Condutor Carregado

Teoria Completa

Introdução

Já ouviu falar em superfícies condutoras? É comum em dias de chuva evitarmos levar objetos de metal já que muitos dizem que o metal atrai cargas pra si, será que isso é verdade?

Objetos metálicos são sim bons condutores de energia, pois as cargas conseguem se mover livremente. Por isso que devemos evitar tocar objetos metálicos nas trovoadas, por que se ele estiver energizado ele pode passar os elétrons até você e você leva o choque.

Como as cargas podem se mover livremente, elas começam a se afastar por causa da lei de coulomb, que diz que cargas de mesmo sinal se repelem. Nesse processo as cargas vão para a superfície do condutor, pois nesse ponto é onde elas conseguem se afastar ao máximo umas das outras e por isso não haverá carga no interior do condutor.

Um condutor carregado vai ter também uma grande densidade superficial de cargas, ou seja, muita carga distribuída pela sua área superficial, e podemos calculá-la:

σ = Q A

Mas e aí, se esse cara tem cargas na superfície, deve ter algum campo elétrico nele e como será que a gente calcula?

Lei de Gauss e Condutores

Vamos considerar uma esfera maciça com raio r = 1 m , carregada positivamente com Q = 8 n C . Como não há cargas no seu interior, pela Lei de Gauss, vemos que o campo no interior do condutor será zero:

Φ = ∫ E → . d A →   = q i n t ε 0 → E = 0  

Já na superfície do condutor, haverá a presença de cargas que produzem campo elétrico e poderemos calculá-lo através da lei de Gauss.

Φ = ∫ E → ⋅ d A → = Q e n v ϵ 0

E esse campo elétrico é perpendicular à superfície, no mesmo sentido do vetor d A → .

Então se liga, se os vetores são paralelos o ângulo entre eles é zero e podemos reescrever aquela integral do fluxo desse jeito aqui:

Φ = ∫ E s → ⋅ d A → = ∫ E s . d A c o s 0 = ∫ E s . d A

Φ E = E s . A = Q e n v ϵ 0

Onde a área A é a área da superfície Gaussiana e como queremos calcular o campo elétrico na superfície do nosso condutor, a nossa Gaussiana será uma superfície esférica com o mesmo raio que o condutor e a área será:

A = 4 π r 2

Porém, supondo que a densidade superficial de cargas sobre o corpo metálico é constante, temos que:

σ = Q e n v A = Q e n v 4 π r 2

Assim, podemos encontrar para o campo na superfície externa, usando a equação.

E s = σ ϵ 0 = Q e n v ϵ 0 4 π r 2

Portanto substituindo a carga ( 8 p C = 8 × 10 - 12 C ) e o raio da esfera ( 1 m ) teremos:

E s = 8 × 10 - 12 ϵ 0 4 π 1 2

Substituindo a constante de permissividade elétrica temos:

E s = 8 × 10 - 12 8,85 × 10 - 12 × 4 π = 7,2 × 10 - 4 C / m 2

Campo Elétrico em Placas Infinitas

Caso os condutores se tratem de placas, para calcular o campo elétrico em sua superfície, deveremos fazer uma média entre o campo externo e o campo interno.

E S = E i n t + E e x t 2

E como todo condutor, tem o campo elétrico no seu interior igual à zero, teremos então que o campo na superfície da placa será:

E S = E e x t 2

No caso de placas infinitas, o campo elétrico no seu exterior é constante e é dado pela Lei de Gauss como sendo:

E e x t = σ ε 0

Então o campo na superfície, vai ser:

E S = σ 2 ε 0

Isso ocorre porque existe uma transição entre o campo igual a zero e o campo igual à densidade dividida por ϵ 0 , o que nos faz considerar o valor médio quando estamos exatamente na situação limite.

Se liga, que esse caso da média não é válido para condutores esféricos ou cilíndricos!

Show de bola? Vamos exercitar, então? Partiu!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 70-17.

Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra podem interceptar um número significativo de elétrons. O acúmulo de cargas resultante pode danificar componentes eletrônicos e prejudicar o funcionamento de alguns circuitos. Suponha que um satélite esférico feito de metal com 1,3   m de diâmetro, acumule 2,4   μ C de carga.

(a) Determine a densidade superficial de carga do satélite

(b) Calcule o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite devido à carga superficial.

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Passo 1

Lembrar que, como o satélite é feito de metal, o material é condutor e, por isso, as cargas se concentram todas em sua superfície e de maneira uniforme. Por isso, podemos calcular a densidade superficial simplesmente dividindo a carga pela área:

σ = Q 4 . π . R 2 = 2,4.10 - 6 4 . π . 1,3 2 2 = 4,5 . 10 - 7 C m 2  

Passo 2

Para calcular o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite, podemos usar a fórmula:

E = σ ϵ 0 = 4,5.10 - 7 C m 2 8,85.10 - 12 C 2 N . m 2 = 5,1.10 4 N / C

Resposta

(a)   σ = 4,5 . 10 - 7 C m 2

(b)   E = 5,1.10 4 N / C

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 70-18.

Uma partícula carregada é mantida no centro de duas cascas esféricas condutores concêntricas cuja seção reta aparece na figura. A figura mostra o fluxo através de uma esfera gaussiana com o centro na partícula em função do raio r da esfera. A escala do eixo vertical é definida por Φ = 150.10 5 N . m 2 C . Determine:

(a) A carga da partícula central.

(b) A carga da casca A

(c) A carga da casca B

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Passo 1

Para os raio menores, o fluxo elétrico se encontra estabilizado em - 2 . Φ . Esses fluxos são aqueles gerados pelas menores gaussianas possíveis: aquelas que estão dentro da casca esférica A .

Como essas gaussianas possuem apenas a carga central dentro delas, podemos utilizar com essa informação a lei de Gauss no caso em que Q I N T = Q C E N T R A L

Q C E N T R A L ϵ 0 = Φ D E N T R O = - 1,8 . Φ  

Atenção: olhando o gráfico, vemos que cada escala vale 0 , 2 . Φ pois ocorre uma variação de Φ a cada 5 escalas.

Isolando a carga:

Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0

Passo 2

Quando aumentamos o raio aos poucos, durante um trecho pequeno o fluxo fica igual a 0 . Aqui a gente precisa interpretar. Isso acontece quando a distância r está dentro da casca esférica A ou dentro da casca esférica B .

Nesses casos, o efeito blindagem do metal impede que existam campos elétricos no interior dele e isso acontece porque todas as cargas correm para a superfície numa disposição que zera o campo elétrico dentro das cascas.

Se a carga de dentro valer X , a carga induzida na superfície interior da casca A vale - X como já vimos na parte de indução eletroestática.

O campo dentro da casca precisa ser nulo porque, se não fosse, haveria cargas se movendo no interior da casca, e isso não acontece pois as únicas cargas que encontramos se encontram na parte superficial do metal!

Passo 3

Quando o raio r se encontra entre a menor e a maior casca esférica, o valor de Q I N T precisa incluir tanto a carga de A quanto a carga que está no centro das duas cascas. Por isso, esse tipo de problema tem que ser resolvido de dentro para fora.

Dessa forma a gente consegue encontrar o valor das cargas em cada passo de maneira mais rápida!

Nesse caso:

0,8 . Φ = Q A + Q C E N T R A L ϵ 0 = Q A + ( - 1,8 . Φ . ϵ 0 ) ϵ 0

0,8 . Φ . ϵ 0 = Q A - 1,8 . Φ . ϵ 0 → Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0

Passo 4

Depois de aumentar um raio mais um pouquinho, enquanto o raio se encontra dentro da casca esférica B , o fluxo continua dando 0 e a razão é a mesma: o efeito blindagem – o campo elétrico no interior de metais condutores é sempre nulo no equilíbrio.

Agora, quando saímos da segunda casca esférica e chegamos à região mais à direita do gráfico, o fluxo se estabiliza em - 0 , 4 . Φ . Quando aplicarmos o teorema de Gauss agora, devemos incluis as três cargas: das duas cascas e da carga puntiforme lá de dentro. Então:

- 0,4 . Φ = Q A + Q B + Q C E N T R A L ϵ 0 = 2,6 . Φ . ϵ 0 + Q B - 1,8 . Φ . ϵ 0 ϵ 0 = 0,8 . Φ . ϵ 0 + Q B ϵ 0

- 0,4 . Φ . ϵ 0 = 0,8 . Φ . ϵ 0 + Q B → Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0

Passo 5

Só falta agora substituir e correr pro abraço!

Φ = 150.10 5 N . m 2 C

Φ . ϵ 0 = 1,33.10 - 4 C

Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0 = - 2,39.10 - 4 C

Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0 = 3,45.10 - 4 C

Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0 = 1,59.10 - 4 C  

Resposta

(a)   Q C E N T R A L = - 1,8 . Φ . ϵ 0 = - 2,39.10 - 4 C

(b)   Q A = 2,6 . Φ . ϵ 0 = 3,45.10 - 4 C

(c) Q B = - 1,2 . Φ . ϵ 0 = 1,59.10 - 4 C  

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 70-20.

O campo elétrico nas vizinhanças do tambor carregado de uma fotocopiadora tem um módulo E de 2,3.10 5 N C . Qual é a densidade superficial das cargas, supondo que o tambor é feito de um material condutor?

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Passo 1

Nas proximidades de um condutor, o campo elétrico vale σ ϵ 0 e isso acontece porque, nas proximidades de um condutor, podemos calcular o campo elétrico de forma similar ao cálculo do campo em uma superfície plana e infinita.

Uma superfície gaussiana plana permite que cheguemos a essa conclusão, como foi visto na teoria.

Então:

σ ϵ 0 = 2,3.10 5 → σ = 2,3.10 5 . 8,85.10 - 12 C m 2   = 2,036 μ C m 2

Resposta

σ = 2,036 μ C m 2

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 70-21.

Um condutor isolado de forma arbitrária possui uma carga de 10.10 - 6 C . No interior do condutor existe uma cavidade; no interior da cavidade está uma carga pontual q = 3.10 - 6 C . Determine.

(a) A carga da superfície da cavidade.

(b) A carga da superfície externa do condutor.

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Passo 1

Também se fala sobre esse tipo de questão lá em indução eletroestática, onde nós apresentamos o efeito blindagem. O lance é que ele também pode ser deduzido por meio da lei de Gauss.

Olha essa gaussiana vermelha, bem no interior do condutor. Como não pode existir campo elétrico nesse interior, o fluxo na gaussiana vermelha é zero. Logo:

Q i n t ϵ 0 = 0 → Q i n t = 0

Passo 2

Mas Q i n t é a soma entre as cargas azuis, induzidas no interior da casca e a carga puntiforme dentro da casca. Logo:

Q i n t = 0 = 3 μ C + Q c a v i d a d e → Q c a v i d a d e = - 3 μ C

Passo 3

Como não as cargas não podem ficar no interior do condutor quando este alcança o equilíbrio eletroestático, todo o resto das cargas pulam para fora. Pela conservação das cargas:

10   μ C = - 3 μ C + Q e x t e r i o r → Q e x t e r i o r = 13   μ C

Resposta

Q c a v i d a d e = - 3 μ C (Carga da superfície da cavidade)

Q e x t e r i o r = 13   μ C (Carga da superfície externa do condutor)

Exercício Resolvido #5

Paul A. Tipler, Gene Mosca, Física para cientistas e engenheiros, Volume 2, 6˚ ed., Editora LTC, Problema 40, pp. 67.

Considere a esfera sólida condutora e a casca esférica condutora concêntrica mostrada na Figura abaixo. A casca esférica tem carga - 7 Q . A esfera sólida tem carga + 2 Q .

  1. Quanta carga está na superfície interna da casca esférica?
  2. Considere, agora, que um fio metálico seja conectado entre a esfera sólida e a casca. Depois de o equilíbrio eletrostático ser restabelecido, quanta carga está na esfera sólida e em cada superfície da casca esférica? O campo elétrico na superfície da esfera sólida varia quando o fio é conectado? Se a resposta for positiva, de que maneira?

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Passo 1

a) Como a casca esférica externa é condutora, o campo elétrico no interior dela, no equilíbrio eletrostático, é zero. Ou seja, no interior da região verde da Figura, o campo elétrico é zero e qualquer excesso de carga nessa casca vai para a superfície dela.

O mesmo acontece com a esfera sólida que está dentro da casca. A carga + 2 Q dela está uniformemente distribuída sobre sua superfície e não tem campo elétrico dentro dessa esfera sólida.

Bom, como a carga líquida de todo o sistema é Q l í q u i d a = - 7 Q + 2 Q = - 5 Q , então, uma carga de - 2 Q vai ficar na superfície interna da casca esférica, no equilíbrio eletrostático, como está na Figura abaixo. O restante da carga total da casca esférica, que é - 5 Q , vai para a sua superfície externa.

Passo 2

b) Agora, dá uma olhada na Figura acima. Se a gente conectar um fio condutor entre a superfície da esfera condutora sólida e superfície interna da casca condutora, haverá um cancelamento das cargas + 2 Q e - 2 Q após o equilíbrio eletrostático ser restabelecido e restará apenas a carga - 5 Q sobre a superfície externa da casca esférica, que não é alterada.

Nessa situação, não haverá campo elétrico entre as esferas, já que haverá cancelamento das cargas por causa do fio condutor, mas haverá campo elétrico na parte externa à casca esférica, já que esta, independentemente do fio condutor, permanece com carga - 5 Q .

Resposta

  1. - 2 Q   ;
  2. Na região no interior da casca esférica não haverá carga e - 5 Q estará sobre a superfície externa da casca esférica.

Exercício Resolvido #6

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 22.43, Adaptado, pp. 67.

Uma esfera condutora sólida de raio R com carga Q está no interior de uma casca esférica muito fina isolante e concêntrica, com raio 2 R e que possui também uma carga Q . A carga Q está distribuída uniformemente sobre a casca esférica isolante. Dada essa situação e considerando que o sistema está no equilíbrio eletrostático, determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico em cada uma das regiões 0 < r < R , R < r < 2 R e r > 2 R .

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Passo 1

Para obtermos como é o campo elétrico na região 0 < r < R , basta lembrarmos que, como a esfera sólida é condutora, o campo elétrico no interior dela é nulo e toda carga em excesso que ela tiver vai para sua superfície.

Passo 2

Na região R < r < 2 R , existe um campo elétrico produzido pela carga Q que está distribuída sobre a superfície da esfera sólida interna. Portanto, nessa região, o campo elétrico será idêntico àquele produzido por uma Q que está concentrada no centro da esfera sólida.

Por isso, o módulo do campo elétrico em R < r < 2 R será

E = Q 4 π ε 0 r 2   ,

isto é, o campo será idêntico ao que seria produzido por uma carga puntiforme no centro da esfera condutora sólida. Se a carga é positiva, Q > 0 , o vetor campo elétrico vai apontar na direção do raio da esfera com sentido saindo da carga, isto é,

E → = Q 4 π ε 0 r 2 r ^   .

Se Q < 0 ,   E → terá sentido contrário ao vetor   r ^ .

Passo 3

Em r > 2 R , podemos fazer uma gaussiana esférica envolvendo as duas esferas e, como dentro dessa gaussiana haverá uma carga de valor 2 Q , o campo elétrico produzido será

E = 2 Q 4 π ε 0 r 2   ,

que, por causa da simetria esférica, é idêntico ao campo que seria produzido caso uma carga 2 Q estivesse localizada no centro das esferas. Por isso,

E → = 2 Q 4 π ε 0 r 2   r ^   .

Resposta

0 < r < R : E = 0

R < r < 2 R : E → = Q 4 π ε 0 r 2 r ^

r > 2 R : E → = 2 Q 4 π ε 0 r 2 r ^   .

Exercício Resolvido #7

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 22.45, pp. 67.

Uma pequena esfera oca condutora, com raio interno a e raio externo b , é concêntrica com uma grande esfera oca condutora, com raio interno c e raio externo d , como mostra a Figura abaixo. A carga total sobre a esfera oca interna é igual a + 2 q e a carga total sobre a esfera oca externa é igual a + 4 q . Considerando que o sistema está no equilíbrio eletrostático,

a) Determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico em função de r ao centro comum para as regiões

  1. r < a ;
  2. a < r < b ;
  3. b < r < c ;
  4. c < r < d ;
  5. r > d

b) Qual é carga total sobre

  1. a superfície interna da esfera oca pequena;
  2. superfície externa da esfera oca pequena;
  3. a superfície interna da esfera oca grande;
  4. a superfície externa da esfera oca grande?
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Passo 1

a) Como ambas as cascas são condutoras, fica mais fácil analisar como fica o campo elétrico em cada região. Por exemplo, como a casca condutora menor tem uma carga positiva de + 2 q , o campo elétrico em toda a região r < b é nulo, já que toda essa carga vai para a superfície da casca condutora menor.

i) e ii) Portanto, tanto para r < a , quanto para a < r < b , o campo elétrico é nulo, ou seja, E = 0 .

iii) Agora, dentro da região b < r < c , existe a carga + 2 q que está sobre a superfície da casca esférica menor. Portanto, o campo nessa região é idêntico àquele que seria produzido caso a carga + 2 q estivesse localizada no centro da Figura. Por isso,

E → = + 2 q 4 π ε 0 r 2   r ^ ,   p a r a   b < r < c   .

Tranquilo??

iv) Continuando, a gente tem também uma outra casca esférica condutora de raio d que possui uma carga total de + 4 q . Mas, de novo, como é uma casca condutora, dentro dela na região c < r < d não há campo elétrico, ou seja, E = 0 para essa região.

v) Por último, na região r > d , se fazemos uma superfície gaussiana esférica englobando as duas cascas, notamos que dentro dessa gaussiana há uma carga total de + 6 q , que é a soma da carga da casca interna com a da casca externa. Por isso, o campo elétrico nesse caso é

E → = + 6 q 4 π ε 0 r 2   r ^ ,   p a r a   r > d   .

Passo 2

b) Para o caso das cargas, como não há campo elétrico na região para r < b ,   então

  1. A carga elétrica é nula;
  2. Já na superfície externa da casca esférica menor, a carga é + 2 q .

Agora, como a casca esférica maior tem uma carga total de + 4 q e existe uma carga + 2 q interna a ela na superfície externa da casca condutora menor, na superfície interna da casca esférica maior (em r = c ) haverá, no equilíbrio eletrostático, uma carga negativa - 2 q que será induzida pela carga que está na casca esférica menor. Blz?

Portanto,

iii) Carga elétrica negativa - 2 q .

Por último, isso significa também que, na superfície externa da casca esférica maior haverá uma carga positiva + 6 q . Só para confirmar, a carga total da casca esférica maior é + 6 q - 2 q = + 4 q , como deveria ser, correto? Então,

iv) Carga elétrica positiva de + 6 q .

Resposta

a)

  1. E = 0 ;
  2. E = 0 ;
  3. E → = + 2 q 4 π ε 0 r 2   r ^ ;
  4. E = 0   ;
  5. E → = + 6 q 4 π ε 0 r 2   r ^   ; ;

b)

  1. Q = 0 ;
  2. Q = + 2 q   ;
  3. Q = - 2 q ;
  4. Q = + 6 q   .

Exercício Resolvido #8

UFRJ, Física 3, P1 – 2013.2 Questão ME04

Um condutor esférico contém, em seu interior, uma cavidade esférica concêntrica. Uma partícula com carga q encontra-se no centro da cavidade e o condutor, em equilíbrio eletrostático, possui carga elétrica total - q . Sendo E → o campo elétrico resultante em um ponto P fora do sistema, assinale o único item correto.

(a) E → 0 →   e a carga total na superfície externa do condutor é zero.

(b) E → 0 →   e a carga total na superfície externa do condutor é - q .

(c) E → = 0 → e a carga total na superfície externa do condutor é q .

(d) E → = 0 → e a carga total na superfície externa do condutor é - q .

(e) E → = 0 → e a carga total na superfície externa do condutor é zero.

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Passo 1

Primeiramente temos que lembrar que dentro de um condutor o campo elétrico é sempre zero.

Se traçarmos uma gaussiana (em laranja) esférica concêntrica dentro do condutor, o campo elétrico deverá ser zero.

Passo 2

Aplicamos a lei de gauss: ∮ E . d A =   Q i n t ∈ 0

Como temos uma simetria esférica vamos ficar com a expressão: E .   A =   Q i n t ∈ 0 .

Como a gaussiana está localizada no interior de um condutor, o campo elétrico é zero e então:

Q i n t = 0

Mas a carga no interior da nossa gaussiana é dada pela soma da carga da partícula no centro da esfera MAIS as cargas localizadas na superfície esférica interna:

Q i n t = q +   q sup ⁡ i n t e r n a = 0

Rearranjando, temos:

q sup ⁡ i n t e r n a = - q

Como a carga total da esfera condutora é – q , toda esta carga estará na superfície interna e nenhuma estará na superfície externa.

Passo 3

Finalmente, se traçarmos uma gaussiana esférica concêntrica passando pelo ponto P e aplicando a lei de gauss novamente, teremos que a carga interna é igual a zero pois:

Q i n t = q +   q sup ⁡ i n t e r n a = q - q = 0

E, portanto, o campo elétrico será zero também:

E .   A =   Q i n t ∈ 0 = 0

Passo 4

Portanto, temos que o campo elétrico no ponto P é igual a zero e não há cargas na superfície externa da esfera.

A alternativa correta é a letra (e).

Resposta

(e) E → = 0 → e a carga total na superfície externa do condutor é zero.

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