocidades de Ângela v → A S e Bruno v → B S são constantes e têm mesmo módulo de 10   m / s .

a   Escreva o vetor velocidade de Ângela em relação a Bruno v → A B .

b   Encontre o vetor posição de Ângela em relação a Bruno r → A B , em função do tempo.

c   Qual é a aceleração relativa de Ângela em relação a Bruno?

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Passo 1

a   Utilizando a fórmula de velocidade relativa temos que:

v → A B = v → A S - v → B S

Substituindo os dados sem esquecer-se de explicitar a direção das velocidades:

v → A B = 10 i ^ + 0 j ^ - ( 0 i ^ + 10 j ^   m / s

v → A B = 10 i ^ - 10 j ^   m / s  

Passo 2

b   Como v → A B é constante, temos:

r → A B = r → A B 0 + v → A B . t

As posições iniciais foram dadas, r → A S 0 = 10 i ^   m e r → B S 0 = 0 . Portanto r → A B 0 = 10 i ^   m . Assim:

r → A B = 10 + 10 t i ^ - 10 t j ^  

Passo 3

c   Como v → A B é constante, então a → A B = 0 .

Resposta

a   v → A B = 10 i ^ - 10 j ^   m / s

b   r → A B = 10 + 10 t i ^ - 10 t j ^  

c   a → A B = 0

Exercício Resolvido #4

UFRJ-Física 1- 1ª Prova-2014.1

Vista de um referencial O X Y Z fixo nas escretas e centrado no Sol, a Terra tem vetor velocidade dado em um certo instante por v → = v x i ^ + v y j ^ e um foguete em translação tem velocidade constante V → = - V j ^ , como mostra a figura. Considerando o foguete como um referencial com eixos coordenados O ' X ' , O ' Y ' , e O ' Z ' de mesmas direções e sentidos que os respectivos eixos O X , O Y e O Z , o vetor velocidade da Terra relativo a ele é

  1. v → ' = v x i ^ + v y j ^
  2. v → ' = v x i ^ + v y + V j ^
  3. v → ' = v x + V i ^ + v y + V j ^
  4. v → ' = v x i ^ + v y - V j ^
  5. v → ' = - v x + V i ^ - v y j ^
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Passo 1

Nesse caso temos uma situação levemente diferente do que estamos acostumados, mas fique tranqüilo que é quase igual.

Como a terra está se mexendo, e o foguete também, iremos considerar o referencial deles dois como sendo o Sol. Essa é a única mudança. Os dados do problema são

v → T e r r a = v → = v x i ^ + v y j ^ v → f o g u e t e = V → = - V j ^

Pela fórmula de velocidade relativa

v → T e r r a / f o g u e t e = v → T e r r a - v → f o g u e t e

v → T e r r a / f o g u e t e = ( v x i ^ + v y j ^ ) - - V j ^

v → T e r r a / f o g u e t e = v x i ^ + v y j ^ + V j ^

v → T e r r a / f o g u e t e = v x i ^ + v y + V j ^

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #5

PUC-RIO – Física B - 1ª Prova – 2013.2 – letra c - Modificada

Um navio A está 4,0   k m ao norte e 2,5   k m a leste do navio B . O navio A está navegando com uma velocidade constante de 22   k m / h na direção sul; o navio B navega com uma velocidade constante de 40   k m / h em direção 37 ° ao norte do leste.

Escreva uma expressão para o vetor posição de A em relação à B em função do tempo R → A B ( t ) considerando o instante t = 0 como o instante e que os navios estão nas posições iniciais descritas acima. (Sugestão: faça um desenho para orientá-lo na sua solução posicionando o navio B na origem do sistema de coordenadas em t = 0 ).

Dados:

cos ⁡ 37 ° = 0,79 7

sen ⁡ 37 ° =   0,602

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Passo 1

Antes de começar a calcular o vetor posição, vamos primeiro fazer um desenho esquemático. Desenhar é a melhor forma de não se confundir e de visualizar tudo que está acontecendo.

Agora podemos calcular o vetor posição!

Passo 2

Para calcular o vetor posição do navio A em relação ao navio B , devemos relembrar da fórmula de movimento relativo, temos que:

R → A B = R → A - R → B

Onde R → A B e o vetor posição do navio A em relação ao navio B . R → A e R → B são os vetores posição dos navios A e B respectivamente.

Para determinar R → A B , devemos primeiro achar o vetor posição de cada navio em relação ao mar.

Passo 3

Vamos primeiro calcular o vetor posição do navio A . Para facilitar, iremos trabalhar com as componentes x e y . Então, vamos lá!

Como o navio não possui movimento horizontal, temos que a componente x do vetor posição é:

R → A x = 2,5   . i ^   k m

Em y , temos uma velocidade que aponta no sentido negativo, dessa maneira, nosso vetor posição será:

R → A y = 4,0 + - 22 . t . j ^   k m

Ou seja, o vetor posição do navio A será:

R → A = 2,5 . i ^ + 4,0 - 22 . t . j ^   k m

Passo 4

Vamos agora calcular o vetor posição do navio B . Para determinar o vetor posição de cada componente, devemos decompor a velocidade.

Em x :

R → B x = 40 . cos ⁡ 37 ° . t .   i ^   k m

Como o navio se encontra na origem, o vetor posição será dado apenas pela componente da velocidade vezes o tempo.

Em y :

R → B y = 40 . sen ⁡ 37 ° . t . j ^ k m

Ou seja, o vetor posição do navio B será:

R → B = [ 32 . t . i ^ + 24 . t . j ^ ]   k m

Passo 5

Agora que temos o vetor posição de ambos os navios, podemos calcular R → A B .

R → A B = R → A - R → B

R → A B = 2,5 . i ^ + 4,0 - 22 . t . j ^   k m - 32 . t . i ^ + 24 . t . j ^   k m

R → A B = 2,5 - 32 . t . i ^ + 4,0 - 46 . t . j ^   k m

Resposta

c   R → A B = 2,5 - 32 . t . i ^ + 4,0 - 46 . t . j ^   k m

Exercício Resolvido #6

USP – 1ª Prova – 2014

Duas partículas ( 1 e 2 ) se movem ao longo do eixo x e y , respectivamente, com velocidades constantes v → 1 = 2 x ^   c m / s e v → 2 = 3 y ^   c m / s . Em t = 0   s elas estão nas posições: ( x 1 ; y 1 ) = ( - 3 ; 0 )   c m , ( x 2 ; y 2 ) = ( 0 ; - 3 )   c m .

a Esboce a situação descrita acima no plano x y no instante t = 0   s .

b Escreva algebricamente (usando versores indicados no enunciado) o vetor posição de cada uma das partículas.

c Determine o vetor que representa a posição relativa da partícula 2 com respeito à partícula 1 , como função do tempo.

d Determine o vetor velocidade relativa entre essas duas partículas.

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Passo 1

( a ) Colando as partículas em suas posições iniciais temos:

Passo 2

b   Vamos usar a equação da posição para determinar a posição de cada partícula.

Para a partícula 1   temos:

r → 1 t = r → 1 0 + v → 1 . t

Como v → 1 = 2 x ^ e r → 0 = - 3 x ^

r → 1 t = - 3 + 2 t x ^   c m

Aplicando o mesmo método para r → 2 , temos:

r → 2 t = - 3 + 3 t y ^   c m

Passo 3

c   O vetor velocidade relativa da partícula 2 em relação a partícula 1 é encontrado fazendo v → 2 - v → 1 . Analogamente, o vetor posição relativa da partícula 2 em relação a partícula 1 pode ser encontrado fazendo r → 2 - r → 1 , Logo:

r → 21 = r → 2 - r → 1

r → 21 = - 3 + 3 t y ^ - - 3 + 2 t x ^

r → 21 = 3 - 2 . t x ^ + - 3 + 3 t y ^   c m

Passo 4

d   Como já foi dito no item anterior, basta fazer v → 2 - v → 1 :

v → 21 = v → 2 - v → 1

v → 21 = 3 y ^ - 2 x ^

v → 21 = - 2 x ^ + 3 y ^   c m / s

Resposta

a

b r → 1 t = - 3 + 2 t x ^   c m   ;   r → 2 t = - 3 + 3 t y ^   c m

c   r → 21 = 3 - 2 . t x ^ + - 3 + 3 t y ^   c m

d   v → 21 = - 2 x ^ + 3 y ^   c m / s

Exercício Resolvido #7

USP – 1ª Prova – 2015

Duas partículas estão restritas a mover-se no plano x y . O movimento destas partículas é descrita pelas funções posição x 1 t = t 2 + t + 1 , x 2 t = 2 t 2 - 2 t + 3 , y 1 t = t + 3 e y 2 t = 2 t + 2 , onde a posição é medida em metros e o tempo t em segundos. Considere a direção i ^ na horizontal e j ^ na vertical.

a Determine os vetores posição r → 1 t e r → 2 t de cada partícula e o vetor posição relativa r → 12 t .

b   Para t = 0 ,faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição