Lançamento Oblíquo

Ver Todos os Exercícios

Teoria

O lançamento oblíquo acontece quando um objeto é arremessado formando um ângulo em relação à horizontal.

Lançamento Oblíquo.
Lançamento Oblíquo.

Confere esse vídeo que o Responde Aí preparou pra você aprender tudo o que precisa saber sobre lançamento oblíquo para resolver todos os exercícios! 👇

📢 Clique para saber mais:

´

Como Calcular o Lançamento Oblíquo?

Pra a gente aprender como funcionam os cálculos em problemas envolvendo lançamento oblíquo, vamos começar imaginando um caso qualquer!

Imagine que em condições ideais, sem vento e sem resistência do ar, um operador de canhão deseja que seu projétil atinja a porta de um castelo a uma certa distância . Conforme a figura:

Lançamento Oblíquo
Lançamento Oblíquo

Qual deve ser a velocidade inicial desse tiro de bala de canhão para que ele acerte o alvo??? Como podemos fazer para calcular isso??

Vamos dar um zoom no canhão:

Decomposição dos vetores
Decomposição dos vetores

A nossa bala de canhão tem um velocidade inicial , mas ele esta na diagonal. Então o que fazemos em seguida é a decomposição desse vetor!

Pra resolver problemas de lançamento oblíquo, precisamos olhar separadamente pro movimento vertical e pro movimento horizonta usando as relações trigonométricas.

Assim, podemos escrever:

Agora, bora entender melhor como fazemos isso?

Movimento Horizontal

Vamos começar pensando no movimento do eixo !

Na horizontal não temos nenhum tipo de aceleração, estamos falando de um movimento uniforme, então podemos escrever a seguinte fórmula:

Onde é a posição do projétil no tempo , é sua posição inicial em e é a velocidade inicial, também em .

Podemos relacionar a velocidade inicial do projétil com a velocidade inicial em , como vimos lá em cima, fazendo:

Movimento Vertical

Quando olhamos para o movimento na vertical, percebemos pela trajetória da bala de canhão que na primeira metade do movimento a bola de canhão está subindo, e que na segunda metade do movimento ela começa a cair novamente em direção ao solo.

Isso acontece por causa da gravidade!

Então, como no movimento vertical existe a atuação da aceleração da gravidade, para resolver as questões associadas ao eixo do objeto, e vamos usar as fórmulas do MRUV:

  • Função horária da posição (Sorvetão):

  • Equação da Velocidade:

  • Equação de Torricelli:

📢 OBS: Fique atento! Todos os termos que tem a gravidade apareceram com o sinal negativo nas fórmulas de MRUV, porque temos que considerar que a gravidade aponta no sentido contrário do que orientamos o eixo :

eixos x e y.
eixos x e y.

Agora, vamos praticar com exercícios?!

Como Calcular o Lançamento Oblíquo?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um navio de guerra tenta bombardear simultaneamente dois navios A e B. Se os projéteis são disparados com velocidades cujas magnitudes são idênticas e seguem as trajetórias mostradas na figura abaixo, qual dos navios é atingido primeiramente? Despreze a resistência do ar

a   A.

b B.

c   Os dois são atingidos simultaneamente.

d   Mais informação é necessária para se responder esta questão.

e   Nenhuma das alternativas é correta

Passo 1

A questão quer saber qual dos dois projéteis tem menor tempo de voo.

Vamos olhar a equação do tempo de voo para um lançamento oblíquo:

t f = 2 . v o . s e n Θ g

Vemos que o tempo de voo depende da velocidade inicial, do ângulo que esta faz com o eixo x e da aceleração da gravidade. Como a aceleração da gravidade e a velocidade de lançamento é a mesma para os dois projéteis o tempo de voo vai depender exclusivamente do ângulo Θ .

Quanto maior for θ maior será o tempo de voo, por isso o projétil que ficará menos tempo no ar será aquele com menor ângulo Θ que é o canhão B .

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #2

Um canhão lança suas balas com uma certa inclinação θ em relação à horizontal. Assuma que a bala atinge o chão na mesma elevação em que foi lançada.

Se o tempo de voo foi de 10 segundos, qual a componente vertical de sua velocidade inicial?

(Considere g = 10 m / s 2 )

a   50 m / s

b   10   m / s

c   100   m / s

d   70   m / s

e   nenhuma das anteriores

Passo 1

Pra começar bem a gente precisa entender a situação o canhão atira uma bala com uma inclinação θ em relação a horizontal e velocidade v 0 . O enunciado diz pra gente considerar que a bala chega no chão na mesma altura que foi lançada, é como se desprezássemos a altura do canhão.

