Capacitância

Teoria Completa

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Nossa conversa hoje é sobre capacitância, um assunto muito importante dentro da eletricidade. Se você chegou até essa página é porque está com dúvidas e precisa de ajuda e nós vamos te ajudar. Partiu aprender capacitância?

Capacitor

Um capacitor é um sistema constituído por dois condutores separados por um isolante ou vácuo. O isolante pode ser um plástico, ar, etc. O capacitor mais comum é o formado por dois planos separados por uma distância,$d$ , com vácuo entre eles:

Mas também podemos ter uma esfera concêntrica com uma casca esférica (vácuo ou ar entre eles):

Ou até um cilindro concêntrico com uma casca cilíndrica também.

Mas aí você me pergunta: Pra que um capacitor serve? Qual a função dele?

A função do capacitor é armazenar carga nele para ser usada depois.

Capacitância

A capacitância nada mais é do que a capacidade de um capacitor armazenar carga. Quanto maior for capacitância, que chamamos de $C$, mais carga esse capacitor consegue armazenar pra uma dada tensão.

A capacitância é definida da seguinte maneira:

Onde:

  • $Q$ é o módulo da carga armazenada no capacitor;
  • $V$ é o módulo da diferença de potencial entre os condutores que compõe o capacitor.

Se você diminuir/aumentar a tensão, a carga correspondente vai diminuir/aumentar na mesma razão.

O fato mais importante sobre a capacitância é o seguinte: ela é uma constante que depende apenas da geometria do capacitor.

Cálculo da Capacitância

Para encontrarmos a capacitância precisamos basicamente seguir 3 passos:

PASSO 1: Calcular o campo elétrico no interior do capacitor

PASSO 2: Uma vez tendo o campo elétrico, calcular a potencial elétrico, $V$

PASSO 3: Calcular a capacitância usando a fórmula

Mas assim, como eu disse lá antes, a capacitância é constante e depende somente da geometria do capacitor, então alguém fez esse passo a passo uma vez e encontrou a expressão para a capacitância para cada uma das geometrias de capacitor que citamos no início: capacitor plano, capacitor esférico e capacitor cilíndrico. Então, o que nós vamos fazer? Vamos organizar essas fórmulas em uma tabelinha e não vamos soltar essa tabela nunca mais hahaha, combinado?

Está aí a tabela pra você:

Só precisamos fazer algumas observações sobre essa tabela:

Capacitor de placas planas: $A$ é a área das placas e $d$ é a distância entre as placas

Capacitor esférico: $a$ é o raio do cilindro e $b$ é o raio interno da casca cilíndrica e $L$ é o comprimento

Capacitor cilíndrico: $a$ é o raio da esfera e $b$ é o raio interno da casca esférica (do jeitinho que mostra lá naquela figura no início desse conteúdo)

É isso galerinha! Se você já está se sentindo seguro, avance nos seus estudos aprendendo sobre o próximo tópico: Dielétricos. Se ainda acha que precisa aprofundar mais nesse conteúdo de capacitância assiste o vídeo que vou deixar aqui embaixo 👇🏾, que nós do Responde Aí preparamos para você aprender de forma objetiva e descontraída.

Vídeo

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Exercício Resolvido #1

TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.

Um capacitor de placas paralelas tem placas metálicas quadradas de lados com 1,0   c m de comprimento, separadas por 1,0   m m .

a) Calcule a capacitância deste dispositivo.

b) Quando este capacitor é carregado com 12   V , quanta carga é transferida de uma placa para a outra?

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Passo 1

a) Vamos usar C = ε 0 A d pra calcular a capacitância desse dispositivo, beleza?

Mas antes disso vamos converter as unidades pra metros, temos a o lado l da placa quadrada e temos a distância d entre as placas:

l = 1,0   c m = 1 × 10 - 2   m

d = 1,0   m m = 1 × 10 - 3   m

Assim, podemos calcular a área das placas. Como elas são quadradas, temos:

A = l 2 = ( 10 - 2 ) ²

A = 10 - 4   m ²

Vamos lembrar também que ε 0 é uma constante que vale 8,85   p F / m .

Passo 2

Agora sim bora substituir os valores na fórmula:

C = 8,85 p F m 10 - 4   m ² 10 - 3   m

C = 0,885   p F

Passo 3

b) A carga vai ser dada por Q = C V , sendo que V o enunciado deu pra gente e C a gente calculou no item a :D

Então

Q = 0 , 885 × 12

Q = 10,62 p C

Resposta

  1. C = 0,885   p F
  2. Q = 10,62 p C

Exercício Resolvido #2

UECE – 2008/1

Um capacitor tem uma capacitância de 8 × 10 - 11   F . Se o potencial elétrico entre suas placas for 12   V , o número de elétrons em excesso na sua placa negativa é (considere a carga de um elétron sendo e = 1,6 × 10 - 19 ):

a) 9,6 × 10 14 b) 8,0 × 10 20 c) 6,0 × 10 9 d) 5,0 × 10 8 e) Nenhuma das alternativas.

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Passo 1

Vimos que a capacitância é dada por

C = Q V

Mas devemos lembrar também que a carga Q vai ser sempre um múltiplo da carga fundamental e do elétron, ou seja:

Q = n . e

Então é só a gente substituir os valores na formulazinha de capacitância para encontrarmos n , que vai ser o número de elétrons na placa :)

Passo 2

A nossa fórmula vai ficar assim

n = V C e

Substituindo os valores:

n = 12 × 8 × 10 - 11 - 1,6 × 10 - 19

n = 6 × 10 9

Repare que tiramos o sinal negativo porque estamos falando do número de cargas, e isso não pode ser um valor negativo, é sempre dado em módulo ;)

A nossa alternativa correta é a letra C.

Resposta

c) 6,0 × 10 9

Exercício Resolvido #3

UFC - 2002

A figura abaixo representa o processo de descarga de um capacitor como função do tempo. No tempo t = 0 , a diferença de potencial entre as placas do capacitor era V 0 = 12   v o l t s . No instante de tempo t 1 , assinalado no gráfico, a diferença de potencial, em volts, entre as placas do capacitor é:

a) 1,5 b) 3,0 c) 4,5 d) 6,0 e) 7,5

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Passo 1

No instante t = 0 , a gente sabe que V = 12   V , e se a gente contar as linhazinhas do gráfico, a carga Q é 8   C . Então a gente pode usar a fórmula Q = C V pra calcular a capacitância.

Aí no tempo t 1 , a carga é 3   C , e a capacitância a gente já sabe, ela continua a mesma porque é o mesmo capacitor. Então a gente consegue achar o V :)

Passo 2

Em t = 0 temos que

8 = 12 C

C = 2 3

Então, em t = t 1 :

3 = 2 3 V

V = 4,5   V

Boaa! Nossa alternativa correta é a letra C!!

Resposta

c) 4,5

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Considere duas placas condutoras circulares de área A separadas por uma distância h no vácuo, cada uma com densidade de carga constante iguais à σ e – σ . Suponha que a distância h seja desprezível se comparada com as dimensões das placas. Calcule a capacitância desse sistema.

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Passo 1

Bom, foi pedida a capacitância, então vamos colocar a sua fórmula na mesa:

C = Q V

Show, agora basta encontrarmos os valores de Q e V para o sistema. Vamos começar por Q pois parece mais simples. Sabe-se que a densidade de carga superficial, por ser constante, é igual à:

σ = Q A

Portanto podemos substituir:

Q = σ A

C = σ A V

Passo 2

Agora vamos tentar calcular a diferença de potencial entre as duas placas. A fórmula que nos dá direto a diferença de potencial (d.d.p.) é a seguinte:

Δ V = - ∫ γ   E → ∙ d r →

Onde γ vai ser um caminho retilíneo entre as duas placas. No caso, como só nos importa o módulo da d.d.p. podemos ignorar esse sinal de menos na frente da integral, portanto:

