Lançamento Oblíquo

Teoria Completa

O lançamento oblíquo é parecido com o lançamento horizontal, que já estudamos.

A diferença é que, no lançamento oblíquo, o objeto sai com velocidade diferente de zero nas duas dimensões. E aí, qual será a cara desse movimento?

Pois é, ele fica assim:

Tem um montão de coisa que a gente pode se perguntar sobre esse movimento. Vou te mostrar como descobrir o que eles mais pedem nos enunciados. Vamos lá!

Decompondo o Movimento

Primeira coisa que a gente tem que perceber é que tem que dividir esse movimento em duas direções: horizontal e vertical.

O movimento da horizontal não possui aceleração, ou seja, ela é zero. Então o movimento é uniforme. Por isso, para resolver os problemas, usaremos:

S x = S x 0 + v x 0 . t

onde v x 0 = v 0   c o s θ .

Na vertical, como a aceleração é a gravidade, o movimento é acelerado (movimento uniformemente variado). Por isso, usaremos as equações:

  • Função horária da posição:
  • S y = S y 0 + v y 0 . t - g . t 2 2

  • Equação da velocidade:
  • v y = v y 0 - g . t

  • Equação de Torricelli:

v y 2 = v y 0 2 - 2 . g . Δ S y

onde v y 0 = v 0 s e n θ e v y = v s e n θ

Moleza para você que já fez tudo de movimento unidimensional!

A partir daí, é só você pegar as informações do enunciado e manipular as equações acima para calcular umas dessas coisas:

  • Alcance: é a distância no eixo x do ponto que a bola sai do chão até o ponto que ela toca uma superfície novamente. Representaremos por A .
  • Altura máxima: é a máxima posição da partícula no eixo y . É onde a velocidade no eixo y   é zero, v y = 0 .   Representaremos por h m á x ;
  • Tempo de vôo: é quanto tempo a partícula gasta do instante que saiu do solo até voltar ao solo, ou seja, o tempo que ela passa no ar (vamos representar por t f ).

Maaaas, existe um caso que a gente consegue calcular todas as coisas acima usando umas formulinhas prontas.

Esse é o caso que a altura do ponto inicial e do ponto final são as mesmas e o movimento no eixo x é um movimento uniforme ( v = c t e ) .

Vamos ver agora quais são essas formulinhas pra usar nesse caso.

Alcance

Como eu faço pra calcular a que distância da posição inicial essa bolinha vai cair? Em outras palavras, qual o valor do alcance A da bolinha?

Bom, pela simetria da trajetória, tem algumas coisas que podemos perceber. Por exemplo:

  • O tempo de subida ( t s ) é igual ao tempo de descida t d .
  • O tempo de voo é igual a t f = t s + t d = 2 t s .
  • Quando a partícula chega a altura máxima h m á x ela também chega na metade do seu alcance A 2 .

Sabemos que:

S x = S x 0 + v x 0 . t

A = 0 + v 0 c o s θ . t f

Mas, considerando somente a subida até a altura máxima (onde v y = 0 ):

v y = v y 0 - g . t

0 = v 0 s e n θ - g . t s

t s = v 0 s e n θ g

Como t f = 2 t s :

A = v 0 cos ⁡ θ t f = v 0 cos ⁡ θ 2 t s = v 0 cos ⁡ θ 2 v 0 s e n θ g

A = v 0 2 g 2 s e n θ cos ⁡ θ

E agora vamos usar uma identidade trigonómetrica marota do arco duplo

s e n 2 θ = 2 s e n θ cos ⁡ θ

Assim finalmente temos

A = v 0 2 s e n 2 θ g

Pela fórmula, vemos que quanto maior v 0 , maior A . Também vemos que A é máximo para θ = 45 ° .

Altura máxima

Como que eu vou saber qual a altura máxima nesse caso?

S y = S y 0 + v y 0 . t - g . t 2 2

h m á x = 0 + v 0 s e n θ . t s - g . t s 2 2

Como   t s = v 0 s e n θ g :

h m á x = v 0 2 . s e n 2 θ 2 g

Pela fórmula, vemos que quanto maior v 0 , maior h m á x . Também vemos que h m á x é máximo para θ = 90 ° , o que corresponderia a um lançamento vertical.

Tempo de Vôo

Como vimos, nesse caso:

t s = v 0 s e n θ g

Logo:

t f = 2 v 0 s e n θ g

O tempo de voo segue o mesmo raciocínio, quanto maior o módulo da velocidade inicial v → 0 e o ângulo Θ , mais tempo a partícula passará no ar.

Uma outra coisa interessante de saber é que no instante que a partícula volta ao solo, ela tem o mesmo módulo da velocidade inicial, porém com sentido oposto, logo v y f = - v y 0 .

Lembre-se: essas fórmulas para alcance, altura máxima e tempo de voo que vimos acima só valem para o caso que a altura do ponto inicial e do ponto final são as mesmas e o movimento no eixo x é um movimento uniforme ( v = c t e ) .

