Circuito RC

Teoria Completa

Introdução

O modelo mais simples de um circuito RC é basicamente composto por uma fonte, um resistor e um capacitor.

Mas antes, o que é o capacitor?

Vou tentar explicar de uma maneira simples, já que temos um capítulo inteiro sobre ele.

O capacitor geralmente é constituído por duas placas paralelas, a princípio, sem nenhuma carga, e que começa a carregar assim que o capacitor é ligado ao circuito e a corrente passa a atravessá-lo.

A diferença de potencial do capacitor enquanto ele está carregando é dada por:

V C = q C

Quando estamos trabalhando em circuitos, temos que considerar que:

  • Se atravessamos o capacitor no mesmo sentido da corrente, a diferença de potencial será - q C ;
  • Se atravessamos o capacitor no sentido oposto ao da corrente, a diferença de potencial será + q C ;

Onde q é a carga do capacitor e C é a capacitância.

Carregamento do Capacitor

Vamos imaginar um circuito simples com um resistor e um capacitor:

De acordo com a Regra das Malhas, teremos uma coisa desse tipo:

E - i R - q C = 0

Onde, por definição:

i = d q d t

Assim, ficamos com essa equação:

E = R d q d t + q C

Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, mas não se preocupa, não precisa esquentar a cabeça com isso, vou te colocar na boa.

Antes de continuar e você ver algumas fórmulas que podem parecer bizarras (e são), não precisa de preocupar, porque o mais importante é você entender como funciona o capacitor em um circuito.

Essa equação diferencial tem a seguinte solução:

q = C E 1 - e - t R C

(Carga durante o carregamento de um capacitor)

Essa equação mostra como varia a carga do capacitor em função do tempo.

Agora passa a aparecer também um fator importante, chamado de constante de tempo capacitiva, dada por:

τ = R C

Duas conclusões que podemos tirar da fórmula:

  • Quando t = 0 , q = 0 ... que é justamente o momento imediatamente após da corrente começar a passar pelo capacitor.
  • Quando t → ∞ , q = C E ... que se trata da carga máxima do capacitor q 0 , quando ele já está completamente carregado.
  • Agora vamos dar uma olhada com o que acontece com a corrente no capacitor.

    i = d q d t

    i = E R e - t R C

    (Corrente durante o carregamento de um capacitor)

    Duas conclusões que podemos tirar da fórmula

    • Quando t = 0 , i = E / R ... que é o momento imediatamente após a corrente começar a passar pelo capacitor, se trata da corrente máxima que passa por ele.
    • Quando t → ∞ , i = 0 ... ou seja, quando o capacitor fica completamente carregado, a corrente simplesmente para de passar por ele. Se o capacitor estiver ligado em paralelo com o resto do circuito, a corrente simplesmente para de passar pelo ramo onde o capacitor está.

    No caso do circuito que montamos ali em cima, mesmo que haja uma fonte e uma resistência, a corrente não fluirá mais.

    Descarga do Capacitor

    Depois que o capacitor está carregado, o que acontece se nós tirarmos a fonte?

    Se fizermos isso, no circuito só vão sobrar o capacitor e o resistor, nesse caso, o capacitor vai passar a agir como fonte até que a carga nele se anule novamente... se trata do descarregamento do capacitor.

    R d q d t + q C = 0

    Que tem a seguinte solução:

    q = q 0 e - t R C

    (Carga durante a descarga do capacitor)

    Se fizermos a mesma análise de antes, com t = 0 e t → ∞ , vemos que inicialmente a carga dele é q 0 e que depois de muito tempo a carga tende a zero.

    Vamos olhar de novo a corrente:

    i = d q d t

    i = - q 0 R C e - t R C

    (Corrente durante a descarga do capacitor)

    Se fizermos a mesma análise de antes, com t = 0 e t → ∞ , vemos que inicialmente a corrente vale - q 0 / R C e que depois de muito tempo a corrente tende a zero.

    O sinal negativo que aparece na corrente inicial durante a descarga indica que agora a corrente está fluindo no sentido oposto ao anterior, durante o carregamento.

    Capacitores em Série e em Paralelo

    O intuito aqui é fazer com os capacitores o mesmo que fazemos com os resistores em um circuito e definir uma expressão para a capacitância equivalente para associações de capacitores ligados em série e em paralelo.

    Não vou te encher muito com os detalhes aqui, mas o que vai te ajudar a lembrar das fórmulas é saber que com os capacitores as fórmulas são praticamente o contrário do que com os resistores.

