Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico

Teoria Completa

Introdução

Vimos que o método da integral dos potenciais gerado por cargas infinitesimais calculou legal o potencial elétrico de uma distribuição em linha e também de uma superficial, mas e se o corpo carregado tiver essa carinha aqui?

Temos uma esfera condutora de raio R carregada com uma carga total Q   e queremos calcular o potencial elétrico num ponto P que está fora da esfera, há uma distância r do centro da esfera.

Nesse caso, se tentássemos fazer pela integral de cada carga d q da esfera, não iríamos conseguir calcular, daria muito trabalho!

Mas sabemos como calcular o campo elétrico gerado por essa esfera usando a Lei de Gauss! Será que podemos usar esse campo para encontrar o potencial?!

A resposta é que sim e, para isso, usaremos o método da integral de linha do campo elétrico, onde:

Δ V = - ∫ E → . d r →

A nossa estratégia aqui é a seguinte:

  1. Usamos a Lei de Gauss e calculamos o campo elétrico;
  2. ∯ S E → . d A → = Q i n t ϵ 0

  3. Utilizamos o campo elétrico para calcular o potencial elétrico.

V b - V a = - ∫ r = a r = b E → ∙ d r →

Esfera Carregada

Para calcular o campo elétrico, pela Lei de Gauss, o primeiro passo é criar nossa Superfície Gaussiana, que nesse caso será uma superfície esférica de raio r .

Aplicando Gauss (se você não lembra de Gauss, dá uma revisada que vai ser importante aqui), nós chegaríamos em:

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Sabendo que esse campo é radial e aponta para fora da esfera, podemos escrevê-lo vetorialmente:

E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Onde o Q i n t vai ser a própria carga total da esfera Q e 1 4 π ϵ 0 é a nossa constante eletrostática k .

Substituindo o campo na equação do potencial elétrico temos:

∆ V = V b - V a = - ∫ a b k Q r 2 r ^ ∙ d r →

E como o vetor campo elétrico está na mesma direção que o vetor d r → , o produto escalar entre os dois será o produto dos seus módulos:

V b - V a = - ∫ a b k Q r 2 d r

E tirando o que é constante da integral, teremos:

V b - V a = - k Q ∫ a b d r r 2

Agora para encontrar o potencial em um ponto, a estratégia é fazer com que V a seja o potencial no infinito, que por convenção é 0 .

V a = V ∞   = 0

V b = - k Q ∫ ∞ b d r r 2

Show, e para encontrar o potencial em um ponto dado por uma distância r do centro da esfera, a gente escreve assim:

V r = - k Q ∫ ∞ r d r r 2

Agora é só realizar a conta dessa integral!

V r = - k Q - 1 r r ∞

V r = k Q 1 r r ∞

E substituindo os limites de integração:

V r = k Q 1 r - 1 ∞

Aonde um número dividido por infinito, a gente pode lembrar lá de limites que ele vai dar zero, logo:

V r = k Q r  

Isso é válido para um r > R , ou seja, fora da esfera.

E se quiséssemos saber o potencial dentro da esfera, em um ponto P que está no interior da esfera:

Nesse caso, precisamos conhecer o campo elétrico no interior da esfera, para um r < R .

Aqui nesse exemplo, estamos usando uma esfera condutora, e dentro de corpos condutores o campo elétrico é SEMPRE nulo:

  E i n t = 0

(se a esfera não fosse condutora, você ia precisar aplicar a lei de gauss de novo, para encontrar esse campo no interior da esfera, beleza?)

Agora vamos fazer:

V b - V a = - ∫ r = a r = b E → ∙ d r →

Usando V a = V ∞ = 0 , e V b = V ( r ) , teremos:

V r = - ∫ ∞ r E → . d r →

Repara que nessa integral estamos caminhando lá do infinito até uma distância r que está dentro da esfera.

E esse campo tem uma cara fora da esfera e outra cara dentro da esfera, então precisamos abrir essa integral em duas:

V r = - ∫ R r E i n t → . d r → + ∫ ∞ R E e x t → . d r →

Repara que os limites de integração são de r até R para dentro da esfera e de R até o infinito para fora da esfera.

Agora é só substituir o campo no interior e o campo no exterior da esfera e depois integrar:

V r = - ∫ R r 0 . d r → + ∫ ∞ R k Q r 2 r ^ ∙ d r →

V r = - 0 + k Q ∫ ∞ R 1 r 2 d r

V r = - k Q - 1 r R ∞ = k Q 1 r R ∞

V r = k Q 1 R - 1 ∞

Chegando finalmente em:

V r = k Q R

Isso é válido para r < R .

Ou seja, o potencial elétrico dentro da esfera condutora é um valor constante dado por essa expressão aí em cima.

Sendo assim, o potencial elétrico da esfera condutora é dado por:

  P a r a   r < R : V r = k Q R   P a r a   r > R :   V r = k Q r  

Graficamente, o potencial elétrico gerado por essa esfera, é algo assim:

Ou seja, no interior da esfera é constante e fora da esfera o potencial vai caindo.

Repara só, que lá no infinito, com r → ∞ , o potencial tende a zero, assim como a gente tinha estipulado!

Aqui nós vimos como calcular o potencial elétrico gerado por uma esfera condutora, mas podemos fazer o mesmo procedimento para cilindros, planos e esferas, condutores ou isolantes! Ou seja, tudo que podemos aplicar a Lei de Gauss para conhecer o campo, conseguimos conhecer o potencial também!

Diferença de Potencial em Capacitores

O método da integral de linha também é utilizado para se calcular a diferença de potencial entre as placas de um capacitor. Se você não conhece um capacitor ainda, tem uma matéria aqui no Responde Aí explicando o que eles são!

Existem basicamente 3 tipos de capacitores: Capacitor de placas planas, cilíndrico e esférico.

Vamos dar uma olhada em como calcular o potencial de um capacitor cilíndrico!

O capacitor cilíndrico é formado por duas superfícies cilíndricas, onde uma está carregada com carga Q e a outra com carga - Q .

Para encontrar a diferença de potencial entre as superfícies, faremos:

Δ V = V b - V a = - ∫ r = a r = b E → ∙ d r →

Onde a é o raio do cilindro de dentro e b é o raio do cilindro de fora.

E para encontrar o campo entre as placas, aplicaremos a Lei de Gauss, fazendo uma superfície gaussiana cilíndrica entre os cilindros:

∯ S E → . d A → = Q i n t ϵ 0

Como o campo é constante ao longo da gaussiana e está paralelo com o vetor d A → , teremos:

E . A = Q i n t ϵ 0

Lembrando que essa área, para o caso da simetria cilíndrica, é a área lateral do cilindro apenas:

A = 2 π r L

E a carga interna à superfície Gaussiana, será a carga do cilindro interno - Q , com isso teremos:

E = - Q 2 π r L ϵ 0

E podemos ainda, escrevê-lo vetorialmente:

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

E substituindo o campo na expressão do potencial, temos:

Δ V = - ∫ r = a r = b - Q 2 π r L ϵ 0 r ^ ∙ d r →

Esse produto escalar entre os vetores, vai dar apenas a multiplicação dos módulos e além disso, podemos tirar o que é constante da integral:

Δ V = Q 2 π L ϵ 0   ∫ r = a r = b 1 r d r

E resolvendo essa integral, teremos:

Δ V = Q 2 π L ϵ 0 ln ⁡ r b a

E aí, é só substituir os limites:

Δ V = Q 2 π L ϵ 0 ln ⁡ b - ln ⁡ a

E pra finalizar, vamos usar uma propriedade do logaritmo que diz que a subtração de logaritmos é o logaritmo da divisão:

Δ V = Q 2 π L ϵ 0 ln ⁡ b a

E essa é a diferença de potencial em um capacitor cilíndrico.

Para encontrar esse cara para o capacitor plano ou o esférico, a ideia é sempre a mesma, encontrar o campo por Gauss e depois encontrar o potencial com a relação que aprendemos aqui!

Bora praticar!?

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP-P1-2012-3 - Modificada

O eixo de um cilindro condutor de 3   m e t r o s de raio dista 5   m e t r o s do plano y z conforme a figura. O cilindro é infinito na direção z perpendicular ao plano da figura e todo o semiespaço x ≤ 0 é preenchido com um material condutor.

O potencial eletrostático num ponto de coordenadas ( x ,   y ,   z ) no espaço fora dos condutores é dado por

V x , y , z = 100 ln ⁡ x + 4 2 + y 2 x - 4 2 + y 2   v o l t s ,

onde x ,   y e z são em metros.

a ) Determine o potencial no ponto C do eixo do cilindro condutor x = 5   m ,   y = z = 0   m .

b ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço, inclusive no interior dos condutores.

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Passo 1

a ) Determine o potencial no ponto C do eixo do cilindro condutor x = 5   m ,   y = z = 0   m .

O potencial que o exercício nos deu é

V x , y , z = 100 ln ⁡ x + 4 2 + y 2 x - 4 2 + y 2  

Só que esse potencial só serve pra região FORA dos condutores!

Mas tem um macete aqui! Lembra que o potencial dentro de condutores tem que ser constante (já que o campo elétrico no seu interior é nulo)? Então isso significa que o potencial na borda do cilindro é igual ao potencial no seu centro, ou seja

V P = V C

Então pra calcular o potencial no centro do cilindro, basta calcular o potencial no ponto P .

Olhando a figura as coordenadas do ponto P são ( 5 ,   - 3 ) . Substituindo essas coordenadas no potencial temos

V P = 100 ln ⁡ 5 + 4 2 + - 3 2 5 - 4 2 + - 3 2 = 100 ln ⁡ 9 2 + 9 1 2 + 9 = 100 ln ⁡ 90 10 = 100 ln ⁡ 9 = 200 ln ⁡ 3

Assim o potencial no ponto C será

V C = 200 ln ⁡ 3   v o l t s

Passo 2

b ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço, inclusive no interior dos condutores.

Por definição:

E = - d V d r

Onde:

V x , y , z = 100 ln ⁡ x + 4 2 + y 2 x - 4 2 + y 2

Pra descobrir cada componente do campo elétrico, temos que derivar parcialmente V em função de cada uma das coordenadas x ,   y e z .

E x = - ∂ V ∂ x = - 200 x + 4 x + 4 2 + y 2 - x - 4 x - 4 2 + y 2   ( V / m )

E y = - ∂ V ∂ y = - 200 y x + 4 2 + y 2 - y x - 4 2 + y 2   ( V / m )

E z = - ∂ V ∂ z = 0

Por fim, o problema pede pra calcular também o campo no interior dos condutores... aí tem um detalhe que você jamais pode esquecer: o campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo!

Resposta

a )

V C = 200 ln ⁡ 3 V

b )

Fora dos condutores

E x = - 200 x + 4 x + 4 2 + y 2 - x - 4 x - 4 2 + y 2   ( V / m )

E y = - 200 y x + 4 2 + y 2 - y x - 4 2 + y 2   ( V / m )

E z = 0

Dentro dos condutores

E → = 0

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 100-13.

Determine (a) a carga e (b) a densidade superficial de cargas de uma esfera condutora de 0,15   m de raio cujo potencial é 200   V (tomando V = 0 no infinito).

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Passo 1

Lembrar que o campo elétrico gerado por uma esfera condutora nas regiões localizadas fora da esfera possui uma fórmula muito parecida com a clássica lei de Coulomb para corpos puntiformes:

E → = k q r 2 r ^

Passo 2

O potencial do campo elétrico de 200   V é constante tanto na superfície da esfera condutora quanto em seu interior e isso ocorre porque não há campo elétrico dentro da esfera, apenas na superfície dela.

Esse campo pode ser calculado por meio da integral:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

V R - V ∞ = - ∫ ∞ R K . q r 2 r ^ ∙ d r →

V R = - K . q ∫ ∞ R d r r 2

V R = K . q r ∞ R = K . Q R = 200 V

Passo 3

Logo, a carga vale:

Q = 200 . R K = 200 . 0,15 9.10 9 C = 3 , 34.10 - 9 C = 3,34   n C

Passo 4

Para acharmos a densidade superficial, basta dividir a carga pela área da esfera:

σ = Q A

σ = 3 , 34.10 - 9 C 4 . π . R 2 = 3 , 34.10 - 9 C 4 . π . ( 0,15 ) 2 m 2 = 1,18.10 - 8 C m 2  

Resposta

(a)   Q = 3,34   p C

(b) 1,18.10 - 8 C m 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Um cilindro condutor infinito ao longo do eixo O x de raio R tem densidade de carga constante λ . Calcule o potencial a uma distância r do eixo O x do cilindro, dado que a uma distância R 0 > R ele vale V 0 . O potencial dado poderia ter sido no infinito?

