Capacitância de um Sistema

Teoria Completa

Introdução

Comecemos com capacitores. Um capacitor é um sistema constituído por dois condutores separados por um isolante ou vácuo. O isolante pode ser um plástico, ar, etc. O capacitor mais comum é o formado por dois planos separados por uma distância, d , com vácuo entre eles:

Mas também podemos ter uma esfera concêntrica com uma casca esférica (vácuo ou ar entre eles):

Ou um cilindro concêntrico com uma casca cilíndrica (vácuo ou ar entre eles):

A figura é igual à das esferas. :D

Até aqui você provavelmente já ouviu falar algo à respeito... Em quase todas as aplicações práticas cada condutor começa com carga total zero e ao submetermos eles à uma diferença de potencial V vão sendo transferidos elétrons de um condutor pro outro. Dizemos neste caso que o capacitor está sendo carregado.

Quando for atingido o equilíbrio, um condutor vai ter uma carga Q e o outro uma carga – Q , de forma que a carga total continue sendo zero. Quando dizemos que um capacitor armazena uma carga Q , estamos nos referindo ao módulo dessas cargas em cada condutor.

Qual é o drama desse assunto? A fórmula da capacitância.

Capacitância

Pode não ter ficado claro o objetivo de um capacitor até agora. Pra que serve isso, afinal? A ideia é você armazenar cargas nele pra usar depois. Uma vez o cara do suporte técnico da Dell me disse que o capacitor era como se fosse uma esponja de eletricidade. Ele tinha razão.

A capacitância nada mais é do que a capacidade de um capacitor armazenar carga. Quanto maior for capacitância C mais carga esse capacitor consegue armazenar pra uma dada tensão. Ela é definida da seguinte maneira

C = Q V

Recapitulando:

  • Q é o módulo da carga armazenada em cada condutor;
  • V é o módulo da diferença de potencial entre os condutores.

Se você diminuir/aumentar a tensão, a carga correspondente vai diminuir/aumentar na mesma razão.

O fato mais importante sobre a capacitância é o seguinte: ela é uma constante que depende apenas da geometria do capacitor.

Como isso é cobrado? O lance aqui é que não precisamos de nenhum conceito novo, pois já aprendemos a calcular a tensão entre dois pontos e aprendemos a tratar de distribuições contínuas de cargas. Se você ainda não viu esses conceitos, busque esses capítulos em nosso material!

Capacitor de Placas Planas Paralelas

Uma fórmula que vale muito à pena gravar é a do capacitor mais comum de todos, o das Placas Planas e Paralelas. A fórmulinha da capacitância é dada por:

C = ϵ 0 A d

Onde A é a área do plano do capacitor e d é a distância que separa eles.

Esse aqui, oh! O mesmo que a gente viu lá no inicio da teoria desse tipo.

É um resultado que nós vamos demonstrar nos exercícios porque tudo o que se precisa para chegar a ele já foi estudado em capítulos anteriores, mas é importante ressaltar que ter essa fórmula no bolso é a boa para matar questões de múltipla escolha rapidamente.

Outra coisa importante é: ela só é válida para um capacitor de placas planas paralelas! Se forem duas esferas ou dois cilindros, ou então duas placas planas não-paralelas, a fórmula não é mais válida!!!

Cálculo de Capacitância

Po, mas o que fazer quando o capacitor for um troço diferente, como dois cilindros, ou duas esferas?!

Eu não vou te encher o saco com um monte de conta absurda, vou te mostrar o caminho e depois te dar as fórmulas, então não esquenta a cabeça, já é?!

Pra calcular a capacitância, são basicamente 3 passos:

Passo 1: Cálculo do Campo Elétrico

Pra fazer isso, você vai usar a Lei de Gauss...

