Circuito RC

Teoria Completa

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Se você chegou a essa página hoje é porque precisa de ajuda para entender o circuito RC, e você acabou de encontrar o lugar certo! Partiu então?

Circuito RC

Um circuito RC é um circuito que é composto por uma fonte (força eletromotriz), resistor e capacitor.

Representação de um circuito RC
Representação de um circuito RC

📢 ALERTA 1: Nós temos um tópico que fala sobre os capacitores. É bem importante que você entenda o que são os capacitores e o que chamamos de capacitância para compreender melhor o funcionamento de um circuito RC. Por isso, antes de continuar aqui, vai até essa outra página: Capacitor e Capacitância, e depois retorna pra cá, estamos combinados?

Eu já vou te falar aqui duas fórmulas que são essenciais em um circuito RC.

A diferença de potencial do capacitor, quando ele está sendo carregado, é dada por:

Diferença de potencial no capacitor
Diferença de potencial no capacitor

Onde:

  • $V_C$ é a diferença de potencial no capacitor;
  • $q$ é a carga do capacitor;
  • $C$ é a capacitância.

A corrente que passa no capacitor é dada por:

Corrente elétrica no capacitor
Corrente elétrica no capacitor

Onde:

  • $i_C$ é a corrente elétrica no capacitor;
  • $C$ é a capacitância;
  • $dV/dt$ é a taxa de variação da tensão do circuito com o tempo

Em um circuito RC, nós teremos alguns momentos em que o capacitor estará sendo carregado, ou seja, haverá carga sendo armazenada nele, e teremos outros momentos em que o capacitor estará sendo descarregado, ou seja, a carga que foi armazenada nele anteriormente estará sendo usada. Vamos analisar cada uma dessas duas situações separadamente.

Carregamento do Capacitor

Vamos imaginar que no momento $t=0$ o capacitor começa a ser carregado.

Podemos aplicar a Lei das malhas no circuito RC e teremos a seguinte expressão:

Lei das malhas aplicada a um circuito RC em carregamento
Lei das malhas aplicada a um circuito RC em carregamento

📢 ALERTA 2: É muito importante que você saiba também o que é a Lei das Malhas e como aplicá-la em problemas de circuitos elétricos. Por isso, caso tenha alguma d��vida nessa lei é só conferir essa nossa página: Lei das Malhas.

Se aplicarmos a definição de corrente, $i=dq/dt$, a essa lei das malhas ficaremos com a seguinte expressão:

Definição de corrente aplicada a lei das malhas para um circuito RC
Definição de corrente aplicada a lei das malhas para um circuito RC

Essa é uma equação diferencial e sua solução é a que segue:

Solução da equação diferencial - expressão da carga em função do tempo
Solução da equação diferencial - expressão da carga em função do tempo

Assim, temos a expressão matemática que descreve como a carga no capacitor varia com o tempo.

Note que podemos tirar algumas conclusões disso, como:

  • Quando $t\longrightarrow0$; $q\longrightarrow0$, que é exatamente o momento que o capacitor está começando a ser carregado, então nesse instante ainda não há carga armazenada nele;
  • Quando $t\longrightarrow\infty$; $q\longrightarrow Cε$, que é a carga máxima do capacitor

Agora, podemos derivar em relação ao tempo a expressão que encontramos para a carga e acharmos a expressão da corrente no capacitor com o tempo:

Expressão da corrente elétrica em função do tempo
Expressão da corrente elétrica em função do tempo

Podemos fazer um gráfico da corrente versus tempo e teremos esse perfil:

Gráfico da corrente
Gráfico da corrente

Note que a corrente começa com um valor máximo e conforme o capacitor vai sendo carregado a corrente vai diminuindo até começar a tender para zero.

Agora, podemos encontrar a expressão para a diferença de potencial em um capacitor, simplesmente pegando a expressão que achamos para a carga do capacitor e dividindo pela capacitância:

Expressão da diferença de potencial em função do tempo para um capacitor em carregamento
Expressão da diferença de potencial em função do tempo para um capacitor em carregamento

Podemos novamente fazer um gráfico da diferença de potencial versus tempo e encontrar o seguinte perfil:

Gráfico da diferença de potencial
Gráfico da diferença de potencial

A diferença de potencial começa em zero e vai aumentando conforme o capacitor vai sendo carregado.

