Movimento Bidimensional Relativo

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Teoria

Fala aí, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Hoje a gente vai bater um papo sobre movimento bidimensional relativo!

-Como assim, bidimensional relativo? 😖

Sempre que estamos estudando o movimento de um corpo consideramos um referencial, por exemplo, na imagem abaixo o carro esta a se usarmos o semáforo como referencial. Agora e se o referencial for o carro ?

Velocidade Relativa: Referencial
Velocidade Relativa: Referencial

Se usarmos o carro como referencial vai parecer que o carro esta a apenas ! Sempre que a gente considerar um referencial com a velocidade diferente de zero, estaremos falando de movimento relativo!

Na figura acima os carrinhos estavam se movendo apenas em relação a , mas…e se o carrinho começar a subir uma ladeira?

Movimento Relativo Bidimensional
Movimento Relativo Bidimensional

O movimento começa a variar em e em , certo?! Nesse caso temos o Movimento Bidimensional, e é dele que a gente vai falar hoje! 🤩

📢 Clique para saber mais:

Posição Relativa

O vetor posição relativa do objeto em relação ao objeto é representado por , onde esse vetor representa a distância entre a posição de e a posição de . Sendo assim o módulo desse vetor nos fornece o tamanho da reta entre os pontos e e o vetor fornece a direção e sentido entre esses pontos. A equação para descobrir a posição entre o objeto e é dada por:

Também podemos escrever em termos de vetores unitários, assim:

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Velocidade Relativa

O vetor velocidade relativa entre e é e é calculado da mesma forma que a posição relativa:

Onde e é o vetor velocidade de e em relação a um referencial parado , que é o chão na maioria dos casos. O vetor unitário pode ser escrito como:

Aceleração Relativa

A aceleração relativa entre e é :

Onde e são os vetores acelerações de e em relação a um referencial parado . Podemos escrever o vetor aceleração relatica na forma de vetor unitário unitários. Assim:

Agora vamos praticar com exercícios?

Velocidade Relativa

Aceleração Relativa

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um ônibus (ônibus 1) trafega com velocidade v → = 20 i + 36 j m / s em relação a Terra. Outro ônibus (ônibus 2) se aproxima do ônibus 1 com velocidade de v → = 25 i + 14 j m / s , também em relação à Terra.

  1. Qual a velocidade do ônibus 1 em relação ao ônibus 2?
  2. Qual é, aproximadamente, o módulo dessa velocidade?

Passo 1

Fala aí! Vamo lá?

Pra achar a velocidade do ônibus 1 em relação a o ônibus 2, temos que diminuir a velocidade do ônibus 1 pela velocidade do ônibus 2! Show, então:

v → r e l a t i v a = v → ô n i b u s 1 - v → ô n i b u s 2

v → r e l a t i v a = 20 i + 36 j - ( 25 i + 14 j )

v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s

Lindíssimooo!

Passo 2

Agora pra calcularmos o módulo desse vetor é só usarmos aquela regrinha que aprendemos em vetores, né?

M ó d u l o   d e   v =   c o m p o n e n t e   e m   x 2 + c o m p o n e n t e   e m   y 2

Então, no nosso caso, temos:

v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s

M ó d u l o   d e   v → r e l a t i v a = - 5 2 + 22 2

M ó d u l o   d e   v → r e l a t i v a = 509   ≅ 22,6   m / s

Conseguimos! Show!!

Resposta

  1. v → r e l a t i v a = - 5 i + 22 j m / s
  2. v = 22,6   m / s

Exercício Resolvido #2

Um ciclista trafega com velocidade v → = 3 i + 2 j m / s em relação a um observador em repouso no solo. Outra ciclista, que trafega com rapidez 4 m / s no sentido negativo do eixo x, observa o primeiro. Qual a velocidade do primeiro ciclista no referencial da segunda?

Passo 1

Fala aí! Vamo nessa?

