Circuito RC

Teoria Completa

Introdução

O modelo mais simples de um circuito RC é basicamente composto por uma fonte, um resistor e um capacitor. Tá maneiro mas quem é o capacitor e como que eu calculo seus componentes?

Vamos entender o que é um capacitor, já que é algo novo pra nós e aí partiremos pra um exemplo mais prático, tá?

Vou tentar explicar de uma maneira simples, já que temos um capítulo inteiro sobre ele.

O capacitor geralmente é constituído por duas placas paralelas e enquanto aquela chavezinha ali estiver aberta nenhuma carga vai passar por ele, na nossa língua o circuito trabalha como se não tivesse capacitor. Quando a chave é fechada a carga começa a passar por ele e aí ele passa a ter diferença de potencial, corrente e precisa ser considerado nos cálculos.

A diferença de potencial do capacitor enquanto ele está carregando é dada por:

V C = q C

Onde q é a carga do capacitor e C é a capacitância e possui uma unidade conhecida como F a r a d a y F .

E a corrente no capacitor é dada por:

i c = C d V d t

O capacitor não suporta mudanças bruscas na tensão.

Quando estamos trabalhando em circuitos, temos que considerar que:

  • Se atravessamos o capacitor no mesmo sentido da corrente, a diferença de potencial será - q C ;
  • Se atravessamos o capacitor no sentido oposto ao da corrente, a diferença de potencial será + q C ;

Carregamento do Capacitor

Continuando com nosso querido circuito, vamos imaginar agora um problema em que a chave será fechada.

A chave foi fechada e o circuito começou a ser carregado a partir do tempo t = 0 , e aí como que eu vou calcular os componentes agora?

De acordo com a Regra das Malhas, teremos uma coisa desse tipo:

E - i R - q C = 0

A gente tem a corrente e tem a carga, e vamos relacionar as duas usando a definição de corrente:

i = d q d t

Assim, ficamos com essa equação:

E = R d q d t + q C

Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, mas não se preocupa, não precisa esquentar a cabeça com isso, vou te colocar na boa.

Antes de continuar e você ver algumas fórmulas que podem parecer bizarras, não precisa de preocupar, porque o mais importante é você entender como funciona o capacitor em um circuito.

Essa equação diferencial tem a seguinte solução:

q = C E 1 - e - t R C

(Carga durante o carregamento de um capacitor)

Essa equação mostra como varia a carga do capacitor em função do tempo.

Agora passa a aparecer também um fator importante, chamado de constante de tempo capacitiva, dada por:

τ = R C

Duas conclusões que podemos tirar da fórmula:

  • Quando t = 0 , q = 0 ... que é justamente o momento imediatamente após da corrente começar a passar pelo capacitor.
  • Quando t → ∞ , q = C E ... que se trata da carga máxima do capacitor q 0 , quando ele já está completamente carregado.
  • Agora vamos dar uma olhada com o que acontece com a corrente no capacitor.

    i = d q d t

    E aqui derivando a fórmula da carga do capacitor achamos a corrente:

    i = d d t C E 1 - e - t R C

    Derivando temos:

    i = C E - 1 R C × - e - t R C

    E enfim arrumando temos:

    i = E R e - t R C

    (Corrente durante o carregamento de um capacitor)

    E o gráfico desse cara vai ficar da seguinte forma:

    Ou seja, quando a chave é fechada passa toda a corrente possível, e após ir passando o tempo vai passando menos corrente até que num certo ponto quando t → ∞ a corrente i → 0 .

    E como a gente mostrou lá em cima que:

    V C = q C

    Podemos calcular de boa a voltagem no capacitor substituindo a solução para a carga:

    V C = q C = C E 1 - e - t R C C

    E cortando a capacitância, temos:

    V C = E 1 - e - t R C

    E seu gráfico vai ter essa carinha aqui!

    No início ao abrir a chave, a voltagem inicial é zero mas ao longo do tempo vai aumentando e se estabiliza em ε quando t → ∞ temos V → ε .

    Duas conclusões que podemos tirar da fórmula

    • Quando t = 0 , i = E / R ... que é o momento imediatamente após a corrente começar a passar pelo capacitor, se trata da corrente máxima que passa por ele.
    • Quando t → ∞ , i = 0 ... ou seja, quando o capacitor fica completamente carregado, a corrente simplesmente para de passar por ele. Se o capacitor estiver ligado em paralelo com o resto do circuito, a corrente simplesmente para de passar pelo ramo onde o capacitor está.

    No caso do circuito que montamos ali em cima, mesmo que haja uma fonte e uma resistência, a corrente não fluirá mais.