Vamos então desenhar um esquema pra ver o que tá rolando ali.

O problema quer que a gente encontre a componente vertical daquela velocidade v 0 , e nos dá o tempo de voo. Esse tempo de voo é simplesmente o tempo marcado pro percurso da bala sair do canhão e chegar no chão de novo.

O que vamos fazer aqui é trabalhar pensando só no movimento vertical da bala, olhando só a componente v y da velocidade.

Como nos foi dado o tempo de voo, podemos considerar que a bala demora o mesmo tempo pra subir e pra descer, sendo assim até atingir a altura h , o tempo é.

t s u b = t v o o 2 = 10 2 = 5 s

Passo 2

E agora é só a gente aplicar a equação da velocidade para o eixo vertical pensando na subida, olhando apenas pra velocidade v y .

v = v y - g t

Onde t = t s u b pro movimento de subida.

E o que vai acontecer quando a bala atingir a altura máxima? A velocidade dela será 0, e aí a relação vai ter essa cara.

0 = v y - g t s u b

v y = g t s u b

Considerando que g = 10 m / s 2 temos:

v y = 10 × 5 = 50 m / s

Resposta

Alternativa a .

Exercício Resolvido #3

Um canhão, posicionado sobre um terreno completamente plano, dispara um projétil com um velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s fazendo um ângulo de 60 ° com a horizontal. Considerando a posição incial do canhão como origem do sistema de coordenadas e a aceleração da gravidade g = 10,0   m / s 2 determine:

a O tempo total de voo do projétil.

b O vetor posição do projétil quando o mesmo atinge sua altura máxima.

c O vetor velocidade quando o mesmo atinge o solo.

d Considere agora que o projétil deva atingir um alvo que está a uma distância de 500   m do canhão. Qual deve ser o ângulo de tiro para que o projétil com velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s possa atingir o alvo?

Passo 1

a   Para calcular o tempo de voo, basta aplicar a equação de tempo de voo

t f = 2 . v o . s e n θ g

Substituindo os valores que temos no enunciado

t f = 2.100 . s e n 60 ° 10

t f = 20 . 3 2

t f = 10 3 ≈ 17,3   s

Passo 2

b   A componente y do vetor posição será a altura máxima, certo? E pela simetria de um lançamento oblíquo podemos dizer que quando o projétil está na altura máxima a componente x da posição éa metade do alcance, lembra?

Então vamos primeiro encontrar a altura máxima, sua fórmula é:

h m á x = v 0 2 . s e n 2 θ 2 g

h m á x = 100 2 . s e n 2 60 ° 2.10

h m á x = 500.3 4

h m á x = 375  

Passo 3

Só falta achar o alcance, e faremos isso usando a equação pro alcance que aprendemos

A = v 0 2 s e n 2 . θ g

A = 100 2 s e n 2 . 60 ° 10

A = 1000 . 3 2

A = 866,02   m

Como nossa componente em x é metade do alcance, temos que

r x = A 2

r x = 433   m

Agora que temos nossa componente em y ( h m á x ) e nossa componente em x   r x , podemos escrever o vetor posição.

r → = 433 . i ^ + 375 . j ^   m

.

Passo 4

c O problema que o vetor velocidade no final do movimento, sabemos que durante qualquer instante do movimento v x permanece constante. Já v y varia durante todos os instantes, mas no final do movimento temos que v y f = - v y 0

Primeiro vamos achar v x decompondo a velocidade, usando a regra do COlado/Separado

v x = 100 . cos ⁡ 60 °

v x = 100 . 1 2

v x = 50   m / s

Agora calcularemos v y 0   usando a mesma regra

v y 0 = 100 . s e n 60 °

v y 0 = 86,6   m / s  

Como vimos que no final a velocidade em y é

v y f = - v y 0

v y 0 = - 86,6   m / s

v → = [ 50   . i ^ - 86,6 . j ^ ]   m / s

Passo 5

d Nesse item nós foi dado o alcance desejado e o problema quer sabe que ângulo θ fará com que alcancemos essa distância de 500   m

Basta aplicarmos a equação do alcance e termos

500 = 100 2 10 .   s e n 2 θ  

s e n 2 θ = 0,5  

2 θ = a r c s e n 0,5

Fazendo isso vamos encontrar dois valores para θ

2 θ = 30 °   o u   150 °

θ = 15 °   o u   75 °

Resposta

a t = 10 3 ≈ 17,3   s

b   r → = 433 . i ^ + 375 . j ^   m

c v → = [ 50   . i ^ - 86,6 . j ^ ]   m / s

d θ = 15 °   o u   75 °

Exercício Resolvido #4

Um projétil é lançado do nível do chão com uma rapidez inicial de 53   m / s . Encontre o ângulo de lançamento ( o ângulo que a velocidade inicial forma acima da horizontal) de forma que a altura máxima do projétil seja igual ao seu alcance horizontal. (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

Vamos entender o problema fazendo um desenho da situação, o projétil é lançado com velocidade v 0 = 53 m / s e o problema pede o ângulo de inclinação θ para que o alcance e a altura sejam iguais, dessa forma temos a seguinte situação.

Beleza, se eu sei disso agora preciso encontrar uma relação entre a altura e o alcance ∆ x , vamos fazer isso decompondo a velocidade e analisando os dois movimentos, vertical e horizontal.

Passo 2

Vamos decompor as velocidades, usando as seguintes relações:

v x = v 0 c o s θ

v 0 y = v 0 s e n ( θ )

E aqui separamos os movimentos, o movimento horizontal é um movimento uniforme e portanto o alcance é dado por:

∆ x = v x t = v 0 c o s θ t T

Aonde t T é o tempo total do movimento, isso é, até o projétil chegar ao solo.

Já o movimento vertical é um pouquinho diferente, temos a gravidade desacelerando, portanto temos um movimento uniformemente variado. Pra encontrar a altura máxima, podemos aplicar a equação de torricelli.

v y 2 = v 0 y 2 - 2 g h

Só que aqui a velocidade no ponto da altura máxima é v y = 0 e portanto:

0 = v 0 y 2 - 2 g h

v 0 y 2 = 2 g h

Isolando h e lembrando que v 0 y = v 0 s e n ( θ )

h = v 0 y 2 2 g

h = v 0 2 s e n 2 θ 2 g

Agora é só igualar as equações para esses carinhas aqui:

h = Δ x

v 0 2 s e n 2 θ 2 g = v 0 c o s θ t T

Cortando os termos semelhantes temos o seguinte:

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = t T

Putz, mas e esse t T aí, o que eu faço com ele?

Ele é o tempo total do lançamento, e é o único termo que a gente não tem.

Muita calma nessa hora, vamos dar um jeitinho nisso.

Passo 3

Para encontrarmos o tempo t T vamos analisar o movimento vertical, se a gente pensar na subida poderemos ver pela equação da velocidade quem é esse cara:

v y = v 0 y - g t s u b

Onde

t s u b = t T 2

Já que o movimento completo leva em consideração subida e descida. Aqui sabemos também que na altura máxima a velocidade final na vertical é v y = 0 e então a equação fica:

0 = v 0 y - g t T 2

Rearrumando temos então o querido tempo!

2 v y g = 2 v 0 s e n θ g = t T

Agora é só voltar na nossa equação antiga e substituir essa galera aí:

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = t T

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = 2 v 0 s e n θ g

Daí pegue a tesoura pois cortaremos muita gente por aqui hehe!

Cortando v 0 e g   de ambos os lados e também o s e n 2 ( θ ) que passará a ser s e n ( θ ) , temos:

s e n θ cos ⁡ θ = 4

E se liga aí, essa relação que temos é a tangente!

t g θ = 4

Agora é só inverter e já era:

θ = a r c t g 4 = 75,96 °

Resposta

θ = 75,96 °

Exercício Resolvido #5

Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5   m / s e um ângulo para cima de 45 ° . No mesmo instante um jogador a 55   m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade média para que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado?

Passo 1

O problema quer saber qual deve ser a velocidade do jogador para que ele alcance a bola. Para determinarmos a velocidade do jogador precisamos saber o quanto ele vai correr, ou seja, o alcance da bola e quanto tempo ele vai correr que seria o tempo de voo da bola.

Como ainda não sabemos o alcance da bola o jogador pode estar dentro desse alcance e aí ele teria que correr no sentido da bola. Ou fora do alcance e aí sua velocidade apontara para o sentido oposto. Como não temos o tempo percorrido vamos inicialmente adotar a hipótese do jogador fora do alcance da bola, só pra gente fazer um desenho.

A partir daí vamos calcular o tempo de voo da bola e com isso o alcance, pra enfim definirmos a velocidade do jogador.

Passo 2

Pra calcularmos o tempo de voo vamos analisar apenas o movimento vertical da bola, pra isso a gente precisa decompor a velocidade na componente vertical.

v y = v 0 s e n θ = 19,5 s e n 45

v y = 13,8 m / s

Agora a gente pode usar a equação da velocidade, vamos analisar a subida da bola e para ela a equação fica:

v = v y - g t

Quando a bola sobe ela vai perdendo velocidade por causa da gravidade e atinge v = 0 no ponto máximo, sendo assim:

0 = v y - g t

v y = g t

Substituindo v y = 13,78 m / s e g = 10 m / s 2 , temos o tempo:

t = v y g = 13,8 10 = 1,38 s

E não podemos esquecer que o tempo de subida é só metade do tempo do movimento, temos que usar o tempo total que é o dobro desse aqui pra analisar o alcance.

t t o t a l = 2 t = 2,76 s

Passo 3

Vamos agora calcular o alcance da bola, no eixo x não temos aceleração e por isso o alcance é dado por:

∆ x = v x t t o t a l

E lembrando que a velocidade em x é:

v x = v 0 cos ⁡ θ

v x = 19,5 cos ⁡ 45 = 13,8 m / s

Então o alcance fica:

∆ x = 13,8 × 2,76 = 38 m

Então o nosso desenho estava certinho, o jogador está a 55 metros da bola e precisa correr na direção oposta.

Passo 4

Agora que temos tudo basta substituir na equação da posição do movimento uniforme para descobrirmos a velocidade do jogador

S = S 0 + v 1 t  

38 = 55 + 2,76 v 1

v 1 = - 17 2,76

v 1 = - 6,16   m / s

A velocidade negativa significa que o jogador correrá no sentido oposto do movimento da bola e portanto a hipótese que adotamos estava correta pro movimento.

Resposta

v 1 = - 6,16   m / s

Exercício Resolvido #6

Você assiste seu amigo jogando hóquei. Durante o jogo, ele atinge o disco de tal forma que, ao chegar no seu ponto mais alto, o disco passa de raspão por cima do muro de acrílico de 2,80   m de altura que cerca o campo, distante 12,0   m do jogador. Encontre a a componente vertical da velocidade inicial, b o tempo para atingir o muro e c   a componente horizontal da velocidade inicial, a rapidez inicial e o ângulo de lançamento. (Ignore a resitência do ar.)

Passo 1

a Temos que descobrir quanto vale a componente y da velocidade inicial. Por ser um lançamento oblíquo temos que

v y 0 = v 0 . s e n θ

O problema ainda nos deu a altura máxima h m á x = 2,8   m   , pela equação da altura máxima conseguiremos relacionar altura com a velocidade em y

h m á x = v 0 2   .   s e n 2 θ 2 g

Podemos reescrevê-la da seguinte forma

h m á x = v 0 . s e n θ 2 2 g

Substituindo v 0 . s e n θ por v y 0

h m á x = v y 0 2     2 g  

v y 0 = 2,8 .   2   .   9,8

v y 0 = 7,4   m / s

Passo 2

b   Agora queremos descobrir o tempo de subida. Que é metade do tempo de voo. Assim, temos:

t s = v 0   .   s e n θ g

Podemos escrever da seguinte forma também

t s = v y 0 g

Substituindo na equação o valor da componente y da velocidade inicial que terminamos de encontrar, termos

t s = 7,4 9,8

t s = 0,755   s

Passo 3

c   O problema que saber agora a componente x da velocidade inicial, decompondo a velocidade

v x 0 = v 0 . c o s ⁡ ( θ )

Vamos agora analisar o alcance que ainda não usamos para nada, pela fórmula do alcance temos

A = v 0 2 . s e n 2 θ g

Usando a relação trigonométrica s e n 2 θ = 2 . s e n θ . c o s ⁡ ( θ )

A = 2 .   ( v 0 . s e n θ )   . ( v 0 . cos ⁡ θ )   g

Podemos reescrever a equação da seguinte forma

A = 2 .   v y 0 . v x 0 g

Substituindo pelos dados que temos (obs: o problema nos fornece A 2 = 12 )

24 = 2.7,4 . v x 0 9,8

v x 0 = 15,89   m / s  

Passo 4

Agora que temos a componente x e a componente y da velocidade inicial, basta fazer o módulo do vetor velocidade para achar a rapidez inicial.

v → 0 = 15,89 . i ^ + 7,4 . j ^

v 0 2 = 15,89 2 + 7,4 2

v 0 = 252,9421 + 54,76

v 0 = 17,5   m / s

Passo 5

Podemos achar o ângulo θ de diversas formas, vamos optar por calcular por v y 0

v y 0 = v 0 . s e n ( θ )

7,4 = 17,5 . s e n θ

s e n θ = 0,42286

θ = a r c s e n 0,42286

Na calculadora:

θ = 25 °

Resposta

a   v y 0 = 7,4   m / s

b   t = 0,755   s

c   v x 0 = 15,89   m / s   ; v 0 = 17,5   m / s ;   θ = 25 °