V = Δ V

V = ∫ γ   E → ∙ d r →

Passo 3

Dado que estamos tratando de duas placas planas, podemos aproximar seu campo por o de um plano infinito. Tacando a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Escolhemos uma gaussiana em forma de cilindro com área A de sua seção reta. Como existe fluxo tanto pela tampa de cima quanto pela de baixo do cilindro, temos que o fluxo é 2 E A :

2 E A = Q i n t ϵ 0

Usando a fórmula da densidade mais uma vez para encontrar a carga interna à Gaussiana:

2 E A = σ A ϵ 0

E = σ 2 ϵ 0

Mas ainda não obtivemos o campo entre as duas placas planas. Este é o campo de uma placa somente. O campo das duas é simplesmente o dobro:

E = σ ϵ 0

Passo 4

Como encontramos um campo uniforme, aplicamos a integral para encontrar a diferença de potencial:

V = ∫ γ   σ ϵ 0 d r

V = σ ϵ 0 ∫ γ   d r

Como escolhemos um caminho retilíneo de uma placa para outra, o resultado da integral é simplesmente a distância entre as placas:

V = σ ϵ 0 h

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da capacitância, temos:

C = σ A V

C = σ A σ h ϵ 0

C = ϵ 0 A h

E acabou!

Resposta

C = ϵ 0 A h

Exercício Resolvido #5

USP-P1-2014-Questão 4

Um cilindro condutor de comprimento L e raio a , com carga Q > 0 , é coaxial a uma camada cilíndrica condutora maior, com raio interno b > a e carga - Q . Despreze efeitos de borda.

Calcule a capacitância C do sistema.

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Passo 1

Calcule a capacitância C do sistema.

Se você nunca viu isso antes, pode parecer o tipo de coisa que você olha e fala: “Say whaaat?!”. Mas não tema, estamos aqui pra isso, não é nenhum bicho de sete cabeças.

Vamos seguindo o raciocínio lógico, ok?

Por definição, a capacitância é dada por:

C = Q V

Então temos que começar calculando o módulo do potencial V .

Passo 2

Por definição:

V = ∫ a b E → ∙ d r → = Q 2 π ϵ 0 L   ∫ a b d r r

V = Q 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Agora vamos voltar para a capacitância:

C = Q V

C = 2 π ϵ 0 L Q Q ln ⁡ b a

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Resposta

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Considere um cilindro maciço condutor de raio a e comprimento L que é concêntrico com uma casca cilíndrica condutora de raios interno e externo b e c respectivamente e de comprimento L também. A casca tem densidade linear de carga λ ao passo que o cilindro tem densidade linear de carga - λ . Calcule a capacitância do sistema.

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Passo 1

Pela fórmula da capacitância:

C = Q V

Vamos primeiro trabalhar com o módulo da voltagem. Pela fórmula, nós temos:

V = Δ V

V = ∫ Σ   E → ∙ d r →

Agora o papo é achar o campo elétrico que esse cilindro produz.

Passo 2

Enunciando a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Basta dividir a carga interna pela constante dielétrica K . Pela simetria cilíndrica do problema, escolhemos uma Gaussiana cilíndrica de raio arbitrário r e comprimento arbitrário L . Dado que escolhemos uma superfície com essas dimensões e já aproveitamos a simetria do campo, temos que os vetores normais à parte lateral da superfície são paralelos ao campo, ao passo que os vetores normais nas tampas são perpendiculares à ele, de forma que:

∯ G E → ∙ d A → = ∯ L a t e r a l E d A

Passo 3

Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:

∯ L a t e r a l E d A = E ∯ L a t e r a l d A

E temos então a área da lateral com nossa integral:

∯ G E → ∙ d A → = E A

A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:

A = 2 π r × L

Logo, temos:

E 2 π r L = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 2 π L ϵ 0 r

Coisa mais fácil do mundo é você esquecer uma letra nessa sopa... Felizmente, apesar de dar um resultado um bocado diferente, isso não costuma acarretar numa perda grande de pontos. Continuando...