    Portanto:

  • Quando n capacitores estão ligados em série, a capacitância equivalente é dada por:
  • 1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 + … + 1 C n

  • Quando n capacitores estão em paralelo, a capacitância equivalente é dada por:

C e q = C 1 + C 2 + C 3 + … + C n

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-11.

O interruptor está na posição da figura por um longo tempo. No instante t =   0 ele é trocado para a posição b . Determine a carga do capacitor e a corrente no resistor nos tempos:

a ) No instante em que a chave é fechada.

b ) t = 50 μ s

c )   t = 200 μ s

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Passo 1

a )

Para determinar a carga no capacitor quando a chave é fechada, precisamos lembrar da seguinte relação:

Q = V . C

Onde V é a diferença de potencial e C é a capacitância, substituindo, temos:

Q = 9 .   4 × 10 - 6

Q = 3,6 × 10 - 5   C

A corrente no resistor é dada por:

V = 9 = R i = 25 . i

i = 0,36   A

Passo 2

Para determinar a carga no capacitor em diferentes tempos, precisamos lembrar da equação para a carga de um capacitor descarregando:

Q ( t ) = Q 0 . e - t τ

Onde Q 0 é a carga inicial e τ = R . C e é a denominada constante de tempo capacitiva, como já temos a carga inicial, vamos então calcular τ :

τ = R . C = 25 .   4 × 10 - 6 = 10 - 4   s

Substituindo na equação, temos:

Q t = 3,6 × 10 - 5 . e - t 10 - 4

Já a corrente no descarregamento de um capacitor é dada por:

i t = - Q 0 τ e - t τ = - 3,6 × 10 - 5 10 - 4 e - t 10 - 4

O sinal negativo da corrente na fórmula só indica que o seu sentido é contrário àquele do carregamento.

Passo 3

b )

Para t = 50 μ s , temos:

Q t = 3,6 × 10 - 5 . e - t 10 - 4

Q 50 μ s = 3,6 × 10 - 5 . e - 5 0 × 10 - 6 10 - 4

Q 50 μ s = 2,18 × 10 - 5   C

i 50 μ s = - 3,6 × 10 - 5 10 - 4 e - 50 × 10 - 6 10 - 4 = - 0,22   A

Em módulo:   i 50 μ s = 0,22   A

Passo 4

c )

Para t = 200 μ s , temos:

Q t = 3,6 × 10 - 5 . e - t 10 - 4

Q 200 μ s = 3,6 × 10 - 5 . e - 200 × 10 - 6 10 - 4

Q 200 μ s = 4,87 × 10 - 6   C

i 20 0 μ s = - 3,6 × 10 - 5 10 - 4 e - 200 × 10 - 6 10 - 4 = - 0,049   A

Em módulo:   i 20 0 μ s = 0,049   A

Resposta

a ) Q = 3,6 × 10 - 5   C ; i = 0,36   A  

b ) Q 50 μ s = 2,18 × 10 - 5   C ;   i 50 μ s = 0,22   A

c ) Q 200 μ s = 4,87 × 10 - 6   C ;   i 200 μ s = 0,049   A

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 193-47.

Um resistor de 15,0   k Ω e um capacitor estão ligados em série, e então uma diferença de potencial de 12,0   V é repentinamente aplicada entre as extremidades deles.

A diferença de potencial entre as extremidades do capacitor aumenta para 5,0   V em 1,30   μs .

  1. Calcule a constante de tempo do circuito;
  2. Determine a capacitância do capacitor;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O circuito tem mais ou menos essa cara aqui:

Trata-se de um circuito RC, nele a carga do capacitor, a corrente e d.d.p. do capacitor variam de acordo com as equações:

q = C ξ ( 1 - e - t / R C )

i = ξ R   e - t / R C

V C = ξ ( 1 - e - t / R C )

O circuito RC possui uma grandeza chamada constante de tempo, dada por:

τ = R C

Passo 2

  1. Calcule a constante de tempo do circuito;
  2. O problema diz que a diferença de potencial entre as extremidades do capacitor aumenta para 5,0   V em 1,30   μ s .

    Então vamos usar esse dado na equação:

    V C = ξ ( 1 - e - t / τ )

    Onde:

    V C = 5   V ;

    ξ = 12   V ;

    t = 1,30   μs ;

    Vamos ver no que vai dar:

    5 = 12 ( 1 - e - 1,3 / τ )

    5 12 = 1 - e - 1,3 / τ

    e - 1,3 τ = 1 - 5 12

    e - 1,3 τ = 7 12

    - 1,3 τ = ln ⁡ 7 12