    Descarga do Capacitor

    Depois que o capacitor está carregado, o que acontece se nós tirarmos a fonte?`

    Se fizermos isso, no circuito só vão sobrar o capacitor e o resistor, nesse caso, o capacitor vai passar a agir como fonte até que a carga nele se anule novamente... se trata do descarregamento do capacitor. Vamos fazer a lei das malhas de novo e ver como fica agora:

    R d q d t + q C = 0

    Que tem a seguinte solução:

    q = q 0 e - t R C

    (Carga durante a descarga do capacitor)

    Se fizermos a mesma análise de antes, com t = 0 e t → ∞ , vemos que inicialmente a carga dele é q 0 e que depois de muito tempo a carga tende a zero.

    Vamos olhar de novo a corrente:

    i = d q d t

    Derivando a gente vai ter:

    i = d d t q 0 e - t R C

    E pela regra da cadeia fica:

    i = - q 0 R C e - t R C

    (Corrente durante a descarga do capacitor)

    E o gráfico desse cara nesses casos vai ser o seguinte:

    Se fizermos a mesma análise de antes, com t = 0 e t → ∞ , vemos que inicialmente a corrente vale - q 0 / R C e que depois de muito tempo a corrente tende a zero.

    O sinal negativo que aparece na corrente inicial durante a descarga indica que agora a corrente está fluindo no sentido oposto ao anterior, durante o carregamento.

    E a tensão nesse caso aí, bora ver como vai ficar? Se a gente lembrar que:

    V C = q C

    Teremos o seguinte:

    V C = q 0 C e - t R C  

    E o gráfico da voltagem fica:

    Da mesma forma que pra corrente a gente pode analisar a função no ponto 0, e teremos V = q 0 / C  

    Quando o capacitor está totalmente descarregado ele deve ser considerado um circuito fechado.

    Capacitores em Série e em Paralelo

    O intuito aqui é fazer com os capacitores o mesmo que fazemos com os resistores em um circuito e definir uma expressão para a capacitância equivalente para associações de capacitores ligados em série e em paralelo. Vamos olhar essa galera melhor.

    Aqui é o seguinte a forma de calcular a capacitância equivalente do circuito em série é igual ao cálculo da resistência equivalente do circuito em paralelo, e pros capacitores em paralelo o cálculo é o mesmo da resistência equivalente para circuitos em série.

    Portanto:

  • Quando n capacitores estão ligados em série, a capacitância equivalente é dada por:
  • 1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 + … + 1 C n

  • Quando n capacitores estão em paralelo, a capacitância equivalente é dada por:

C e q = C 1 + C 2 + C 3 + … + C n

Resumo

Fórmulas para o capacitor no processo de carregamento

q = C E 1 - e - t R C

i = E R e - t R C

V C = E 1 - e - t R C

τ = R C

Quando o circuito está totalmente carregado ele pode ser considerado um circuito aberto.

Fórmulas para a descarga do capacitor:

q = q 0 e - t R C

i = - q 0 R C e - t R C

V C = q 0 C e - t R C  

Quando o capacitor está totalmente descarregado ele deve ser considerado um circuito fechado.

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-11.

O interruptor está na posição da figura por um longo tempo. No instante t =   0 ele é trocado para a posição b . Determine a carga do capacitor e a corrente no resistor nos tempos:

a ) No instante em que a chave é fechada.

b ) t = 50 μ s

c )   t = 200 μ s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Para determinar a carga no capacitor quando a chave é fechada, precisamos lembrar da seguinte relação:

Q = V . C

Onde V é a diferença de potencial e C é a capacitância, substituindo, temos:

Q = 9 .   4 × 10 - 6

Q = 3,6 × 10 - 5   C

A corrente no resistor é dada por:

V = 9 = R i = 25 . i

i = 0,36   A

Passo 2

Para determinar a carga no capacitor em diferentes tempos, precisamos lembrar da equação para a carga de um capacitor descarregando:

Q ( t ) = Q 0 . e - t τ

Onde Q 0 é a carga inicial e τ = R . C e é a denominada constante de tempo capacitiva, como já temos a carga inicial, vamos então calcular τ :

τ = R . C = 25 .   4 × 10 - 6 = 10 - 4   s

Substituindo na equação, temos:

Q t = 3,6 × 10 - 5 . e - t 10 - 4

Já a corrente no descarregamento de um capacitor é dada por:

i t = - Q 0 τ e - t τ = - 3,6 × 10 - 5 10 - 4 e - t 10 - 4

O sinal negativo da corrente na fórmula só indica que o seu sentido é contrário àquele do carregamento.

Passo 3

b )

Para t = 50 μ s , temos:

Q t = 3,6 × 10 - 5 . e - t 10 - 4

Q 50 μ s = 3,6 × 10 - 5 . e - 5 0 × 10 - 6 10 - 4

Q 50 μ s = 2,18 × 10 - 5   C

i 50 μ s = - 3,6 × 10 - 5 10 - 4 e - 50 × 10 - 6 10 - 4 = - 0,22   A

Em módulo:   i 50 μ s = 0,22   A

Passo 4

c )

Para t = 200 μ s , temos: