Condutor Carregado

Teoria Completa

Introdução

Uma aplicação interessante da lei de Gauss, além do cálculo do Campo Elétrico, é encontrar a resposta da seguinte questão: “o corpo X é condutor”?

Lei de Gauss e Condutores

Quando um corpo é condutor e é eletricamente carregado, as cargas se concentram nas superfícies.

Podemos combinar essa informação com a lei de Gauss, que nos dá informações sobre a carga total dentro de uma superfície gaussiana fechada a partir do conhecimento do fluxo elétrico total sobre essa gaussiana.

Temos o seguinte:

  • Se Φ e = 0 , então temos uma carga total nula dentro da superfície gaussiana;
  • Se Φ e > 0 , então temos uma carga total positiva dentro da superfície gaussiana;
  • Se Φ e < 0 , então temos uma carga total negativa dentro da superfície gaussiana.

Vamos então observar um condutor carregado bem de perto e aplicar a lei de Gauss.

Na figura abaixo, um metal (que é um condutor) está carregado com cargas positivas, estando essas concentradas em sua superfície.

Primeiro, podemos observar o seguinte: na superfície gaussiana branca, não temos cargas interiores, por isso o fluxo elétrico nessa superfície valerá zero.

Logo, o campo no seu interior, como podemos observar na figura, vale:

E i n t = 0

Porém, se tomarmos uma superfície gaussiana como a verde, poderemos encontrar um fluxo elétrico positivo.

Como o vetor normal à superfície é paralelo ao campo elétrico uniforme:

Φ E = A . E . cos ⁡ 0 = A . E e x t

Porém, supondo que a densidade superficial de cargas sobre o corpo metálico é constante, temos que:

σ . A = Q i n t

Assim, podemos escrever a lei de Gauss de forma direta, sem fazer muitas contas:

Φ E = A . E = Q i n t ϵ 0 = σ . A ϵ 0 → E e x t = σ ϵ 0

E se quisermos saber o valor do campo elétrico exatamente sobre a superfície metálica?

Neste caso, devemos utilizar a média aritmética entre os campos elétricos dentro e fora do condutor carregado:

E N A   S U P E R F Í C I E = E I N T + E E X T 2 = σ 2 . ϵ 0

Isso ocorre porque existe uma transição entre o campo igual a zero e o campo igual à densidade dividida por ϵ 0 , o que nos faz considerar o valor médio quando estamos exatamente na situação limite.

Show de bola? Vamos exercitar, então? Partiu!

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 70-17.

Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra podem interceptar um número significativo de elétrons. O acúmulo de cargas resultante pode danificar componentes eletrônicos e prejudicar o funcionamento de alguns circuitos. Suponha que um satélite esférico feito de metal com 1,3   m de diâmetro, acumule 2,4   μ C de carga.

(a) Determine a densidade superficial de carga do satélite

(b) Calcule o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite devido à carga superficial.

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Passo 1

Lembrar que, como o satélite é feito de metal, o material é condutor e, por isso, as cargas se concentram todas em sua superfície e de maneira uniforme. Por isso, podemos calcular a densidade superficial simplesmente dividindo a carga pela área:

σ = Q 4 . π . R 2 = 2,4.10 - 6 4 . π . 1,3 2 2 = 4,5 . 10 - 7 C m 2  

Passo 2

Para calcular o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite, podemos usar a fórmula:

E = σ ϵ 0 = 4,5.10 - 7 C m 2 8,85.10 - 12 C 2 N . m 2 = 5,1.10 4 N / C

Resposta

(a)   σ = 4,5 . 10 - 7 C m 2

(b)   E = 5,1.10 4 N / C

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 70-18.

Uma partícula carregada é mantida no centro de duas cascas esféricas condutores concêntricas cuja seção reta aparece na figura. A figura mostra o fluxo através de uma esfera gaussiana com o centro na partícula em função do raio r da esfera. A escala do eixo vertical é definida por Φ = 150.10 5 N . m 2 C . Determine:

(a) A carga da partícula central.

(b) A carga da casca A

(c) A carga da casca B

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Passo 1

Para os raio menores, o fluxo elétrico se encontra estabilizado em - 2 . Φ . Esses fluxos são aqueles gerados pelas menores gaussianas possíveis: aquelas que estão dentro da casca esférica A .

Como essas gaussianas possuem apenas a carga central dentro delas, podemos utilizar com essa informação a lei de Gauss no caso em que Q I N T = Q C E N T R A L

Q C E N T R A L ϵ 0 = Φ D E N T R O = - 1,8 . Φ  

Atenção: olhando o gráfico, vemos que cada escala vale 0 , 2 . Φ pois ocorre uma variação de Φ a cada 5 escalas.

Isolando a carga:

Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0

Passo 2

Quando aumentamos o raio aos poucos, durante um trecho pequeno o fluxo fica igual a 0 . Aqui a gente precisa interpretar. Isso acontece quando a distância r está dentro da casca esférica A ou dentro da casca esférica B .

Nesses casos, o efeito blindagem do metal impede que existam campos elétricos no interior dele e isso acontece porque todas as cargas correm para a superfície numa disposição que zera o campo elétrico dentro das cascas.

Se a carga de dentro valer X , a carga induzida na superfície interior da casca A vale - X como já vimos na parte de indução eletroestática.

O campo dentro da casca precisa ser nulo porque, se não fosse, haveria cargas se movendo no interior da casca, e isso não acontece pois as únicas cargas que encontramos se encontram na parte superficial do metal!

Passo 3

Quando o raio r se encontra entre a menor e a maior casca esférica, o valor de Q I N T precisa incluir tanto a carga de A quanto a carga que está no centro das duas cascas. Por isso, esse tipo de problema tem que ser resolvido de dentro para fora.

Dessa forma a gente consegue encontrar o valor das cargas em cada passo de maneira mais rápida!

Nesse caso:

0,8 . Φ = Q A + Q C E N T R A L ϵ 0 = Q A + ( - 1,8 . Φ . ϵ 0 ) ϵ 0

0,8 . Φ . ϵ 0 = Q A - 1,8 . Φ . ϵ 0 → Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0

Passo 4

Depois de aumentar um raio mais um pouquinho, enquanto o raio se encontra dentro da casca esférica B , o fluxo continua dando 0 e a razão é a mesma: o efeito blindagem – o campo elétrico no interior de metais condutores é sempre nulo no equilíbrio.

Agora, quando saímos da segunda casca esférica e chegamos à região mais à direita do gráfico, o fluxo se estabiliza em - 0 , 4 . Φ . Quando aplicarmos o teorema de Gauss agora, devemos incluis as três cargas: das duas cascas e da carga puntiforme lá de dentro. Então:

- 0,4 . Φ = Q A + Q B + Q C E N T R A L ϵ 0 = 2,6 . Φ . ϵ 0 + Q B - 1,8 . Φ . ϵ 0 ϵ 0 = 0,8 . Φ . ϵ 0 + Q B ϵ 0

- 0,4 . Φ . ϵ 0 = 0,8 . Φ . ϵ 0 + Q B → Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0

Passo 5

Só falta agora substituir e correr pro abraço!

Φ = 150.10 5 N . m 2 C

Φ . ϵ 0 = 1,33.10 - 4 C

Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0 = - 2,39.10 - 4 C

Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0 = 3,45.10 - 4 C

Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0 = 1,59.10 - 4 C  

Resposta

(a)   Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0 = - 2,39.10 - 4 C

(b)   Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0 = 3,45.10 - 4 C

(c) Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0 = 1,59.10 - 4 C  

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 70-20.

O campo elétrico nas vizinhanças do tambor carregado de uma fotocopiadora tem um módulo E de 2,3.10 5 N C . Qual é a densidade superficial das cargas, supondo que o tambor é feito de um material condutor?

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Passo 1

Nas proximidades de um condutor, o campo elétrico vale σ ϵ 0 e isso acontece porque, nas proximidades de um condutor, podemos calcular o campo elétrico de forma similar ao cálculo do campo em uma superfície plana e infinita.

Uma superfície gaussiana plana permite que cheguemos a essa conclusão, como foi visto na teoria.

Então:

σ ϵ 0 = 2,3.10 5 → σ = 2,3.10 5 . 8,85.10 - 12 C m 2   = 2,036 μ C m 2

Resposta

σ = 2,036 μ C m 2

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 70-21.

Um condutor isolado de forma arbitrária possui uma carga de 10.10 - 6 C . No interior do condutor existe uma cavidade; no interior da cavidade está uma carga pontual q = 3.10 - 6 C . Determine.

(a) A carga da superfície da cavidade.

(b) A carga da superfície externa do condutor.

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Passo 1

Também se fala sobre esse tipo de questão lá em indução eletroestática, onde nós apresentamos o efeito blindagem. O lance é que ele também pode ser deduzido por meio da lei de Gauss.

Olha essa gaussiana vermelha, bem no interior do condutor. Como não pode existir campo elétrico nesse interior, o fluxo na gaussiana vermelha é zero. Logo:

Q i n t ϵ 0 = 0 → Q i n t = 0

Passo 2

Mas Q i n t é a soma entre as cargas azuis, induzidas no interior da casca e a carga puntiforme dentro da casca. Logo:

Q i n t = 0 = 3 μ C + Q c a v i d a d e → Q c a v i d a d e = - 3 μ C

Passo 3

Como não as cargas não podem ficar no interior do condutor quando este alcança o equilíbrio eletroestático, todo o resto das cargas pulam para fora. Pela conservação das cargas:

10   μ C = - 3 μ C + Q e x t e r i o r → Q e x t e r i o r = 13   μ C

Resposta

Q c a v i d a d e = - 3 μ C (Carga da superfície da cavidade)

Q e x t e r i o r = 13   μ C (Carga da superfície externa do condutor)

Exercício Resolvido #5

Paul A. Tipler, Gene Mosca, Física para cientistas e engenheiros, Volume 2, 6˚ ed., Editora LTC, Problema 40, pp. 67.

Considere a esfera sólida condutora e a casca esférica condutora concêntrica mostrada na Figura abaixo. A casca esférica tem carga - 7 Q . A esfera sólida tem carga + 2 Q .

  1. Quanta carga está na superfície interna da casca esférica?
  2. Considere, agora, que um fio metálico seja conectado entre a esfera sólida e a casca. Depois de o equilíbrio eletrostático ser restabelecido, quanta carga está na esfera sólida e em cada superfície da casca esférica? O campo elétrico na superfície da esfera sólida varia quando o fio é conectado? Se a resposta for positiva, de que maneira?