Nós temos a velocidade de dois ciclistas e queremos encontrar a velocidade de um ciclista em no referencial da outra (que está em movimento). Pra mudar de referencial é bem simples, lembra? É só subtrairmos pela velocidade do novo referencial que tá em movimento. Ou seja:

v → n o v o   r e f = v → a n t i g o   r e f - v → r e f

Como a questão nos diz, v → r e f é 4m/s no sentido negativo de x, ou seja:

v → r e f = - 4 i   m / s

Portanto, ficamos com:

v → n o v o   r e f = ( 3 i + 2 j ) - ( - 4 i )

v → n o v o   r e f = 7 i + 2 j m / s

Conseguimos! Show de bolinhas!

Resposta

v → n o v o   r e f = 7 i + 2 j m / s

Exercício Resolvido #3

Observe a figura e leia atentamente o texto:

No instante t = 0   s , um carro, dirigido por Bruno B , se encontra na esquina de um cruzamento enquanto que outro carro, dirigido por Ângela ( A ) , está em uma rua a 10   m da esquina. Bruno viaja para Norte (eixo y ) enquanto Ângela viaja para o Leste (eixo x ). Em relação ao solo, as velocidades de Ângela v → A S e Bruno v → B S são constantes e têm mesmo módulo de 10   m / s .

a   Escreva o vetor velocidade de Ângela em relação a Bruno v → A B .

b   Encontre o vetor posição de Ângela em relação a Bruno r → A B , em função do tempo.

c   Qual é a aceleração relativa de Ângela em relação a Bruno?

Passo 1

a   Utilizando a fórmula de velocidade relativa temos que:

v → A B = v → A S - v → B S

Substituindo os dados sem esquecer-se de explicitar a direção das velocidades:

v → A B = 10 i ^ + 0 j ^ - ( 0 i ^ + 10 j ^   m / s

v → A B = 10 i ^ - 10 j ^   m / s  

Passo 2

b   Como v → A B é constante, temos:

r → A B = r → A B 0 + v → A B . t

As posições iniciais foram dadas, r → A S 0 = 10 i ^   m e r → B S 0 = 0 . Portanto r → A B 0 = 10 i ^   m . Assim:

r → A B = 10 + 10 t i ^ - 10 t j ^  

Passo 3

c   Como v → A B é constante, então a → A B = 0 .

Resposta

a   v → A B = 10 i ^ - 10 j ^   m / s

b   r → A B = 10 + 10 t i ^ - 10 t j ^  

c   a → A B = 0

Exercício Resolvido #4

Vista de um referencial O X Y Z fixo nas escretas e centrado no Sol, a Terra tem vetor velocidade dado em um certo instante por v → = v x i ^ + v y j ^ e um foguete em translação tem velocidade constante V → = - V j ^ , como mostra a figura. Considerando o foguete como um referencial com eixos coordenados O ' X ' , O ' Y ' , e O ' Z ' de mesmas direções e sentidos que os respectivos eixos O X , O Y e O Z , o vetor velocidade da Terra relativo a ele é

  1. v → ' = v x i ^ + v y j ^
  2. v → ' = v x i ^ + v y + V j ^
  3. v → ' = v x + V i ^ + v y + V j ^
  4. v → ' = v x i ^ + v y - V j ^
  5. v → ' = - v x + V i ^ - v y j ^

Passo 1

Nesse caso temos uma situação levemente diferente do que estamos acostumados, mas fique tranqüilo que é quase igual.

Como a terra está se mexendo, e o foguete também, iremos considerar o referencial deles dois como sendo o Sol. Essa é a única mudança. Os dados do problema são

v → T e r r a = v → = v x i ^ + v y j ^ v → f o g u e t e = V → = - V j ^

Pela fórmula de velocidade relativa

v → T e r r a / f o g u e t e = v → T e r r a - v → f o g u e t e

v → T e r r a / f o g u e t e = ( v x i ^ + v y j ^ ) - - V j ^

v → T e r r a / f o g u e t e = v x i ^ + v y j ^ + V j ^

v → T e r r a / f o g u e t e = v x i ^ + v y + V j ^

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #5

Um navio A está 4,0   k m ao norte e 2,5   k m a leste do navio B . O navio A está navegando com uma velocidade constante de 22   k m / h na direção sul; o navio B navega com uma velocidade constante de 40   k m / h em direção 37 ° ao norte do leste.

