Movimento Relativo Unidimensional

Teoria Completa

Imagina a seguinte situação, você está no ônibus indo para a faculdade junto com um amigo que está sentado no banco do seu lado. Vocês avistam uma amiga parada no ponto esperando o ônibus, mas o motorista passa direto no ponto sem parar a uma velocidade de 60   k m / h . Qual é a velocidade do seu amigo no seu referencial? E no referencial da sua amiga, que está no ponto?

Aqui surge uma nova pergunta, com um novo conceito, o referencial.

Referencial

O referencial é a referência que você escolhe para o movimento ou seja, depende de quem observa.

Vamos voltar então para o exemplo do ônibus.

No seu referencial, ou seja, para você o seu amigo está sempre na mesma posição, que é do seu lado. O que isso quer dizer? Significa que ele está parado em relação a você.

No entanto, se usarmos a amiga de vocês como referencial, você e seu amigo passaram por ela com uma velocidade de 60   k m / h . Para ela vocês estão se movendo.

Então tanto a velocidade quanto o deslocamento dependem do referencial.

Movimento Relativo

Quando utilizamos um referencial que não está parado, ou seja, com v ≠ 0 , chamamos o movimento do corpo estudado de movimento relativo, pois vamos estudar seu movimento relativo a outro corpo.

Ué, mas quando utilizamos um referencial parado, ainda sim não estamos fazendo um movimento relativo a esse referencial?? Sim, mas o movimento em relação a um corpo parado é o padrão e por isso damos o nome de movimento relativo o movimento em relação a um corpo em movimento.

No movimento relativo, podemos ter todos os dados relativos a um referencial. Quero dizer que podemos ter a posição relativa, a velocidade relativa e até aceleração relativa.

No exemplo de você e seu amigo no ônibus, temos que a posição dele em relação a você é zero, pois ele está do seu lado, mas em relação a menina no ponto de ônibus seria de alguns metros alguns segundos depois que o motorista passou pelo ponto.

A velocidade dele em relação a você é zero, pois ele está parado do seu lado, mas em relação a menina a velocidade dele seria 60   k m / h .

Já a aceleração seria zero em ambos os referenciais, pois seu amigo não está variando a velocidade em nenhum dos referenciais.

Movimento relativo em uma dimensão

Pra entender o movimento relativo vamos começar com o movimento em uma dimensão, vamos dar uma olhada nesse exemplo:

Imagina que temos dois corredores com as velocidades indicadas na figura.

Com que velocidade o corredor azul se aproxima do corredor vinho (também conhecido como velocidade do corredor azul em relação ao corredor vinho)? Após calcular a velocidade, calcule também a posição relativa do corredor azul em relação ao corredor vinho para o tempo 3 s se o espaço entre eles é ∆ x = 100 metros e a velocidade deles é constante.

De novo apareceu a expressão “em relação a”, isso quer dizer o que? Que vamos usar o que aprendemos de movimento relativo! Se liga no bizu:

Para calcular a velocidade relativa em uma dimensão, podemos usar a fórmula.

v P / B = v P - v B

Onde v P é a velocidade do objeto P em relação a um referencial parado, v B é a velocidade de B em relação ao mesmo referencial e v P / B é a velocidade de P em relação a B .

Lembre sempre dos sinais do movimento unidimensional, o sinal DEVE entrar no valor da velocidade.

Como o corredor azul está correndo para direita e o corredor vinho para a esquerda,

v az ul = 10   m/s

v vinho = - 5   m/s

Vamos usar a fórmula,

v azul/vinho = v azul - v vinho

v azul/vinho = 10 - - 5 = 15   m/s

O corredor azul se aproxima com velocidade de 15   m/s .

E a posição? A gente calcula de forma bem parecida.

p o s i ç ã o → S P / B = S P - S B

Onde S P é a posição do objeto P em relação a um referencial parado, S B é a posição de B em relação ao mesmo referencial e S P / B é a posição de P em relação a B .

S azul/vinho = S azul - S vinho

Lembrando que:

S - S i = v t

E como a gente tá querendo a posição do corredor azul em relação ao corredor vinho, o nosso referencial está no corredor vinho, assim para o corredor vinho

S i = 0

S = v v i n h o t = 5 × 3 = 15 m

O corredor azul começa na posição S i = 100 m e se aproxima do corredor vinho, sendo assim seu espaço será dado por:

S - S i = v t

S = S i + v t

E como a velocidade tá no sentido oposto, o sinal deve entrar aqui!

S a z u l = 100 - 15 × 3 = 55 m

Aplicando a fórmula para o ponto final teremos:

S azul/vinho = 55 - 15 = 40 m

Podemos extender a fórmula que terminamos de aprender para aceleração.

a c e l e r a ç ã o → a P / B = a P - a B

Vamos agora praticar com alguns exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 89-70.

Um barco está navegando rio acima, no sentido positivo de um eixo x, a 14 k m / h     em relação à água do rio. A água do rio está correndo a 9,0   k m / h     em relação à margem. Quais são a   o módulo e b   a orientação da velocidade do barco em relação à margem? Uma criança no barco caminha da popa para a proa a 6,0   k m / h em relação ao barco. Quais são c   o módulo e d   a orientação da velocidade da criança em relação à margem?

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Passo 1

Nos itens a e b queremos saber a velocidade do barco em relação à margem do rio que é um referencial parado.

O problema nos fornece a velocidade do barco em relação a água do rio que é v b / r = 14   k m / h rio acima e também dá a velocidade do rio em relação à margem v r = -   9,0   k m / h , negativo pois as águas do rio movimentam-se para baixo, sentido negativo.

A fórmula que temos é :

v b / r = v b - v r

Substituindo os valores

14 = v b - - 9  

v b = 5   k m / h

Onde v b é a velocidade do barco em relação à margem do rio.

Passo 2

a   Queremos o módulo de v b

v b = 5 = 5   k m / h

Passo 3

b   Como a velocidade do barco em relação à margem deu positiva, significa que o barco move-se no sentido para cima da margem, pois esse é o sentido positivo que o problema adota.

Passo 4

c     Nos itens c e d queremos saber a velocidade da menina em relação à margem do rio que é um referencial parado.

Acabamos de descobrir a velocidade do barco em relação à margem v b = 5   k m / h   e temos a velocidade da menina em relação ao barco v m / b = 6   k m / h , positivo pois a menina caminha de trás (popa) para a frente (proa), ou seja, no sentido rio acima, nosso sentido positivo.

v m / b = v m - v b  

6 = v m - 5  

v m = 11   k m / h

v m é a velocidade da menina em relação à margem, como o valor é positivo esse é o valor em módulo já.

Passo 5

d   A velocidade da menina em relação à margem deu positiva o que significa que ela move-se no sentido do rio acima, pois foi o sentido do movimento que o problema adotou como positivo.

Resposta

a   5   k m / h

b Rio acima

c   11   k m / h

d   Rio acima

Exercício Resolvido #2

UFMS

Um carro move-se com velocidade constante de 60 km/h. Começa a chover e o motorista observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de 30° com a vertical. Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de água caem em relação ao carro?

a) 30√3 km/h.

b) 60 km/h.

c) 120 km/h.

d) 30 km/h.

e) 80km/h.

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Passo 1

Primeiro vamos entender o que ta acontecendo. A imagem mostra Vc como a velocidade do carro e Vr como a velocidade relativa da chuva em relação ao carro. O ângulo formado entre Vr e a reta na vertical é de 30°, então temos algo assim:

Como sabemos lá da trigonometria:

s e n θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

No nosso caso:

s e n 30 = V c V r

0,5 = 60 V r

V r = 120 k m / h

Resposta

c) 120 km/h.

Exercício Resolvido #3

CMais

Um barco com velocidade de 10 km/h em relação ao rio tenta ir de uma margem a outra. A velocidade da água em relação à Terra é de 5 km/h. Qual deve ser a velocidade do barco em relação à Terra para que ele cruze o rio perpendicularmente às margens?

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Passo 1

Já que o rio tenta puxar o barco com sua velocidade da água e queremos atravessar o rio perpendicularmente, teremos algo assim:

Onde v → B R é a velocidade relativa do barco pro rio, v → B T é a velocidade relativa do barco pra terra e v → R T   é a velocidade relativa do rio pra terra. Como a questão nos disse que v → B T é uma trajetória perpendicular ao rio, podemos utilizar pitágoras! Então, sabemos que:

v → B R 2 = v → B T 2 + v → R T 2

v → B T 2 = v → B R 2 - v → R T 2

v → B T = √ ( v → B R 2 - v → R T 2 )

Beleza! Agora é só substituirmos nossos valores:

v → B T = 10 2 - 5 2 = 100 - 25 = 75 ≅ 8,7 k m / h

Prontinho! Terminamos!

Resposta

v = 8,7 k m / h

Exercício Resolvido #4

FUVEST

Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com velocidades escalares constantes vA = 100 km/h e vB = 80 km/h, respectivamente.

  1. Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A?
  2. Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas, decorre até que A alcance B?
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Passo 1

Temos dois carros se movimentando no mesmo sentido e com velocidades constantes, se liga na imagem.

A velocidade relativa do carro B em relação ao carro A será a mesma em módulo que a velocidade do carro A em relação ao carro B , como a questão só pede o módulo podemos calcular assim:

| v B / A | = | v B - v A |

Sendo assim é só a gente substituir os valores e já era:

| v B / A | = | 80 - 100 |

| v B / A | = 20 k m / h

Passo 2

No item b, temos uma situação onde o carro B está na frente do carro A em 600 m , olha só:

Nesse caso aqui devemos fazer a velocidade do carro A em relação ao carro B , nós já até calculamos o módulo da velocidade relativa, mas vamos fazer aqui pra ver a questão do sentido.

v A / B = v A - v B = 100 - 80 = 20 m / s

E como as velocidades são constantes, podemos utilizar a equação da velocidade média lá do Movimento Uniforme! Então ficamos com:

v A / B = ∆ S ∆ t

Massss presta atenção nas unidades! A distância tá em metros e a velocidade em km/h, então, passando esses 600m pra km, temos 0,6km! Show, bora lá:

20 = 0,6 ∆ t

∆ t = 0,03 h

Prontinho! Terminamosss!

Resposta

  1. v B / A = 20 k m / h
  2. ∆ t = 0,03 h

Exercício Resolvido #5

UNESA

Dois trens partem simultaneamente de um mesmo local e percorrem a mesma trajetória retilínea com velocidades constantes, respectivamente, iguais a 300km/h e 250km/h. Há comunicação entre os dois trens se a distância entre eles não ultrapassar 10km. Depois de quanto tempo após a saída dos trens perderão a comunicação via rádio?

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Passo 1

Bora pra mais umaaa!

Então na nossa situação temos dois trens partindo do mesmo lugar com velocidades diferentes, desse jetio aqui:

E queremos saber quando eles vão perder a comunicação, sabendo que a comunicação se perde quando eles estão 10km distantes entre si... Puts, complicou, né? Complicou nada rapá, tu tá com a gente do Responde Aí pra te ajudar :p

Se temos a velocidade e o sentido dos dois, podemos calcular a velocidade relativa entre eles e usar essa velocidade relativa pra sabermos em quanto tempo ela vai percorrer uma distância de 10 metros!

Então bora lá!

Calculando a velocidade relativa de mesmo sentido, temos:

v r e l a t i v a = v 1 - v 2

v r e l a t i v a = 300 - 250

v r e l a t i v a = 50 k m / h

Prontinho!

Passo 2

Nosso próximo passo é aplicar essa velocidade e a distância de 10 metros na equação do movimento uniforme, porque nossa velocidade é constante! Então vamo nessa:

v = ∆ S ∆ t   → 50 = 10 ∆ t

∆ t = 1 5 h

Show, então o tempo pra eles estarem distantes 10km é 1/5 de hora! Mas quanto vale 1/5 de hora em minutos? Só multiplicar por 60, né?

1 5 x 60 = 12 m i n

Conseguimosss! Tu é fera!

Resposta

12 m i n

Exercício Resolvido #6

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 89-69

Um cinegrafista está em uma picape que se move para oeste a 20   k m / h enquanto filma um guepardo que também está se movendo para oeste 30   k m / h mais depressa que a picape. De repente, o guepardo pára, dá meia-volta e passa a correr a 45   k m / h para leste, de acordo com a estimativa de um mebro da equipe, agora nervoso, de pé na margem da estrada, no caminho do guepardo. A mudança de velocidade do animal leva 2,0   s . Quais são a o módulo e b a orientação da aceleração do animal em relação ao cinegrafista e c o módulo e d a orientação da aceleração do animal em relação ao membro nervoso da equipe?

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Passo 1

O problema quer a aceleração do guepardo um item em relação a um referencial e no outro item em relação a outro referencial. Para calcularmos essa aceleração vamos usar a formula

v = v 0 + a t

Pois o enunciado nos fornece o tempo e nos dá algumas velocidades, então precisamos apenas achar a velocidade de acordo com o referencial pedido no item para calcularmos a aceleração em relação aquele referencial.

Passo 2

a   Queremos a aceleração do guepardo em relação ao cinegrafista que está na picape, assim precisamos saber qual é velocidade inicial do guepardo em relação ao cinegrafista e sua velocidade final em relação ao cinegrafista.

A velocidade inicial o problema fornece ao dizer que a velocidade do guepardo é 30   k m / h mais depressa, adotando o sentido oeste como positivo, temos que a velocidade do guepardo em relação ao cinegrafista é v g / c = 30   k m / h .

A velocidade final do guepardo em relação ao cinegrafista, vamos ter que calcular, pois temos apenas a velocidade do cinegrafista em relação a um referencial parado v c = 20   k m / h e a velocidade do guepardo em relação a um referencial parado também v g = - 45   k m / h , negativo, pois o movimento é para leste, sentido negativo.

v g / c =   - 45 - 20

v g / c = - 65   k m / h

Agora vamos substituir na equação da velocidade para achar a aceleração do guepardo

v f ( g / c ) = v 0 ( g / c ) + a t

Como a velocidade está em k m / h e o tempo em segundo, vou passar a velocidade para m / s

- 65 3,6 = 30 3,6 + a . 2

- 95 7,2 = a

a = - 13,19   m / s 2

Como queremos o módulo, temos que a aceleração do guepardo em relação ao cinegrafista é de 13,19   m / s 2 .

Passo 3

b A aceleração é negativa pois o guepardo passa a mover-se no sentido negativo do movimento, para leste.

Passo 4

c   Queremos a aceleração do guepardo em relação ao membro da equipe que está parado na estrada, assim precisamos saber qual é velocidade inicial do guepardo em relação ao membro da equipe parado e sua velocidade final em relação ao mesmo membro da equipe.

A velocidade final o problema diz que é - 45   k m / h de acordo com esse membro da equipe, temos que a velocidade final do guepardo em relação ao membro que é v g / m = - 45   k m / h , negativo pois é no sentido de oeste para leste, sentido negativo do movimento.

A velocidade inicial do guepardo em relação ao membro da equipe, vamos ter que calcular, pois temos apenas a velocidade do membro que é zero, já que ele está parado. A velocidade do guepardo em relação a picape é v g / p = 30   k m / h , e a velocidade da picape é de v p = 20   k m / h

v g / p   = v g - v p

30 = v g - 20  

v g = 50   k m / h

v g é a velocidade do guepardo em relação aum referencial parado, que é o membro da equipe na estrada. Assim podemos substituir na fórmula da velocidade em um MRUV

- 45 = 50 + a t

Chegamos na mesma equação do item a   e por isso sabemos que o módulo da aceleração é a = 13,19   m / s 2

Passo 5

d   E a orientação da aceleração é no sentido negativo do movimento.

Resposta

a   a g / c = 13,19   m / s 2

b   Sentido negativo do movimento, de oeste para leste.

c   a g / c = 13,19   m / s 2

d   Sentido negativo do movimento, de oeste para leste.

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 89-71

Um homem de aparência suspeita corre o mais rápido que pode por uma esteira rolante, levando 2,5   s para ir de uma extremidade a outra. Os seguranças aparecem e o homem volta ao ponto de partida, correndo o mais rápido que pode, levando 10,0   s . Qual é a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira?

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Passo 1

Precisamos achar uma relação entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira. Pela fórmula de velocidade relativa e função hóraria da posição podemos achar essa relação.