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Na maior parte das vezes, a Lei de Gauss se resume a:

E A = q ϵ 0

Aí vai depender somente do formato do seu capacitor, por exemplo:

  • Se o capacitor for cilíndrico, a sua gaussiana também vai ser cilíndrica e com uma área do tipo A = 2 π r L ;
  • Se o capacitor for esférico, a sua gaussiana também vai ser uma esfera com uma área do tipo A = 4 π r 2

Passo 2: Cálculo do Potencial Elétrico

Uma vez que você encontrou o campo elétrico, fica tranquilo calcular o potencial elétrico, dá uma olhada:

V = - ∫ i f E   d r

Faz essa integral onde os limites são o menor valor de r e o maior valor de r .

Passo 3: Cálculo da Capacitância

Agora que você encontrou V , basta usar a relação:

C = Q V

E ser feliz!

Como eu te falei, nem to muito afim de quebrar a cabeça agora com integrais (embora elas sejam tranquilas de resolver), e acho que você também não...

Então vou te colocar logo na boa! Se liga:

Capacitor Cilíndrico:

Formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b , onde b > a , e de comprimento L .

C C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Capacitor Esférico:

Formado por duas cascas esféricas de raios a e b , onde b > a .

C E = 4 π ϵ 0 a b b - a

Então, pessoal! NÂO DEIXEM de ir nos exercícios. Lá tem questões bem legais mostrando as diversas formas que podem ser cobradas isso aqui, inclusive, pra quem não quiser decorar essas fórmulas, mostramos como resolver os principais casos de Capacitância. Cola lá e #PartiuPassar.

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.

Um capacitor de placas paralelas tem placas metálicas quadradas de lados com 1,0   c m de comprimento, separadas por 1,0   m m .

a) Calcule a capacitância deste dispositivo.

b) Quando este capacitor é carregado com 12   V , quanta carga é transferida de uma placa para a outra?

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Passo 1

a) Vamos usar C = ε 0 A d pra calcular a capacitância desse dispositivo, beleza?

Mas antes disso vamos converter as unidades pra metros, temos a o lado l da placa quadrada e temos a distância d entre as placas:

l = 1,0   c m = 1 × 10 - 2   m

d = 1,0   m m = 1 × 10 - 3   m

Assim, podemos calcular a área das placas. Como elas são quadradas, temos:

A = l 2 = ( 10 - 2 ) ²

A = 10 - 4   m ²

Vamos lembrar também que ε 0 é uma constante que vale 8,85   p F / m .

Passo 2

Agora sim bora substituir os valores na fórmula:

C = 8,85 p F m 10 - 4   m ² 10 - 3   m

C = 0,885   p F

Passo 3

b) A carga vai ser dada por Q = C V , sendo que V o enunciado deu pra gente e C a gente calculou no item a :D

Então

Q = 0 , 885 × 12

Q = 10,62 p C

Resposta

  1. C = 0,885   p F
  2. Q = 10,62 p C

Exercício Resolvido #2

UECE – 2008/1

Um capacitor tem uma capacitância de 8 × 10 - 11   F . Se o potencial elétrico entre suas placas for 12   V , o número de elétrons em excesso na sua placa negativa é (considere a carga de um elétron sendo e = 1,6 × 10 - 19 ):

a) 9,6 × 10 14 b) 8,0 × 10 20 c) 6,0 × 10 9 d) 5,0 × 10 8 e) Nenhuma das alternativas.

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Passo 1

Vimos que a capacitância é dada por

C = Q V

Mas devemos lembrar também que a carga Q vai ser sempre um múltiplo da carga fundamental e do elétron, ou seja:

Q = n . e

Então é só a gente substituir os valores na formulazinha de capacitância para encontrarmos n , que vai ser o número de elétrons na placa :)

Passo 2

A nossa fórmula vai ficar assim

n = V C e

Substituindo os valores:

n = 12 × 8 × 10 - 11 - 1,6 × 10 - 19

n = 6 × 10 9

Repare que tiramos o sinal negativo porque estamos falando do número de cargas, e isso não pode ser um valor negativo, é sempre dado em módulo ;)

A nossa alternativa correta é a letra C.