Descarga do Capacitor

A descarga do capacitor se dá em um circuito que a fonte (força eletromotriz) foi retirada e então o capacitor passa a agir como a fonte do circuito. Ou seja, em uma descarga do capacitor nós temos um circuito formado apenas pelo capacitor e pelo resistor.

Se aplicarmos a lei das malhas para esse circuito teremos a seguinte expressão:

Lei das malhas aplicada à descarga do capacitor
Lei das malhas aplicada à descarga do capacitor

Novamente estamos diante de uma equação diferencial que tem a seguinte solução:

Solução da equação diferencial
Solução da equação diferencial

E assim, encontramos a expressão da carga em função do tempo na descarga de um capacitor. Analizando a fórmula vemos que quanto $t$ tende a $0$ a carga é $q_0$, que é a carga máxima do capacitor, e conforme $t$ vai aumentando a carga vai diminuindo até tender a $0$ quando $t$ tende ao infinito.

Novamente podemos derivar essa expressão em relação ao tempo e encontrar a expressão para a corrente elétrica:

Expressão da corrente elétrica em função do tempo na descarga de um capacitor
Expressão da corrente elétrica em função do tempo na descarga de um capacitor

Fazendo um gráfico temos:

Gráfico da corrente elétrica
Gráfico da corrente elétrica

Note que na descarga o comportamento da corrente é o inverso do que no carregamento, aqui ela começa em um valor mínimo e vai aumentando com o tempo até tender a $0$ quando $t$ tendo ao infinito.

Novamente podemos pegar a expressão da carga e dividir pela capacitância para encontrar a expressão da diferença de potencial:

Expressão da diferença de potencial para a descarga de um capacitor
Expressão da diferença de potencial para a descarga de um capacitor

E o gráfico fica com esse perfil:

Gráfico da diferença de potencial
Gráfico da diferença de potencial

Capacitores em série e em paralelo

A última coisa que temos para falar em um circuito RC é a associação de capacitores em série ou em paralelo.

Capacitores em série
Capacitores em série

Capacitores em série
Capacitores em série

Nessas associações nós vamos ter que achar a capacitância equivalente para podermos fazer os cálculos.

Para capacitores em série a capacitância equivalente é dada por:

Capacitância equivalente para associação de capacitores em série
Capacitância equivalente para associação de capacitores em série

E para capacitores em paralelo a capacitância equivalente é dada por:

Capacitância equivalente para capacitores em paralelo
Capacitância equivalente para capacitores em paralelo

UFAAAAA!! Acabamos 🎉

O que temos que fazer agora é praticar muito. Então confere essa nossa página aqui de exercícios: Circuito RC - Exercícios

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-11.

O interruptor está na posição da figura por um longo tempo. No instante t =   0 ele é trocado para a posição b . Determine a carga do capacitor e a corrente no resistor nos tempos:

a ) No instante em que a chave é fechada.

b ) t = 50 μ s

c )   t = 200 μ s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Para determinar a carga no capacitor quando a chave é fechada, precisamos lembrar da seguinte relação:

Q = V . C

Onde V é a diferença de potencial e C é a capacitância, substituindo, temos:

Q = 9 .   4 × 10 - 6

Q = 3,6 × 10 - 5   C

A corrente no resistor é dada por:

V = 9 = R i = 25 . i

i = 0,36   A

Passo 2

Para determinar a carga no capacitor em diferentes tempos, precisamos lembrar da equação para a carga de um capacitor descarregando:

Q ( t ) = Q 0 . e - t τ

Onde Q 0 é a carga inicial e τ = R . C e é a denominada constante de tempo capacitiva, como já temos a carga inicial, vamos então calcular τ :

τ = R . C = 25 .   4 × 10 - 6 = 10 - 4   s

Substituindo na equação, temos:

Q t = 3,6 × 10 - 5 . e - t 10 - 4

Já a corrente no descarregamento de um capacitor é dada por:

i t = - Q 0 τ e - t τ = - 3,6 × 10 - 5 10 - 4 e - t 10 - 4

O sinal negativo da corrente na fórmula só indica que o seu sentido é contrário àquele do carregamento.

Passo 3

b )

Para t = 50 μ s , temos:

Q t = 3,6 × 10 - 5 . e - t 10 - 4

Q 50 μ s = 3,6 × 10 - 5 . e - 5 0 × 10 - 6 10 - 4

Q 50 μ s = 2,18 × 10 - 5   C

i 50 μ s = - 3,6 × 10 - 5 10 - 4 e - 50 × 10 - 6 10 - 4 = - 0,22   A

Em módulo:   i 50 μ s = 0,22   A

Passo 4

c )

Para t = 200 μ s , temos:

Q t = 3,6 × 10 - 5 . e - t 10 - 4

Q 200 μ s = 3,6 × 10 - 5 . e - 200 × 10 - 6 10 - 4

Q 200 μ s = 4,87 × 10 - 6   C

i 20 0 μ s = - 3,6 × 10 - 5 10 - 4 e - 200 × 10 - 6 10 - 4 = - 0,049   A

Em módulo:   i 20 0 μ s = 0,049   A

Resposta

a ) Q = 3,6 × 10 - 5   C ; i = 0,36   A  

b ) Q 50 μ s = 2,18 × 10 - 5   C ;   i 50 μ s = 0,22   A

c ) Q 200 μ s = 4,87 × 10 - 6   C ;   i 200 μ s = 0,049   A

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 193-47.

Um resistor de 15,0   k Ω e um capacitor estão ligados em série, e então uma diferença de potencial de 12,0   V é repentinamente aplicada entre as extremidades deles.

A diferença de potencial entre as extremidades do capacitor aumenta para 5,0   V em 1,30   μs .

  1. Calcule a constante de tempo do circuito;
  2. Determine a capacitância do capacitor;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O circuito tem mais ou menos essa cara aqui:

Trata-se de um circuito RC, nele a carga do capacitor, a corrente e d.d.p. do capacitor variam de acordo com as equações:

q = C ξ ( 1 - e - t / R C )

i = ξ R   e - t / R C

V C = ξ ( 1 - e - t / R C )

O circuito RC possui uma grandeza chamada constante de tempo, dada por:

τ = R C

Passo 2

  1. Calcule a constante de tempo do circuito;
  2. O problema diz que a diferença de potencial entre as extremidades do capacitor aumenta para 5,0   V em 1,30   μ s .

    Então vamos usar esse dado na equação:

    V C = ξ ( 1 - e - t / τ )

    Onde:

    V C = 5   V ;

    ξ = 12   V ;

    t = 1,30   μs ;

    Vamos ver no que vai dar:

    5 = 12 ( 1 - e - 1,3 / τ )

    5 12 = 1 - e - 1,3 / τ

    e - 1,3 τ = 1 - 5 12

    e - 1,3 τ = 7 12

    - 1,3 τ = ln ⁡ 7 12

    - 1,3 τ = - 0,53

    τ = 1,3 0,53

    τ = 2,4   μs

    Passo 3

  3. Determine a capacitância do capacitor;

Conforme eu disse no Passo 1:

τ = R C

Logo:

C = τ R

Agora ficou fácil, né?

τ = 2,4   μs = 2,4 × 10 - 6   s ;

R = 15   k Ω = 1,5 × 10 4   Ω ;

Vambora!

C = 2,4 × 10 - 6 1,5 × 10 4

C = 160   p F

Resposta

  1. τ = 2,4   μs ;
  2. C = 160   p F ;

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 195-65.

No circuito abaixo, ε = 1,2   kV , C = 6,5   μF , R 1 = R 2 = R 3 = 0,73   M Ω .

Com o capacitor C completamente descarregado, a chave S é fechada bruscamente no instante t = 0 .

Determine, para o instante t = 0 :

  1. A corrente i 1 no resistor 1;
  2. A corrente i 2 no resistor 2;
  3. A corrente i 3 no resistor 3;
  4. Determine, para t → ∞ (ou seja, após várias constantes de tempo):

  5. i 1 ;
  6. i 2 ;
  7. i 3 ;
  8. Determine a diferença de potencial V 2 no resistor 2:

  9. Em t = 0 ;
  10. Em t → ∞   ;
  11. Faça um esboço do gráfico de V 2 em função do tempo t no intervalo entre esses dois instantes extremos;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Determine, para o instante t = 0 a corrente i 1 no resistor 1;
  2. O que a gente tem que atentar aqui é que a voltagem em um capacitor é dada pela seguinte expressão:

    V = q C

    Em t = 0 o capacitor está descarregado, ou seja, q = 0 e pela fórmula, a diferença de potencial no capacitor também será nula. Assim, nesse momento é como se o capacitor não existisse:

    Passo 2

    Agora, nós temos a seguinte situação no circuito:

    Note que podemos dividir o circuito em duas malhas:

  • Malha 1: Resistores R 1 e R 2
  • Malha 2: Resistores R 1 e R 3

Vamos aplicar a Lei das Malhas para cada uma das malhas:

Malha 1:

ε - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

Malha 2:

ε - i 1 R 1 - i 3 R 3 = 0

Temos duas equações, mas três variáveis ( i 1 , i 2 e i 3 ), então para resolver precisamos de mais uma equaçãozinha.