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Passo 1

Rascunhando a situação, temos:

Como essa questão é a cara da Lei de Gauss para calcular o campo, vamos preferir utilizar a fórmula:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

Escolhendo um caminho radial em direção ao cilindro. Estabelecido isso, vamos partir para calcular o campo. enunciando a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Pela simetria cilíndrica do problema, escolhemos uma Gaussiana cilíndrica de raio arbitrário r e comprimento arbitrário L . Dado que escolhemos uma superfície com essas dimensões e já aproveitamos a simetria do campo, temos que o vetores normais à parte lateral da superfície são paralelos ao campo, ao passo que os vetores normais nas tampas são perpendiculares a ele, de forma que:

G = Lateral   +   Tampas

∯ G E → ∙ d A → = ∯ Lateral E → ∙ d A → + ∯ Tampas E → ∙ d A →

De forma que:

∯ Tampas E → ∙ d A → = 0

Portanto:

∯ G E → ∙ d A → = ∯ Lateral E d A

Passo 2

Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:

∯ Lateral E d A = E ∯ Lateral d A

E temos então a área da lateral com nossa integral:

∯ G E → ∙ d A → = E A

A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:

A = 2 π r × L

Logo, temos:

E 2 π r L = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 2 π L ϵ 0 r

Passo 3

Temos uma densidade linear constante, portanto é válido dizer que a razão entre a carga interna à Gaussiana e o comprimento dela é igual à densidade:

Q i n t L = λ

Logo temos:

Q i n t = λ L

Substituindo na expressão do campo:

E = λ L 2 π L ϵ 0 r

E = λ 2 π ϵ 0 r

Ainda pela questão da simetria, temos que o campo vai ter somente essa componente radial, então:

E → = λ 2 π ϵ 0 r r ^

Passo 4

Partindo do ponto dado para um ponto arbitrário com distância r até o centro, escolhemos um caminho C qualquer.

O caminho pode sim ser qualquer um, como na figura, mas se você quiser evitar do examinador da prova exigir uma demonstração desse fato, talvez você queira particularizar e dizer que o caminho é radial, daí nesse caso temos que o campo e o seu vetor d r → são sempre paralelos ao longo do caminho. Aplicando na fórmula, temos:

Δ V = - ∫ C   λ 2 π ϵ 0 r ' r ^ ⋅ d r ' r ^

Δ V = - ∫ C   λ 2 π ϵ 0 r ' r ^ ∙ d r ' r ^

Arrumando: V r - V R 0 = - λ 2 π ϵ 0 ∫ R 0 r d r ' r '

V r - V 0 = - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r R 0

V r = V 0 - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r R 0

E é isso. Mas e aí, poderia ter sido arbitrado no infinito esse potencial inicial? Não, pois a integral não aceitaria r = ∞ . Você estaria tentando fazer:

∫ ∞ r d r ' r ' = ln ⁡ r - ln ⁡ ∞

Coisa que não daria certo, pois ln ⁡ ∞ é infinito também.

Resposta

V r = V 0 - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r R 0

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Dado uma esfera condutora de raio a e carga Q envolta por uma casca esférica condutora neutra de raios interno e externo iguais a b e c . Dado que o potencial no infinito é nulo, calcule o potencial em cada região:

  • r < a
  • r ∈ a , b
  • r ∈ b , c
  • r > c
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Passo 1

Como estamos com um problema de achar o potencial de uma distribuição de cargas que aparentemente morre com Lei de Gauss, vamos preferir usar a fórmula:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

Escolhendo um caminho C radial, porque é mais fácil de fazer a conta. Afinal, o caminho não importa, certo?

Então a primeira coisa é achar o campo E → em todas as regiões. Fazendo a Lei de Gauss...

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Pela simetria esférica do problema, escolhemos uma superfície esférica de raio arbitrário r para ser nossa Gaussiana G . Dessa forma, os vetores normais d A → são paralelos ao campo em todos os pontos de G , do que segue o fato:

E → ∙ d A → = E d A

Passo 2

Além disso, pela configuração do campo, temos que o seu módulo E → é constante em toda G , do que segue o fato:

∯ G E d A = E ∯ G d A

Da última equação, segue que a integral de d A em toda G é a área da Gaussiana. A área superficial de uma esfera é conhecida e é igual à:

∯ G d A = 4 π r 2

Substituindo na Lei, temos:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Passo 3

Vamos matar todas as regiões então. Na região r < a , temos a parte maciça de um condutor, portanto:

E → = 0

Na parte de r ∈ [ a , b ] estamos fora da esfera, logo a carga total é Q :

Q i n t = Q

E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Na parte em que r ∈ [ b , c ] estamos dentro da casca esférica. Só que como ela é condutora, não temos campo:

E → = 0 →

Já na região r > c é só ver o quanto de carga total nós temos, que no caso é só proveniente da esfera:

Q i n t = Q

Portanto:

E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^