Lançamento Oblíquo

Teoria Completa

As vezes eu me pergunto como eu posso gostar tanto de Física. Eu sei que é uma matéria complicada, mas também sei que é uma matéria muito interessante quando bem compreendida. Aqui no RespondeAi nós temos todos os tópicos de Física que você vai precisar para mandar bem na faculdade, desde aqueles tópicos que são quase revisão da época do colégio, como MRU, MRUV e toda aquela parte de Cinemática que vemos no colégio, até os tópicos mais avançados de Física 3 como equações de Maxwell e outras teorias que discutem a Eletrodinâmica.

Sem mais enrolação vamos falar um pouco sobre Lançamento Oblíquo e como sempre vamos começar com um exemplo TOP!

Imagine que em condições ideais, sem vento e sem resistência do ar, um operador de canhão deseja que seu projétil atinja a porta de um castelo a uma certa distância $d$. Conforme a figura:

Qual deve ser a velocidade inicial desse tiro de bala de canhão para que ele acerte o alvo??? Como podemos fazer para calcular isso??

Abstraindo esse problema, nós podemos generalizá-lo, como um lançamento oblíquo. O interessante de um lançamento oblíquo é que ele ocorre em dois tipos de movimentos diferentes e em duas direções simultaneamente. QUE? Vamos entender isso com calma!

Primeiro vamos nos lembrar que já conhecemos o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) e o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), e que a grande diferença entre esse dois tipos de movimentos é que no primeiro a velocidade é constante, e no segundo temos algum tipo de aceleração que é capaz de alterar a velocidade do corpo.

Voltando ao nosso canhão, podemos perceber que para a bala de canhão sair em direção ao castelo seguindo a trajetória pontilhada traçada pelo operador do canhão, é necessário que sua velocidade inicial, aponte na seguinte direção:

Shoow, então agora já supomos que nossa bala de canhão tem um velocidade inicial $\vec{V_0}$. Agora vamos nos lembrar que como estamos lidando com um vetor, nós sabemos como decompor este vetor em duas componentes orientadas conforme nosso eixo cartesiano, da seguinte forma:

Então, podemos escrever que $V_0=V_{0_x}+V_{0_y}$, certo? Eu quis deixar essa decomposição tão explicita para você, porque ela é essencial para explicarmos porque o lançamento oblíquo pode ser pensado como dois movimentos diferentes em duas direções acontecendo simultaneamente. Vamos começar pela direção mais simples, e pensar na direção horizontal, do eixo $x$.

O movimento que acontece na horizontal, acontece como qualquer movimento que não tem aceleração, ou seja, em um lançamento oblíquo na direção horizontal temos um MRU onde a velocidade é constante. Por isso para resolver as questões associadas ao eixo $x$ do objeto usaremos a equação do "Sorvete":

$$S_x=S_{0_x}+V_{0_x}.t$$

Porém quando olhamos para o movimento na vertical, percebemos pela trajetória da bala de canhão que na primeira metade do movimento a bola de canhão está subindo, e que na segunda metade do movimento ela começa a cair novamente em direção ao solo. E se você parar para pensar um pouquinho eu sei que você vai saber responder que isso acontece exatamente por causa da aceleração da gravidade, que impede que a bala de canhão saia voando em direção ao espaço.

Então no movimento vertical existe a atuação da aceleração da gravidade, e portanto para resolver as questões associadas ao eixo $y$ do objeto, estaremos usando as equações do MRUV:

  • Função horária da posição (Sorvetão):
$$S_y=S_{0_y}+V_{0_y}.t-g.\frac{t^2}{2}$$
  • Equação da Velocidade (Vovô e Vovó Ainda Tentam):
$$V_y=V_{0_y}-gt$$
  • Equação de Torricelli:
$$V_y^2=V_{0_y}^2-2.g.\Delta S_y$$

📢 OBS: Fique atento! Todos os termos que tem a gravidade apareceram com o sinal negativo nas fórmulas de MRUV, porque temos que considerar que a gravidade aponta no sentido contrário do que orientamos o eixo $y$:

Agora que já sabemos como o comportamento oblíquo se comporta e como ele pode ser decomposto em dois movimentos em direções diferentes vamos fazer um exercício para entender como aplicar esses conceitos.

Em menos de 7 min você consegue assistir todo o vídeo da resolução de um de nossos exercícios nesse tópico, preparado especialmente para você:

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP-1ª Prova-2014.1

Um navio de guerra tenta bombardear simultaneamente dois navios A e B. Se os projéteis são disparados com velocidades cujas magnitudes são idênticas e seguem as trajetórias mostradas na figura abaixo, qual dos navios é atingido primeiramente? Despreze a resistência do ar

a   A.

b B.

c   Os dois são atingidos simultaneamente.

d   Mais informação é necessária para se responder esta questão.

e   Nenhuma das alternativas é correta

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Passo 1

A questão quer saber qual dos dois projéteis tem menor tempo de voo.

Vamos olhar a equação do tempo de voo para um lançamento oblíquo:

t f = 2 . v o . s e n Θ g

Vemos que o tempo de voo depende da velocidade inicial, do ângulo que esta faz com o eixo x e da aceleração da gravidade. Como a aceleração da gravidade e a velocidade de lançamento é a mesma para os dois projéteis o tempo de voo vai depender exclusivamente do ângulo Θ .

Quanto maior for θ maior será o tempo de voo, por isso o projétil que ficará menos tempo no ar será aquele com menor ângulo Θ que é o canhão B .

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #2

PUC-RIO-1ª Prova-2013.2

Um canhão lança suas balas com uma certa inclinação θ em relação à horizontal. Assuma que a bala atinge o chão na mesma elevação em que foi lançada.

Se o tempo de voo foi de 10 segundos, qual a componente vertical de sua velocidade inicial?

(Considere g = 10 m / s 2 )

a   50 m / s

b   10   m / s

c   100   m / s

d   70   m / s

e   nenhuma das anteriores

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Passo 1

Pra começar bem a gente precisa entender a situação o canhão atira uma bala com uma inclinação θ em relação a horizontal e velocidade v 0 . O enunciado diz pra gente considerar que a bala chega no chão na mesma altura que foi lançada, é como se desprezássemos a altura do canhão.

Vamos então desenhar um esquema pra ver o que tá rolando ali.

O problema quer que a gente encontre a componente vertical daquela velocidade v 0 , e nos dá o tempo de voo. Esse tempo de voo é simplesmente o tempo marcado pro percurso da bala sair do canhão e chegar no chão de novo.

O que vamos fazer aqui é trabalhar pensando só no movimento vertical da bala, olhando só a componente v y da velocidade.

Como nos foi dado o tempo de voo, podemos considerar que a bala demora o mesmo tempo pra subir e pra descer, sendo assim até atingir a altura h , o tempo é.

t s u b = t v o o 2 = 10 2 = 5 s

Passo 2

E agora é só a gente aplicar a equação da velocidade para o eixo vertical pensando na subida, olhando apenas pra velocidade v y .

v = v y - g t

Onde t = t s u b pro movimento de subida.

E o que vai acontecer quando a bala atingir a altura máxima? A velocidade dela será 0, e aí a relação vai ter essa cara.

0 = v y - g t s u b

v y = g t s u b

Considerando que g = 10 m / s 2 temos:

v y = 10 × 5 = 50 m / s

Resposta

Alternativa a .

Exercício Resolvido #3

UNICAMP-1ª Prova-2014.2

Um canhão, posicionado sobre um terreno completamente plano, dispara um projétil com um velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s fazendo um ângulo de 60 ° com a horizontal. Considerando a posição incial do canhão como origem do sistema de coordenadas e a aceleração da gravidade g = 10,0   m / s 2 determine:

a O tempo total de voo do projétil.

b O vetor posição do projétil quando o mesmo atinge sua altura máxima.

c O vetor velocidade quando o mesmo atinge o solo.

d Considere agora que o projétil deva atingir um alvo que está a uma distância de 500   m do canhão. Qual deve ser o ângulo de tiro para que o projétil com velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s possa atingir o alvo?

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Passo 1

a   Para calcular o tempo de voo, basta aplicar a equação de tempo de voo

t f = 2 . v o . s e n θ g

Substituindo os valores que temos no enunciado

t f = 2.100 . s e n 60 ° 10

t f = 20 . 3 2

t f = 10 3 ≈ 17,3   s

Passo 2

b   A componente y do vetor posição será a altura máxima, certo? E pela simetria de um lançamento oblíquo podemos dizer que quando o projétil está na altura máxima a componente x da posição éa metade do alcance, lembra?

Então vamos primeiro encontrar a altura máxima, sua fórmula é:

h m á x = v 0 2 . s e n 2 θ 2 g

h m á x = 100 2 . s e n 2 60 ° 2.10

h m á x = 500.3 4

h m á x = 375  

Passo 3

Só falta achar o alcance, e faremos isso usando a equação pro alcance que aprendemos

A = v 0 2 s e n 2 . θ g

A = 100 2 s e n 2 . 60 ° 10

A = 1000 . 3 2

A = 866,02   m

Como nossa componente em x é metade do alcance, temos que

r x = A 2

r x = 433   m

Agora que temos nossa componente em y ( h m á x ) e nossa componente em x   r x , podemos escrever o vetor posição.

r → = 433 . i ^ + 375 . j ^   m

.

Passo 4

c O problema que o vetor velocidade no final do movimento, sabemos que durante qualquer instante do movimento v x permanece constante. Já v y varia durante todos os instantes, mas no final do movimento temos que v y f = - v y 0

Primeiro vamos achar v x decompondo a velocidade, usando a regra do COlado/Separado

v x = 100 . cos ⁡ 60 °

v x = 100 . 1 2

v x = 50   m / s

Agora calcularemos v y 0   usando a mesma regra

v y 0 = 100 . s e n 60 °

v y 0 = 86,6   m / s  

Como vimos que no final a velocidade em y é

v y f = - v y 0

v y 0 = - 86,6   m / s

v → = [ 50   . i ^ - 86,6 . j ^ ]   m / s

Passo 5

d Nesse item nós foi dado o alcance desejado e o problema quer sabe que ângulo θ fará com que alcancemos essa distância de 500   m

Basta aplicarmos a equação do alcance e termos

500 = 100 2 10 .   s e n 2 θ  

s e n 2 θ = 0,5  

2 θ = a r c s e n 0,5

Fazendo isso vamos encontrar dois valores para θ

2 θ = 30 °   o u   150 °

θ = 15 °   o u   75 °

Resposta

a t = 10 3 ≈ 17,3   s

b   r → = 433 . i ^ + 375 . j ^   m

c v → = [ 50   . i ^ - 86,6 . j ^ ]   m / s

d θ = 15 °   o u   75 °

Exercício Resolvido #4

Paul A. Tripler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros, Volume 1, 6ª edição, Cap 3, pp 88-76

Um projétil é lançado do nível do chão com uma rapidez inicial de 53   m / s . Encontre o ângulo de lançamento ( o ângulo que a velocidade inicial forma acima da horizontal) de forma que a altura máxima do projétil seja igual ao seu alcance horizontal. (Ignore a resistência do ar.)

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Passo 1

Vamos entender o problema fazendo um desenho da situação, o projétil é lançado com velocidade v 0 = 53 m / s e o problema pede o ângulo de inclinação θ para que o alcance e a altura sejam iguais, dessa forma temos a seguinte situação.

Beleza, se eu sei disso agora preciso encontrar uma relação entre a altura e o alcance ∆ x , vamos fazer isso decompondo a velocidade e analisando os dois movimentos, vertical e horizontal.

Passo 2

Vamos decompor as velocidades, usando as seguintes relações:

v x = v 0 c o s θ

v y = v 0 s e n ( θ )

E aqui separamos os movimentos, o movimento horizontal é um movimento uniforme e portanto o alcance é dado por:

∆ x = v x t = v 0 c o s θ t

Já o movimento vertical é um pouquinho diferente, temos a gravidade desacelerando. Pra encontrar a altura máxima podemos aplicar a equação de torricelli.

v 2 = v y 2 - 2 g h

Só que aqui a velocidade no ponto da altura máxima é v = 0 e portanto:

v y 2 = 2 g h

Isolando h e lembrando que v y = v 0 s e n ( θ )

h = v y 2 2 g = v 0 2 s e n 2 θ 2 g

Agora é só igualar as equações para esses carinhas aqui:

∆ x = h

v 0 2 s e n 2 θ 2 g = v c o s θ t

Cortando os termos semelhantes temos o seguinte:

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = t

Putz mas e esse t aí, o que eu faço com ele? É o único termo que a gente não tem. Muita calma nessa hora, vamos dar um jeitinho nisso.

Passo 3

Para encontrarmos o tempo t vamos analisar o movimento vertical, se a gente pensar na subida poderemos ver pela equação da velocidade quem é esse cara:

v = v y - g t s u b

Onde t s u b = t 2 já que o movimento completo leva em consideração subida e descida. Aqui sabemos também que na altura máxima a velocidade final é v = 0 e então a equação fica:

0 = v y - g t 2

Rearrumando temos então o querido tempo!

2 v y g = 2 v 0 s e n θ g = t

Agora é só voltar na nossa equação antiga e substituir essa galera aí:

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = t

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = 2 v 0 s e n θ g

Daí pegue a tesoura pois cortaremos muita gente por aqui hehe!

Cortando v 0 e g   de ambos os lados e também o s e n 2 ( θ ) que passará a ser s e n ( θ ) , temos:

s e n θ cos ⁡ θ = 4

E se liga aí, essa relação que temos é a tangente!

t g θ = 4

Agora é só inverter e já era:

θ = a r c t g 4 = 75,96 °

Resposta

θ = 75,96 °

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 86-34

Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5   m / s e um ângulo para cima de 45 ° . No mesmo instante um jogador a 55   m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade média para que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado?

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Passo 1

O problema quer saber qual deve ser a velocidade do jogador para que ele alcance a bola. Para determinarmos a velocidade do jogador precisamos saber o quanto ele vai correr, ou seja, o alcance da bola e quanto tempo ele vai correr que seria o tempo de voo da bola.

Como ainda não sabemos o alcance da bola o jogador pode estar dentro desse alcance e aí ele teria que correr no sentido da bola. Ou fora do alcance e aí sua velocidade apontara para o sentido oposto. Como não temos o tempo percorrido vamos inicialmente adotar a hipótese do jogador fora do alcance da bola, só pra gente fazer um desenho.

A partir daí vamos calcular o tempo de voo da bola e com isso o alcance, pra enfim definirmos a velocidade do jogador.

Passo 2

Pra calcularmos o tempo de voo vamos analisar apenas o movimento vertical da bola, pra isso a gente precisa decompor a velocidade na componente vertical.

v y = v 0 s e n θ = 19,5 s e n 45

v y = 13,8 m / s

Agora a gente pode usar a equação da velocidade, vamos analisar a subida da bola e para ela a equação fica:

v = v y - g t

Quando a bola sobe ela vai perdendo velocidade por causa da gravidade e atinge v = 0 no ponto máximo, sendo assim:

0 = v y - g t

v y = g t

Substituindo v y = 13,78 m / s e g = 10 m / s 2 , temos o tempo:

t = v y g = 13,8 10 = 1,38 s

E não podemos esquecer que o tempo de subida é só metade do tempo do movimento, temos que usar o tempo total que é o dobro desse aqui pra analisar o alcance.

t t o t a l = 2 t = 2,76 s

Passo 3

Vamos agora calcular o alcance da bola, no eixo x não temos aceleração e por isso o alcance é dado por:

∆ x = v x t t o t a l

E lembrando que a velocidade em x é:

v x = v 0 cos ⁡ θ

v x = 19,5 cos ⁡ 45 = 13,8 m / s

Então o alcance fica:

∆ x = 13,8 × 2,76 = 38 m

Então o nosso desenho estava certinho, o jogador está a 55 metros da bola e precisa correr na direção oposta.

Passo 4

Agora que temos tudo basta substituir na equação da posição do movimento uniforme para descobrirmos a velocidade do jogador

S = S 0 + v 1 t  

38 = 55 + 2,76 v 1

v 1 = - 17 2,76

v 1 = - 6,16   m / s

A velocidade negativa significa que o jogador correrá no sentido oposto do movimento da bola e portanto a hipótese que adotamos estava correta pro movimento.

Resposta

v 1 = - 6,16   m / s

Exercício Resolvido #6

Paul A. Tripler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros, Volume 1, 6ª edição, Cap 3, pp 90-103

Você assiste seu amigo jogando hóquei. Durante o jogo, ele atinge o disco de tal forma que, ao chegar no seu ponto mais alto, o disco passa de raspão por cima do muro de acrílico de 2,80   m de altura que cerca o campo, distante 12,0   m do jogador. Encontre a a componente vertical da velocidade inicial, b o tempo para atingir o muro e c   a componente horizontal da velocidade inicial, a rapidez inicial e o ângulo de lançamento. (Ignore a resitência do ar.)

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Passo 1

a Temos que descobrir quanto vale a componente y da velocidade inicial. Por ser um lançamento oblíquo temos que

v y 0 = v 0 . s e n θ

O problema ainda nos deu a altura máxima h m á x = 2,8   m   , pela equação da altura máxima conseguiremos relacionar altura com a velocidade em y

h m á x = v 0 2   .   s e n 2 θ 2 g

Podemos reescrevê-la da seguinte forma

h m á x = v 0 . s e n θ 2 2 g

Substituindo v 0 . s e n θ por v y 0

h m á x = v y 0 2     2 g  

v y 0 = 2,8 .   2   .   9,8

v y 0 = 7,4   m / s

Passo 2

b   Agora queremos descobrir o tempo de subida. Que é metade do tempo de voo. Assim, temos:

t s = v 0   .   s e n θ g

Podemos escrever da seguinte forma também

t s = v y 0 g

Substituindo na equação o valor da componente y da velocidade inicial que terminamos de encontrar, termos

t s = 7,4 9,8

t s = 0,755   s

Passo 3

c   O problema que saber agora a componente x da velocidade inicial, decompondo a velocidade

v x 0 = v 0 . c o s ⁡ ( θ )

Vamos agora analisar o alcance que ainda não usamos para nada, pela fórmula do alcance temos

A = v 0 2 . s e n 2 θ g

Usando a relação trigonométrica s e n 2 θ = 2 . s e n θ . c o s ⁡ ( θ )

A = 2 .   ( v 0 . s e n θ )   . ( v 0 . cos ⁡ θ )   g

Podemos reescrever a equação da seguinte forma

A = 2 .   v y 0 . v x 0 g