Resposta

c) 6,0 × 10 9

Exercício Resolvido #3

UFC - 2002

A figura abaixo representa o processo de descarga de um capacitor como função do tempo. No tempo t = 0 , a diferença de potencial entre as placas do capacitor era V 0 = 12   v o l t s . No instante de tempo t 1 , assinalado no gráfico, a diferença de potencial, em volts, entre as placas do capacitor é:

a) 1,5 b) 3,0 c) 4,5 d) 6,0 e) 7,5

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Passo 1

No instante t = 0 , a gente sabe que V = 12   V , e se a gente contar as linhazinhas do gráfico, a carga Q é 8   C . Então a gente pode usar a fórmula Q = C V pra calcular a capacitância.

Aí no tempo t 1 , a carga é 3   C , e a capacitância a gente já sabe, ela continua a mesma porque é o mesmo capacitor. Então a gente consegue achar o V :)

Passo 2

Em t = 0 temos que

8 = 12 C

C = 2 3

Então, em t = t 1 :

3 = 2 3 V

V = 4,5   V

Boaa! Nossa alternativa correta é a letra C!!

Resposta

c) 4,5

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Considere duas placas condutoras circulares de área A separadas por uma distância h no vácuo, cada uma com densidade de carga constante iguais à σ e – σ . Suponha que a distância h seja desprezível se comparada com as dimensões das placas. Calcule a capacitância desse sistema.

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Passo 1

Bom, foi pedida a capacitância, então vamos colocar a sua fórmula na mesa:

C = Q V

Show, agora basta encontrarmos os valores de Q e V para o sistema. Vamos começar por Q pois parece mais simples. Sabe-se que a densidade de carga superficial, por ser constante, é igual à:

σ = Q A

Portanto podemos substituir:

Q = σ A

C = σ A V

Passo 2

Agora vamos tentar calcular a diferença de potencial entre as duas placas. A fórmula que nos dá direto a diferença de potencial (d.d.p.) é a seguinte:

Δ V = - ∫ γ   E → ∙ d r →

Onde γ vai ser um caminho retilíneo entre as duas placas. No caso, como só nos importa o módulo da d.d.p. podemos ignorar esse sinal de menos na frente da integral, portanto:

V = Δ V

V = ∫ γ   E → ∙ d r →

Passo 3

Dado que estamos tratando de duas placas planas, podemos aproximar seu campo por o de um plano infinito. Tacando a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Escolhemos uma gaussiana em forma de cilindro com área A de sua seção reta. Como existe fluxo tanto pela tampa de cima quanto pela de baixo do cilindro, temos que o fluxo é 2 E A :

2 E A = Q i n t ϵ 0

Usando a fórmula da densidade mais uma vez para encontrar a carga interna à Gaussiana:

2 E A = σ A ϵ 0

E = σ 2 ϵ 0

Mas ainda não obtivemos o campo entre as duas placas planas. Este é o campo de uma placa somente. O campo das duas é simplesmente o dobro:

E = σ ϵ 0

Passo 4

Como encontramos um campo uniforme, aplicamos a integral para encontrar a diferença de potencial:

V = ∫ γ   σ ϵ 0 d r

V = σ ϵ 0 ∫ γ   d r

Como escolhemos um caminho retilíneo de uma placa para outra, o resultado da integral é simplesmente a distância entre as placas:

V = σ ϵ 0 h

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da capacitância, temos:

C = σ A V

C = σ A σ h ϵ 0

C = ϵ 0 A h

E acabou!

Resposta

C = ϵ 0 A h

Exercício Resolvido #5

USP-P1-2014-Questão 4

Um cilindro condutor de comprimento L e raio a , com carga Q > 0 , é coaxial a uma camada cilíndrica condutora maior, com raio interno b > a e carga - Q . Despreze efeitos de borda.

Calcule a capacitância C do sistema.

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Passo 1

Calcule a capacitância C do sistema.

Se você nunca viu isso antes, pode parecer o tipo de coisa que você olha e fala: “Say whaaat?!”. Mas não tema, estamos aqui pra isso, não é nenhum bicho de sete cabeças.

Vamos seguindo o raciocínio lógico, ok?