Vamos utilizar a Regra dos Nós, que nos diz que:

i 1 = i 2 + i 3

Então:

i 3 = i 1 - i 2

Se substituirmos a expressão para i 3 na Lei das malhas para a Malha 2 teremos um sisteminha de duas equações:

ε - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

ε - i 1 R 1 - i 1 - i 2 R 3 = 0

Passo 2

Bora resolver esse sisteminha!!

ε - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

ε - i 1 R 1 - i 1 - i 2 R 3 = 0

Onde:

ε = 1,2   kV = 1,2 × 10 3   V ;

R 1 = R 2 = R 3 = 0,73   M Ω = 7,3 × 10 5   Ω ;

Logo:

1,2 × 10 3 - 7,3 × 10 5   i 1 - 7,3 × 10 5   i 2 = 0

1,2 × 10 3 - 14,6 × 10 5   i 1 + 7,3 × 10 5   i 2 = 0  

Somando as duas equações:

2,4 × 10 3 - 21,9 × 10 5   i 1 = 0

i 1 = 2,4 × 10 3 21,9 × 10 5

i 1 = 1,1 × 10 - 3  A = 1,1  mA

Passo 3

  • Determine, para o instante t = 0 a corrente i 2 no resistor 2;
  • Para descobrir o valor de i 2 é só utilizar uma das equações do nosso sisteminha:

    Vamos usar essa

    ε - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

    Onde:

    i 1 = 1,1   × 10 - 3   A ;

    Que encontramos anteriormente

    A nossa única incógnita é i 2 :

    1,2 × 10 3 - 7,3 × 10 5   .     1,1 × 10 - 3 - 7,3 × 10 5   i 2 = 0

    Logo:

    i 2 = 5,5   × 10 - 4  A = 0,55  mA  

    Passo 4

  • Determine, para o instante t = 0 a corrente i 3 no resistor 3;
  • Como já temos o valor de i 1 e i 2 , para achar i 3 vamos retornar para a Regra dos Nós:

    i 3 = i 1 - i 2

    Onde:

    i 1 = 1,1   m A ;

    i 2 = 0,55   m A ;

    Logo:

    i 3 = 0,5 5   m A

    Passo 5

  • Determine, para o instante t → ∞ a corrente i 1 no resistor 1;
  • Quando t → ∞ , o capacitor fica completamente carregado, portanto, a corrente deixa de correr no ramo onde ele está.

    Ou seja, i 3 = 0  

    Além disso, a corrente i 1 não se divide, pois só há um caminho para percorrer, então:

    i 1 = i 2

    Passo 6

    Vamos aplicar a Lei das malhas para essa nossa situação:

    ε - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

    Como i 1 = i 2 e R 1 = R 2 , temos:

    ε - i 1 R 1 - i 1 R 1 = 0

    ε - 2   i 1 R 1 = 0

    ε = 2   i 1 R 1

    Então, i 1 será dada por:

    i 1 = ε 2 R 1 = 1,2.10 3 2 . 0,73.10 6 = 8,2   × 10 - 4   A = 0,82   m A

    Passo 7

  • Determine, para o instante t → ∞ a corrente i 2 no resistor 2;
  • Já vimos que i 1 = i 2 , então:

    i 2 = i 1 = 0,82   m A

    Passo 8

  • Determine, para o instante t → ∞ a corrente i 3 no resistor 3;
  • Já analisamos que nesse caso, nenhuma corrente passa pelo ramo do capacitor, então:

    i 3 = 0   A

    Passo 9

  • Determine a diferença de potencial V 2 no resistor 2 em t = 0 ;
  • Quando t = 0 a corrente que passa pelo resistor 2 é i 2 = 0,55   m A = 0,55 × 10 - 3 A . Logo:

    V 2 = R 2 i 2

    Onde R 2 = 0,73   M Ω = 0,73 × 10 6   Ω . Logo:

    V 2 = 0,73 × 10 6 × 0,55 × 10 - 3

    V 2 = 4,015 × 10 2   V = 401,5   V

    Passo 10

  • Determine a diferença de potencial V 2 no resistor 2 em t → ∞ ;
  • Quando t → ∞ , a corrente que passa pelo resistor 2 é i 2 = 0,82   m A = 0,82 × 10 - 3 A . Logo:

    V 2 = R 2 i 2

    V 2 = 0,73 × 10 6 × 0,82 × 10 - 3

    V 2 = 5,986   × 10 2 =   598,6   V

    Passo 11

  • Faça um esboço do gráfico de V 2 em função do tempo t no intervalo entre esses dois instantes extremos;
  • Vamos considerar agora a Malha 1 (que já identificamos no passo 2) e vamos definir uma Malha 3, formada pelo capacitor e pelos resistores 2 e 3.

    As equações das malhas serão:

    Malha 1:

    ε - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

    Malha 3:

    - q C - i 3 R 3 + i 2 R 2 = 0

    Considerando que i 1 = i 2 + i 3 e que R 1 = R 2 = R 3 = R e substituindo isso na equação da Malha 1, teremos:

    ε - ( i 2 + i 3 ) R - i 2 R = ε - 2 i 2 R - i 3 R = 0

    i 2 = ( ε - i 3 R ) / 2 R

    Substituindo esse resultado na equação da Malha 3, temos:

    - q C - i 3 R + ε - i 3 R 2 R × R = 0

    - q C - i 3 R + ε 2 - i 3 R 2 = 0

    Sendo:

    i 3 = d q d t

    Temos:

    - q C - R d q d t + ε 2 - d q d t R 2 = 0

    3 R 2 d q d t + q C = ε 2

    Essa equação é semelhante àquela que vimos na teoria, com algumas pequenas diferenças. No nosso caso,

    τ = 3 R C 2

    E o potencial é:

      ε 2

    Logo, a solução dessa equação é:

    i 3 t = ε 3 R e - 2 t 3 R C

    Como vimos, a corrente i 2 será dada por:

    i 2 = ε - i 3 R 2 R

    Substituindo em i 2 a expressão que achamos para i 3 , temos:

    i 2 = ε - ε 3 R e - 2 t 3 R C R 2 R = ε 2 R - ε 6 R e - 2 t 3 R C

    Daí, temos:

    V 2 t = i 2 R = ε 2 R - ε 6 R e - 2 t 3 R C R =   ε 6 3 - e - 2 t 3 R C

    Então o gráfico da diferença de potencial tem mais ou menos essa cara:

    Resposta

    1. i 1 = 1,1   mA ;
    2. i 2 = 0,55   m A ;
    3. i 3 = 0,55   m A ;
    4. i 1 = 0,82   m A ;
    5. i 2 = 0,82   m A ;
    6. i 3 = 0   A ;
    7. V 2 = 401,5   V ;
    8. V 2 = 598,6   V ;

    Exercício Resolvido #4

    UNICAMP-P2-2012.2-Física III-Diurno-Questão n°3

    O circuito da figura contém dois resistores R 1 e R 2 e dois capacitores C 1 e C 2 e o conjunto é ligado a uma bateria de f e m ε . Antes de a chave S ser ligada, os capacitores estão descarregados.

    a ) determine a constante de tempo desse circuito;

    b ) determine a corrente que atravessa a bateria em função do tempo após o fechamento da chave S ;

    c ) determine a d d p entre os ponto b e c em função do tempo;

    d ) com S fechada por um longo tempo, quais são as cargas nos capacitores C 1 e C 2 .

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    a ) determine a constante de tempo desse circuito;

    Antes de começar o problema aqui, a primeira coisa que devemos fazer é simplificar esse circuito.

    Temos duas resistências em paralelo, de modo que a resistência equivalente será:

    1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2

    R e q = R 1 R 2 R 1 + R 2

    Da mesma forma, temos dois capacitores em paralelo, de forma que a capacitância equivalente será:

    C e q = C 1 + C 2

    Assim, o circuito, que antes tinha uma cara escrota, agora ainda tem uma cara ainda escrota, mas um pouco melhor...

    Passo 2

    Isso agora nada mais é do que um circuito R C em série.

    Quando o capacitor está inicialmente descarregado, a equação que determina o seu carregamento, é dada por:

    q t = C ε 1 - e - t R C