Lançamento Obliquo com Aceleração Horizontal

E o que acontece se uma pessoa faz um lançamento oblíquo, mas tá com uma mochilinha que a dá uma aceleração horizontal?

O método de resolução será o mesmo. Iremos separar e estudar o movimento em cada eixo.

Como os movimentos de cada eixo são independentes e não mudamos nada no movimento do eixo y , a pessoa continuará em um movimento uniformemente acelerado.

Então continuaremos analisando este eixo considerando um movimento acelerado e assim usando as fórmulas do MUV:

S y = S y 0 + v y 0 . t - g . t 2 2

v y = v y 0 - g . t

v y 2 = v y 0 2 - 2 . g . Δ S y

Agora, a diferença é que o eixo x também vai ter um movimento acelerado. Logo, usaremos as seguintes fórmulas:

S x = S x 0 + v x 0 . t + a x t 2 2

v x = v x 0 + a x t

v x 2 = v x 0 2 + 2 . a x Δ S x

Pronto, com isso você já consegue resolver os exercícios de lançamento com aceleração horizontal!

Vamos lá praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP-1ª Prova-2014.1

Um navio de guerra tenta bombardear simultaneamente dois navios A e B. Se os projéteis são disparados com velocidades cujas magnitudes são idênticas e seguem as trajetórias mostradas na figura abaixo, qual dos navios é atingido primeiramente? Despreze a resistência do ar

a   A.

b B.

c   Os dois são atingidos simultaneamente.

d   Mais informação é necessária para se responder esta questão.

e   Nenhuma das alternativas é correta

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Passo 1

A questão quer saber qual dos dois projéteis tem menor tempo de voo.

Vamos olhar a equação do tempo de voo para um lançamento oblíquo:

t f = 2 . v o . s e n Θ g

Vemos que o tempo de voo depende da velocidade inicial, do ângulo que esta faz com o eixo x e da aceleração da gravidade. Como a aceleração da gravidade e a velocidade de lançamento é a mesma para os dois projéteis o tempo de voo vai depender exclusivamente do ângulo Θ .

Quanto maior for θ maior será o tempo de voo, por isso o projétil que ficará menos tempo no ar será aquele com menor ângulo Θ que é o canhão B .

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #2

PUC-RIO-1ª Prova-2013.2

Um canhão lança suas balas com uma certa inclinação θ em relação à horizontal. Assuma que a bala atinge o chão na mesma elevação em que foi lançada.

Se o tempo de voo foi de 10 segundos, qual a componente vertical de sua velocidade inicial?

(Considere g = 10 m / s 2 )

a   50 m / s

b   10   m / s

c   100   m / s

d   70   m / s

e   nenhuma das anteriores

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Passo 1

Pra começar bem a gente precisa entender a situação o canhão atira uma bala com uma inclinação θ em relação a horizontal e velocidade v 0 . O enunciado diz pra gente considerar que a bala chega no chão na mesma altura que foi lançada, é como se desprezássemos a altura do canhão.

Vamos então desenhar um esquema pra ver o que tá rolando ali.

O problema quer que a gente encontre a componente vertical daquela velocidade v 0 , e nos dá o tempo de voo. Esse tempo de voo é simplesmente o tempo marcado pro percurso da bala sair do canhão e chegar no chão de novo.

O que vamos fazer aqui é trabalhar pensando só no movimento vertical da bala, olhando só a componente v y da velocidade.

Como nos foi dado o tempo de voo, podemos considerar que a bala demora o mesmo tempo pra subir e pra descer, sendo assim até atingir a altura h , o tempo é.

t s u b = t v o o 2 = 10 2 = 5 s

Passo 2

E agora é só a gente aplicar a equação da velocidade para o eixo vertical pensando na subida, olhando apenas pra velocidade v y .

v = v y - g t

Onde t = t s u b pro movimento de subida.

E o que vai acontecer quando a bala atingir a altura máxima? A velocidade dela será 0, e aí a relação vai ter essa cara.

0 = v y - g t s u b

v y = g t s u b

Considerando que g = 10 m / s 2 temos:

v y = 10 × 5 = 50 m / s

Resposta

Alternativa a .

Exercício Resolvido #3

UNICAMP-1ª Prova-2014.2

Um canhão, posicionado sobre um terreno completamente plano, dispara um projétil com um velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s fazendo um ângulo de 60 ° com a horizontal. Considerando a posição incial do canhão como origem do sistema de coordenadas e a aceleração da gravidade g = 10,0   m / s 2 determine:

a O tempo total de voo do projétil.

b O vetor posição do projétil quando o mesmo atinge sua altura máxima.

c O vetor velocidade quando o mesmo atinge o solo.

d Considere agora que o projétil deva atingir um alvo que está a uma distância de 500   m do canhão. Qual deve ser o ângulo de tiro para que o projétil com velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s possa atingir o alvo?

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Passo 1

a   Para calcular o tempo de voo, basta aplicar a equação de tempo de voo

t f = 2 . v o . s e n θ g

Substituindo os valores que temos no enunciado

t f = 2.100 . s e n 60 ° 10