Por definição, a capacitância é dada por:

C = Q V

Então temos que começar calculando o módulo do potencial V .

Passo 2

Por definição:

V = ∫ a b E → ∙ d r → = Q 2 π ϵ 0 L   ∫ a b d r r

V = Q 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Agora vamos voltar para a capacitância:

C = Q V

C = 2 π ϵ 0 L Q Q ln ⁡ b a

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Resposta

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Considere um cilindro maciço condutor de raio a e comprimento L que é concêntrico com uma casca cilíndrica condutora de raios interno e externo b e c respectivamente e de comprimento L também. A casca tem densidade linear de carga λ ao passo que o cilindro tem densidade linear de carga - λ . Calcule a capacitância do sistema.

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Passo 1

Pela fórmula da capacitância:

C = Q V

Vamos primeiro trabalhar com o módulo da voltagem. Pela fórmula, nós temos:

V = Δ V

V = ∫ Σ   E → ∙ d r →

Agora o papo é achar o campo elétrico que esse cilindro produz.

Passo 2

Enunciando a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Basta dividir a carga interna pela constante dielétrica K . Pela simetria cilíndrica do problema, escolhemos uma Gaussiana cilíndrica de raio arbitrário r e comprimento arbitrário L . Dado que escolhemos uma superfície com essas dimensões e já aproveitamos a simetria do campo, temos que os vetores normais à parte lateral da superfície são paralelos ao campo, ao passo que os vetores normais nas tampas são perpendiculares à ele, de forma que:

∯ G E → ∙ d A → = ∯ L a t e r a l E d A

Passo 3

Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:

∯ L a t e r a l E d A = E ∯ L a t e r a l d A

E temos então a área da lateral com nossa integral:

∯ G E → ∙ d A → = E A

A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:

A = 2 π r × L

Logo, temos:

E 2 π r L = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 2 π L ϵ 0 r

Coisa mais fácil do mundo é você esquecer uma letra nessa sopa... Felizmente, apesar de dar um resultado um bocado diferente, isso não costuma acarretar numa perda grande de pontos. Continuando...

Passo 4

Conforme já cansamos de saber, o quanto de carga lá dentro está relacionado com a densidade, pois a distribuição de cargas é contínua. Temos uma densidade linear constante, portanto é válido dizer que a razão entre a carga interna à Gaussiana e o comprimento dela é igual à densidade:

Q i n t L = λ

Logo temos:

Q i n t = λ L

Substituindo na expressão do campo:

E = λ L 2 π L ϵ 0 r

E = λ 2 π ϵ 0 r

Passo 5

Agora a parada é achar a diferença do potencial:

V = ∫ Σ   λ 2 π ϵ 0 r d r

Onde o Σ vai ser um caminho radial entre os dois cilindros. Resolvendo:

V = λ 2 π ϵ 0 ∫ a b d r r

V = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r a b

V = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ b - ln ⁡ a

Como:

b > a

ln ⁡ b > ln ⁡ a

Então:

V = λ ln ⁡ b a 2 π ϵ 0

Passo 6

Substituindo tudo de volta:

C = Q λ ln ⁡ b a     2 π ϵ 0

Agora a parada é achar a carga do capacitor. Conectamos com a densidade, certo?

Q L = λ

Neste momento percebemos que não vamos conseguir nos livrar do L ... Isso é um fato da vida. Aqui estamos mostrando como você faria numa resolução de prova, então não teria como ver isso de antemão. Vamos ter que dar essa volta mesmo...

Q = λ L

C = λ L 2 π ϵ 0 λ ln ⁡ b a

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Enfim, terminamos!

Resposta

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Exercício Resolvido #7

USP-P1-2011-Questão 4 [Modificada]

Um capacitor é formado por uma esfera condutora de raio a e uma casca esférica condutora de raio b > a , conforme a figura.

A esfera interna tem carga + Q e a casca esférica tem carga - Q . As respostas devem ser dadas apenas em termos de ϵ 0 , a , b e ϵ 0 .

a ) Determine a diferença de potencial V entre a esfera interna e a casca esférica.

b ) Calcule a capacitância C

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Passo 1

a ) Determine a diferença de potencial V entre a esfera interna e a casca esférica.

Pra calcular a diferença de potencial ente a esfera interna e a casca esférica, podemos começar calculando o campo elétrico através da Lei de Gauss e depois encontrando a diferença de potencial usando a equação:

V = V i n t e r n a - V e x t e r n a = - ∫ b a E → ∙ d l →

Eu escolhi nesse sentido por que V i n t e r n a > V e x t e r n a , já que o campo tem que apontar de dentro pra fora (lembrando que o campo aponta pra direção em que o potencial diminui)

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

A partir da simetria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E A = Q i n t ϵ 0

Onde A é a área da nossa gaussiana esférica:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2

Como estamos analisando a região entre a esfera interna e a casca esférica, a < r < b . Assim, a carga que está dentro da nossa gaussiana é somente a carga + Q da esfera.

Logo:

E r = 1 4 π ϵ 0 Q r 2

Passo 2

Agora que calculamos E r , podemos calcular a diferença de potencial:

V = - ∫ b a E → ∙ d l →

Δ V = - ∫ b a E r d r

V = - Q 4 π ϵ 0 ∫ b a 1 r 2 d r

Lembrando que ∫ d r / r 2 = - 1 / r

V = Q 4 π ϵ 0 1 r b a

V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Passo 3

b ) Calcule a capacitância C e determine a energia eletrostática U armazenada no capacitor.

Opa! Agora que acabamos de calcular a diferença de potencial, para calcular a capacitância, basta usar a equação:

V = Q C → C = Q V

Portanto:

C = Q Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Simplificando esse cara:

C = 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Resposta

a )

Δ V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

b )

C = 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Exercício Resolvido #8

Elaboração Própria

Considere uma esfera condutora maciça de raio a que é concêntrica com uma casca esférica condutora de raios interno e externo b e c respectivamente. A esfera maciça possui carga Q ao passo que a casca possui carga total - Q . Calcule a capacitância desse sistema.

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Passo 1

Mesma ideia de sempre. Pediu-se a capacitância então vamos partir da sua fórmula:

C = Q V

Como a carga que está no capacitor foi dada como Q , não vamos mexer com isso. Vamos apenas nos preocupar em achar o módulo da diferença de potencial entre as esferas. O módulo da ddp é quantificado por:

V = Δ V

Que sai da fórmula da integral:

V = ∫ Σ   E → ∙ d r →

Integrando ao longo de um caminho Σ radial entre as esferas. Para isto precisamos do campo elétrico.

Passo 2

Enunciando a Lei de Gauss...

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Pela simetria esférica do problema, escolhemos uma superfície esférica de raio arbitrário r para ser nossa Gaussiana G . Dessa forma, os vetores normais d A → são paralelos ao campo em todos os pontos de G , do que segue o fato:

E → ∙ d A → = E d A

Passo 3

Além disso, pela configuração do campo, temos que o seu módulo E → é constante em toda G , do que segue o fato:

∯ G E d A = E ∯ G d A

Da última equação, segue que a integral de d A em toda G é a área da Gaussiana. A área superficial de uma esfera é conhecida e é igual à:

∯ G d A = 4 π r 2

Substituindo na Lei, temos:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Passo 4

Como a carga interna à Gaussiana é a carga total da esfera maciça:

Q i n t = Q

Substituímos. Além disso, sabemos que o campo é radial:

E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Colocando na integral, temos:

V = ∫ Σ   Q 4 π ϵ 0 r 2 d r

E o nosso caminho Σ vai da superfície da esfera maciça até a superfície interna da casca esférica:

V = Q 4 π ϵ 0 ∫ a b d r r 2

V = Q 4 π ϵ 0 - 1 r a b

V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Como temos que:

b > a

1 b < 1 a

Então segue que:

1 a - 1 b = 1 a - 1 b

Pode parecer uma análise desnecessária, mas mata você na múltipla escolha.

V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b