Escreva uma expressão para o vetor posição de A em relação à B em função do tempo R → A B ( t ) considerando o instante t = 0 como o instante e que os navios estão nas posições iniciais descritas acima. (Sugestão: faça um desenho para orientá-lo na sua solução posicionando o navio B na origem do sistema de coordenadas em t = 0 ).

Dados:

cos ⁡ 37 ° = 0,79 7

sen ⁡ 37 ° =   0,602

Passo 1

Antes de começar a calcular o vetor posição, vamos primeiro fazer um desenho esquemático. Desenhar é a melhor forma de não se confundir e de visualizar tudo que está acontecendo.

Agora podemos calcular o vetor posição!

Passo 2

Para calcular o vetor posição do navio A em relação ao navio B , devemos relembrar da fórmula de movimento relativo, temos que:

R → A B = R → A - R → B

Onde R → A B e o vetor posição do navio A em relação ao navio B . R → A e R → B são os vetores posição dos navios A e B respectivamente.

Para determinar R → A B , devemos primeiro achar o vetor posição de cada navio em relação ao mar.

Passo 3

Vamos primeiro calcular o vetor posição do navio A . Para facilitar, iremos trabalhar com as componentes x e y . Então, vamos lá!

Como o navio não possui movimento horizontal, temos que a componente x do vetor posição é:

R → A x = 2,5   . i ^   k m

Em y , temos uma velocidade que aponta no sentido negativo, dessa maneira, nosso vetor posição será:

R → A y = 4,0 + - 22 . t . j ^   k m

Ou seja, o vetor posição do navio A será:

R → A = 2,5 . i ^ + 4,0 - 22 . t . j ^   k m

Passo 4

Vamos agora calcular o vetor posição do navio B . Para determinar o vetor posição de cada componente, devemos decompor a velocidade.

Em x :

R → B x = 40 . cos ⁡ 37 ° . t .   i ^   k m

Como o navio se encontra na origem, o vetor posição será dado apenas pela componente da velocidade vezes o tempo.

Em y :

R → B y = 40 . sen ⁡ 37 ° . t . j ^ k m

Ou seja, o vetor posição do navio B será:

R → B = [ 32 . t . i ^ + 24 . t . j ^ ]   k m

Passo 5

Agora que temos o vetor posição de ambos os navios, podemos calcular R → A B .

R → A B = R → A - R → B

R → A B = 2,5 . i ^ + 4,0 - 22 . t . j ^   k m - 32 . t . i ^ + 24 . t . j ^   k m

R → A B = 2,5 - 32 . t . i ^ + 4,0 - 46 . t . j ^   k m

Resposta

c   R → A B = 2,5 - 32 . t . i ^ + 4,0 - 46 . t . j ^   k m

Exercício Resolvido #6

Duas partículas ( 1 e 2 ) se movem ao longo do eixo x e y , respectivamente, com velocidades constantes v → 1 = 2 x ^   c m / s e v → 2 = 3 y ^   c m / s . Em t = 0   s elas estão nas posições: ( x 1 ; y 1 ) = ( - 3 ; 0 )   c m , ( x 2 ; y 2 ) = ( 0 ; - 3 )   c m .

a Esboce a situação descrita acima no plano x y no instante t = 0   s .

b Escreva algebricamente (usando versores indicados no enunciado) o vetor posição de cada uma das partículas.

c Determine o vetor que representa a posição relativa da partícula 2 com respeito à partícula 1 , como função do tempo.

d Determine o vetor velocidade relativa entre essas duas partículas.

Passo 1

( a ) Colando as partículas em suas posições iniciais temos:

Passo 2

b   Vamos usar a equação da posição para determinar a posição de cada partícula.

Para a partícula 1   temos:

r → 1 t = r → 1 0 + v → 1 . t

Como v → 1 = 2 x ^ e r → 0 = - 3 x ^

r → 1 t = - 3 + 2 t x ^   c m

Aplicando o mesmo método para r → 2 , temos:

r → 2 t = - 3 + 3 t y ^   c m

Passo 3

c   O vetor velocidade relativa da partícula 2 em relação a partícula 1 é encontrado fazendo v → 2 - v → 1 . Analogamente, o vetor posição relativa da partícula 2 em relação a partícula 1 pode ser encontrado fazendo r → 2 - r → 1 , Logo:

r → 21 = r → 2 - r → 1

r → 21 = - 3 + 3 t y ^ - - 3 + 2 t x ^

r → 21 = 3 - 2 . t x ^ + - 3 + 3 t y ^   c m

Passo 4

d   Como já foi dito no item anterior, basta fazer v → 2 - v → 1 :

v → 21 = v → 2 - v → 1

v → 21 = 3 y ^ - 2 x ^

v → 21 = - 2 x ^ + 3 y ^   c m / s

Resposta

a

b r → 1 t = - 3 + 2 t x ^   c m   ;   r → 2 t = - 3 + 3 t y ^   c m

c   r → 21 = 3 - 2 . t x ^ + - 3 + 3 t y ^   c m

d   v → 21 = - 2 x ^ + 3 y ^   c m / s

Exercício Resolvido #7

Duas partículas estão restritas a mover-se no plano x y . O movimento destas partículas é descrita pelas funções posição x 1 t = t 2 + t + 1 , x 2 t = 2 t 2 - 2 t + 3 , y 1 t = t + 3 e y 2 t = 2 t + 2 , onde a posição é medida em metros e o tempo t em segundos. Considere a direção i ^ na horizontal e j ^ na vertical.

a Determine os vetores posição r → 1 t e r → 2 t de cada partícula e o vetor posição relativa r → 12 t .

b   Para t = 0 ,faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição r → 1 e r → 2 e do vetor posição relativa r → 12 . Determine a distância entre as partículas.

c   Determine o(s) tempo(s) t para o(s) qual(is) as duas partículas colidem.

d   Determine a velocidade relativa, v → 12 , no(s) instante(s) no(s) qual(is) as partículas colidem.

Passo 1

a   Os vetores r → 1 ( t ) e r → 2 ( t ) são encontrados pela própria definição, onde a posição x t corresponde a componente i ^ , e a posição y t corresponde a componente j ^ .

Para a o r → 1 ficará:

r → 1 ( t ) = x 1 t i ^ + y 1 t j ^

r → 1 t = t 2 + t + 1 i ^ + t + 3 j ^

E para o r → 2 fica:

r → 2 t = x 2 t i ^ + y 2 t j ^

r → 2 t = [ 2 t 2 - 2 t + 3 i ^ + 2 t + 2 j ^ ]

Já o vetor posição relativa é obtido pela fórmula do movimento relativo:

r → 12 t = r → 1 t - r → 2 t

r → 12 = t 2 + t + 1 i ^ + t + 3 j ^ - 2 t 2 - 2 t + 3 i ^ + 2 t + 2 j ^

Agora basta fazer a subtração de i ^ com i ^ e de j ^ com j ^ :

r → 12 ( t ) = [ - t 2 + 3 t - 2 i ^ + - t + 1 j ^ ]

Passo 2

b   Substituindo t = 0 para os vetores que encontramos no item anterior ficamos com:

r → 1 0 = 1 i ^ + 3 j ^   m

r → 2 0 = 3 i ^ + 2 j ^   m

r → 12 ( 0 ) = [ - 2 i ^ + 1 j ^ ]   m

Para representar estes vetores no plano cartesiano, basta indicar as coordenadas do ponto que encontramos para t = 0 e desenhar uma seta da origem até o ponto.

Agora só falta determinar a distância entre as partículas. Mas caramba, nós já temos isso! É o que posição relativa quer dizer. Posição relativa é a distância relativa às duas partículas.

Só que temos a distância relativa em forma de vetor, precisamos dar um valor para essa distância, que é justamente o comprimento desse vetor, ou seja, o módulo do vetor distância relativa. Basta utilizar a fórmula para encontrar o módulo de um vetor:

r → 12 ( 0 ) = [ - 2 i ^ + 1 j ^ ]   m

d = - 2 i ^ 2 + 1 j ^ 2

Lembrando que i ^ 2 = j ^ 2 = 1 .

d = 4 + 1

d = 5   m

Passo 3

c   Vamos pensar. No item anterior nós descobrimos que a distância entre as partículas é o vetor posição relativa. E qual a distância entre as partículas quando elas colidem? Isso mesmo, se elas estão colidindo então a distância é zero. Logo, o vetor posição relativa tem que ser igual a zero.

r → 12 t = - t 2 + 3 t - 2 i ^ + - t + 1 j ^ = 0

Portanto, as duas componentes do vetor têm que ser iguais a zero.

( - t 2 + 3 t - 2 ) = 0

e

( - t + 1 ) = 0

Temos que para t = 1   s e t = 2   s , a primeira equação é satisfeita. No entanto, apenas para t = 1   s que a segunda equação é satisfeita. Daí, apenas para t = 1   s há colisão.

Passo 4

d Lembrando que a velocidade nada mais é que a derivada do vetor posição. Basta derivarmos o vetor posição relativa, desta maneira:

v → 12 t = d d t r → 12 t

Para derivar um vetor, basta derivar apenas as componentes:

v → 12 t = d d t x 12   i ^ + d d t y 12   j ^

Que resulta em:

v → 12 t = d d t - t 2 + 3 t - 2 i ^ + d d t - t + 1 j ^

v → 12 t = - 2 t + 3 i ^ - 1   j ^

Agora substituindo o instante que achamos para a colisão no item anterior, t = 1   s , temos:

v → 12 1 = [ + 1   i ^ - 1   j ^ ]   m / s

Resposta

a   r → 1 t = t 2 + t + 1 i ^ + t + 3 j ^ ;

r → 2 t = [ 2 t 2 - 2 t + 3 i ^ + 2 t + 2 j ^ ] ;

r → 12 ( t ) = [ - t 2 + 3 t - 2 i ^ + - t + 1 j ^ ]

b   d = 5   m

c t = 1   s

d   v → 12 1 = [ 1   i ^ - 1   j ^ ]   m / s

Exercício Resolvido #8

Um rio de 200 m de largura corre com uma velocidade uniforme de 1,1   m / s através de uma floresta, na direção oeste. Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move com uma velocidade escalar constante de 4,0   m / s em relação à água. Existe uma outra clareira na margem norte, 82   m   rio acima a partir de um ponto da margem sul, exatamente em frente à clareira. a   Em que direção o barco deve ser apontado para viajar em linha reta e chegar à clareira da margem norte? b   Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar à clareira?

Passo 1

Primeiro vamos desenhar o que o problema que temos, para entendermos mlhor o que está acontecendo. Esse seria um esboço com o sdados que ele no deu.

Vamos resolver essa questão usando o vetor posição relativa. Cosiderando que o barquinho está na origem do nosso eixo no porto sul.

Vamos enterder primeiro o que faremos. A linha tracejada significa a linha reta que o barquinho deve andar para chegar do porto sul até o porto norte.

A seta azul escuro simboliza r → A o deslocamento da água em relação ao porto sul. A seta vermelha o deslocamento do barco em relação ao porto sul r → B e a seta amarela o deslocamento do barco em relação a água r → B A , ou seja, a pra onde o barco deve ser apontado.