No primeiro movimento o suspeito percorre toda a esteira de comprimento S em 2,5   s , assim podemos escrever a equação horária da posição

S = v 1 h . 2,5

Onde v 1 h é a velocidade do suspeito em relação a Terra no primeiro movimento. Como esse movimento foi o que gastou menor tempo e sabemos que nos dois movimentos o suspeito corria com velocidade máxima v m á x , temos que nesse movimento o suspeito corria na mesma direção que a esteira se movimentava. Por isso a equação de velocidade relativa fica.

v m á x = v 1 h - v e

v 1 h = v m á x + v e

Substituindo esse valor na equação da posição chegamos em

S = 2,5   v m á x + v e

Passo 2

Já na hora de voltar, o mesmo homem gastou 10   s para percorrer a mesma distância

S = - v 2 h . 10

Onde v 2 h é a velocidade do suspeito em relação a Terra, como esse movimento o suspeito corre contra o movimento da esteira ele gasta mais tempo, pois sua velocidade em relação a Terra é menor que no movimento anterior.

- v m á x =   v 2 h - v e

v 2 h = v e - v m á x

v m á x é negativa, pois é contrária ao movimento, já que adotamos o sentido da esteira como positivo.

Agora, substituindo essa velocidade na equação da posição achamos

S = - 10 . ( v e - v m á x )

Passo 3

Dividindo uma equação da posição do primeiro movimento pela outra temos

- 10 2,5 = v e + v m á x v e - v m á x

- 10 . v e - 2,5 . v e = 2,5 v m á x - 10 v m á x

v m á x v e = - 12,5 - 7,5 = 1,667  

Resposta

v m á x v e = 1,667  

Exercício Resolvido #8

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 84

Dois píers estão localizados em um rio: o píer B está situado a 1500   m de A correnteza abaixo, como na figura. Dois amigos devem fazer um percurso do píer A ao píer B e depois voltar. Um deles vai de barco com velocidade constante de 4,00   k m / h em relação à água. O outro caminha pela margem do rio com velocidade constante de 4,00   k m / h . A velocidade do rio é igual a 2,80   k m / h no sentido de A para B . Calcule o tempo de cada um para fazer o percurso de ida e volta.

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Passo 1

Vamos começar calculando o tempo que o amigo faz caminhando. Basta usar a equação de velocidade média. Se sua velocidade é constante ela é igual a velocidade média.

O percurso de ida e volta tem o dobro da distância entre o píer A e o píer B .

D a d o s v = 4   k m / h Δ S = 3000   m = 3   k m

v = Δ S Δ t

4 = 3 Δ t

Δ t t e r r a = 3 4   h

Nesse problema usamos k m e h em vez de m e s porque é mais fácil, nesse caso, passar a distância para k m , do que passar a velocidade de k m / h para m / s .

Passo 2

Vamos achar agora o tempo do amigo que faz o percurso de barco.

Devemos achar o tempo da ida e o tempo da volta do percurso. Para isso precisamos da velocidade do barco na ida e na volta.

  • IDA:
  • D a d o s v á g u a = 2,8   k m / h v b a r c o / á g u a = 4   k m / h

    v b a r c o - v á g u a = v b a r c o / á g u a

    v b a r c o - 2,8 = 4

    v b a r c o = 6,8   k m / h

    Passo 3

    Vamos achar agora o tempo que ele demora a ir do píer A ao píer B .

    v b a r c o = Δ S I D A Δ t I D A

    6,8 = 1,5 Δ t I D A

    Δ t I D A = 1,5 6,8 = 15 68   h

    Passo 4

    Vamos agora achar a velocidade do barco na volta.

  • VOLTA:

D a d o s v á g u a = 2,8   k m / h v b a r c o / á g u a = - 4   k m / h

v b a r c o - v á g u a = v b a r c o / á g u a

v b a r c o - 2,8 = - 4

v b a r c o = - 1,2   k m / h

A velocidade do barco é negativa porque ele está indo para esquerda.

Passo 3

Vamos achar agora o tempo que ele demora a ir do píer B ao píer A .

v b a r c o = Δ S V O L T A Δ t V O L T A

- 1,2 = - 1,5 Δ t I D A

Δ t V O L T A = - 1,5 - 1,2 = 1,5 1,2 = 5 4   h

O Δ S é negativo porque ele se desloca para esquerda.

Passo 4

O tempo total será,

Δ t b a r c o = Δ t I D A + Δ t V O L T A = 15 68 + 5 4 = 25 17   h

Resposta

Δ t t e r r a = 3 4   h  

Δ t b a r c o = 25 17   h