Passo 4

Conforme já cansamos de saber, o quanto de carga lá dentro está relacionado com a densidade, pois a distribuição de cargas é contínua. Temos uma densidade linear constante, portanto é válido dizer que a razão entre a carga interna à Gaussiana e o comprimento dela é igual à densidade:

Q i n t L = λ

Logo temos:

Q i n t = λ L

Substituindo na expressão do campo:

E = λ L 2 π L ϵ 0 r

E = λ 2 π ϵ 0 r

Passo 5

Agora a parada é achar a diferença do potencial:

V = ∫ Σ   λ 2 π ϵ 0 r d r

Onde o Σ vai ser um caminho radial entre os dois cilindros. Resolvendo:

V = λ 2 π ϵ 0 ∫ a b d r r

V = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r a b

V = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ b - ln ⁡ a

Como:

b > a

ln ⁡ b > ln ⁡ a

Então:

V = λ ln ⁡ b a 2 π ϵ 0

Passo 6

Substituindo tudo de volta:

C = Q λ ln ⁡ b a     2 π ϵ 0

Agora a parada é achar a carga do capacitor. Conectamos com a densidade, certo?

Q L = λ

Neste momento percebemos que não vamos conseguir nos livrar do L ... Isso é um fato da vida. Aqui estamos mostrando como você faria numa resolução de prova, então não teria como ver isso de antemão. Vamos ter que dar essa volta mesmo...

Q = λ L

C = λ L 2 π ϵ 0 λ ln ⁡ b a

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Enfim, terminamos!

Resposta

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Exercício Resolvido #7

USP-P1-2011-Questão 4 [Modificada]

Um capacitor é formado por uma esfera condutora de raio a e uma casca esférica condutora de raio b > a , conforme a figura.

A esfera interna tem carga + Q e a casca esférica tem carga - Q . As respostas devem ser dadas apenas em termos de ϵ 0 , a , b e ϵ 0 .

a ) Determine a diferença de potencial V entre a esfera interna e a casca esférica.

b ) Calcule a capacitância C

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Passo 1

a ) Determine a diferença de potencial V entre a esfera interna e a casca esférica.

Pra calcular a diferença de potencial ente a esfera interna e a casca esférica, podemos começar calculando o campo elétrico através da Lei de Gauss e depois encontrando a diferença de potencial usando a equação:

V = V i n t e r n a - V e x t e r n a = - ∫ b a E → ∙ d l →

Eu escolhi nesse sentido por que V i n t e r n a > V e x t e r n a , já que o campo tem que apontar de dentro pra fora (lembrando que o campo aponta pra direção em que o potencial diminui)

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

A partir da simetria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E A = Q i n t ϵ 0

Onde A é a área da nossa gaussiana esférica:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2

Como estamos analisando a região entre a esfera interna e a casca esférica, a < r < b . Assim, a carga que está dentro da nossa gaussiana é somente a carga + Q da esfera.

Logo:

E r = 1 4 π ϵ 0 Q r 2

Passo 2

Agora que calculamos E r , podemos calcular a diferença de potencial:

V = - ∫ b a E → ∙ d l →

Δ V = - ∫ b a E r d r

V = - Q 4 π ϵ 0 ∫ b a 1 r 2 d r

Lembrando que ∫ d r / r 2 = - 1 / r

V = Q 4 π ϵ 0 1 r b a

V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Passo 3

b ) Calcule a capacitância C e determine a energia eletrostática U armazenada no capacitor.

Opa! Agora que acabamos de calcular a diferença de potencial, para calcular a capacitância, basta usar a equação:

V = Q C → C = Q V

Portanto:

C = Q Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Simplificando esse cara:

C = 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Resposta

a )

Δ V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

b )

C = 4 π ϵ 0 1 a - 1 b