Passo 2

Temos então r → 0 B = 0 i ^ + 0 j ^ e quer chegar na posição r → f B = 82 i ^ + 200 j ^ . Ambas posições são em relação a origem no porto sul (referêncial parado). Logo o deslocamento do barquinho seria

r → B = 82 i ^ + 200 j ^

Passo 3

Sabemos que a água desloca-se com velocida v → A = - 1,1 i ^ + 0 j ^ , pela equação da posição descobrimos

r → A = v → A . t

r → A = - 1,1 . t . i ^ + 0 j ^

Passo 4

Vamos então calcular o vetor posição relativa do barco em relação a água pela equação

r → B A = r → B - r → A

r → B A = 82 i ^ + 200 j ^ - - 1,1 t . i ^

r → B A = 82 + 1,1 t . i ^ + 200 j ^

Terminamos de descobrir a equação para o vetor posição do barco em relação a água, porém ela está em função do tempo e por isso vamos primeiro descobrir o valor de t .

Passo 5

Como o problema também nos fornecer o módulo da velocidade do barco em relação a água | v → B A | = 4   m / s .

Pela equação da posição de um movimento uniforme temos:

r → B A = v → B A . t

Como temos o módulo do vetor velocidade e pelo tempo ser sempre positivo podemos dizer que

| r → B A | = | v → B A | . t

82 + 1,1 t 2 + 200 2 = 4 . t

Tirando a raíz

82 + 1,1 t 2 + 200 2 = 4 . t 2

40000 + 6724 + 180,4 . t + 1,21 . t 2 = 16 . t 2

14,8 . t 2 - 180,4 . t - 46724 = 0

t = 180,4 + 180,4 2 - 4   .   14,8   .   - 46724 2.14,8  

t = 62,6   s

Passo 6

Substituindo t na equação do vetor posição r → B A temos:

r → B A = 82 + 1,1 . ( 62,6 ) . i ^ + 200 j ^

r → B A = 150,86 . i ^ + 200 j ^

Com esse vetor já temos representado a direção em que o barco deve ser apontado, porém se quisermos completar a resposta podemos dar o ângulo que o barco deve ser apontado em relação a margem sul do rio.

Como r → A é horizontal (mesma direção da margem), temos que o ângulo entre os dois vetores é igual ao ângulo de r → B A com a margem sul.

Já vimos uma fórmula para calcular ângulo entre vetores, que é

θ = a r c c o s r → A . r → B A r A . r B A

θ = arccos ⁡ 1,1 . t . 82 + 1,1 . t 1,1 t . 4 . t

θ = arccos ⁡ 10388,2196 17242,544

θ = 53 °

Resposta

a   r → B A = 150,86 . i ^ + 200 j ^ ; θ = 53 °

b   t = 62,6   s

Exercício Resolvido #9

Um carro move-se com velocidade constante de 60 km/h. Começa a chover e o motorista observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de 30° com a vertical. Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de água caem em relação ao carro?

a) 30√3 km/h.

b) 60 km/h.

c) 120 km/h.

d) 30 km/h.

e) 80km/h.

Passo 1

Vamos entender o que tá rolando por aqui, temos o carro seguindo com velocidade v c e a chuva caindo com uma velocidade v R .

A velocidade da chuva é v R caindo perpendicular à terra, mas o motorista vê a velocidade da chuva em relação ao carro v R / C . Aqui temos um caso de velocidade relativa bidimensional, podemos resolver encontrando v R e fazendo:

v r / c → = v c → - v R →  

E a partir daqui tirar o módulo do vetor v r / c → , ou simplesmente usar um pouco de trigonometria pra calcular direto pela figura o módulo dessa velocidade, e é o que faremos.

Passo 2

Para calcular v R / C vamos usar um pouco de trigonometria aqui, vamos desenhar o triângulo com a velocidade do carro ali fechando ele

Como sabemos lá da trigonometria:

s e n θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

No nosso caso:

s e n 30 = v C v R / C

0,5 = 60 v R / C

v R / C = 120 k m / h

Resposta

c) 120 km/h.

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