Teoria

Materiais Dielétricos

Um dielétrico nada mais é do que um isolante que pode ser polarizado por um campo elétrico externo.

Se você colocasse um condutor numa região de campo elétrico haveria indução de cargas até que fosse atingido o equilíbrio eletrostático. No dielétrico não é bem assim que acontece, pois ele é um isolante. O que ocorre é que os elétrons saem levemente de sua posição de equilíbrio e ocorre uma polarização (uma mini indução, digamos). Como é bem sabido, num material isolante pode haver campo mesmo no equilíbrio. Por conta dessa polarização, é criado um campo elétrico interno que diminui o campo que havia antes.

Não é à toa que esse assunto é colocado depois de capacitores. Por conta dessa diminuição do campo, o que ocorre é que o módulo da diferença de potencial diminui também. Então se colocarmos um dielétrico entre as placas de um capacitor, temos que a voltagem diminui para uma mesma carga armazenada, e por consequência obtemos uma capacitância maior.

É só isso? Quase. Faltou quantificar essa história toda. Como o dielétrico reduz a voltagem, podemos tirar deste fato uma série de conclusões.

Primeiramente vamos associar à ele a constante dielétrica, representada pela letra K . Dessa forma, temos que a voltagem nova é a voltagem inicial dividida por K :

V = V 0 K

Deste fato, podemos substituir na fórmula da capacitância e chegar em:

C = K C 0

Ou seja, ao passo que a voltagem diminui, a capacitância aumenta. Além disso, por dividir a voltagem, podemos analisar a fórmula Δ V = - ∫ E → ∙ d r → e concluir que:

E = E 0 K

Ou seja, reduz o campo também por um fator de K .

Nós poderíamos meter um campo tão forte no dielétrico que nós induzíssemos as cargas nele como se fosse um condutor?

Sim. Se o campo for forte demais o dielétrico pode perder suas capacidades isolantes, pois você estaria fazendo algo muito mais forte que a polarização que nós comentamos.

As cargas começariam à se mover de fato, certo? Então qual seria a diferença dele pra um condutor? Quase nenhuma! As cargas iam ser arrastadas pra superfície à força, ele iria ficando equipotencial, etc... Neste caso nós dizemos que ocorreu uma ruptura dielétrica.

Repare que aqui mantivemos a carga constante entre as placas do capacitor.

Q = Q 0

E se mantivéssemos a DDP constante?!

A ideia é a seguinte. Temos inicialmente o nosso capacitor ligado a um circuito que é alimentado por uma ddp V 0 , até que em um belo momento nós decidimos colocar o material dielétrico entre suas placas.

Se liga! O capacitor vai continuar sendo alimentado pela ddp V 0 .

“Então, o que muda?!”

Assim que colocamos o dielétrico, independente da situação, nós alteramos a capacitância do nosso capacitor que, nesse caso, passará a ser:

C = K C 0

A carga no capacitor, assim como a capacitância, também irá aumentar:

Q = K Q 0

No entanto a ddp permanece a mesma, bem como o campo elétrico entre as placas do capacitor:

V = V 0

E = E 0

Então fique de olho pra saber em qual situação estamos trabalhando, ou seja, carga constante ou ddp constante. Beleza?!

E se mantivéssemos a DDP constante?!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incorreta.

  1. O campo elétrico produzido por um corpo com carga total igual a zero pode ser diferente de zero;
  2. O campo elétrico no interior de um material dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja em uma região com campo elétrico;
  3. O campo elétrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a região entre suas placas é completamente preenchida por um material de constante dielétrica K > 1 ;
  4. Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superfícies do dielétrico que causa a mudança da capacitância;
  5. Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, é possível submeter esse capacitor à maiores diferenças de potencial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.

Passo 1

Como de costume, vamos analisar uma por uma.

O campo elétrico produzido por um corpo com carga total igual a zero pode ser diferente de zero. Pode isso? Pode sim! Lembre do dipolo, ele que é a boa.

Um dipolo não é um corpo, fato, mas se você conseguir jogar duas cargas opostas Q e - Q num corpo (uma esfera de metal, por exemplo) e manter elas separadas, a ideia é a mesma do dipolo. Sem falar que o campo vai ficar muito parecido!

Verdadeira.

Passo 2

O campo elétrico no interior de um material dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja em uma região com campo elétrico? Po, sem nexo isso. O campo elétrico no interior de nenhum material é sempre zero. Tem como colocar campo elétrico no material que você quiser, só que em certos casos não vai estar no equilíbrio.

Atenção para essas palavras “sempre” e “nunca”, pois é raro de uma frase com elas ser verdadeira (fica a dica pra vida).

Falsa.

Ou seja, acabou a questão, né? Haha, não, po, vacilo eu dar a resposta e não analisar as outras. Vamos lá.

Passo 3

O campo elétrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a região entre suas placas é completamente preenchida por um material de constante dielétrica K > 1 ?

Verdadeira, pois quando nós temos um dielétrico no meio de um capacitor o que ocorre é uma pequena polarização de cargas nas extremidades desse material. A consequência disso é que a diferença do potencial entre as extremidades do material (e por consequência, do capacitor) fica menor:

V = V 0 K

Juntando esse fato com a fórmula:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Onde o Δ V é o nosso V (eu sei, a notação é horrível mas eu uso a mesma do livro pra você se acostumar...):

V = - ∫ C E → ∙ d r →

V 0 K = - ∫ C E → ∙ d r →

A consequência disto é que o módulo do campo novo é menor que o campo antigo:

E = E 0 K

Ou seja, ta valendo. (Se você gravou a fórmula acima, coisa que eu recomendo, pode matar a múltipla escolha direto, não precisa se preocupar com grandes justificativas não).

Verdadeira.

Passo 4

Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superfícies do dielétrico que causa a mudança da capacitância?

Ta certo isso? Sim! Clássica questão de capacitor. Se existe uma pequena polarização de cargas no dielétrico, podemos dizer que surge uma densidade de carga superficial.

A densidade de carga nada mais é do que uma conta que você fez na sua cabeça. Isso é um fato importante. Você simplesmente pegou a carga numa região e dividiu pela área daquela região. Ou seja, se surgiram cargas, surgiu densidade.

Beleza, agora essa densidade muda a capacitância? Sim, é justamente o objetivo dos dielétricos. Conforme vimos na alternativa anterior:

V = V 0 K

Ou seja, a voltagem diminui. Substituindo na capacitância:

C = Q V

C = K Q V 0

Ou seja, a capacitância nova é maior que a original.

Verdadeira.

Passo 5

Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, é possível submeter esse capacitor à maiores diferenças de potencial, sem que ocorra a ruptura dielétrica?

Sim ué... É só você aumentar a voltagem na bateria que alimenta o capacitor. A voltagem vai aumentando e o dielétrico no meio do capacitor vai aguentando até um certo ponto... Se você aumentar a voltagem demais, o campo no dielétrico fica grande demais e ocorre a ruptura, mas fora isso dá pra aumentar a voltagem sim.

Verdadeira.

Resposta

Letra b .

Exercício Resolvido #2

Um capacitor com placas paralelas possui capacitância C 0 = 8,00   p F , quando existe ar entre as placas. A distância entre as placas é igual a 1,50   m m .

(a) Qual é o módulo máximo de carga Q que pode ser colocado em cada placa, se o campo elétrico na região entre as placas não exceder 3,00 × 10 4   V / m ?

(b) Um dielétrico com K = 2,70 é inserido entre as placas do capacitor, preenchendo completamente o volume entre elas. Qual passa a ser o módulo máximo de carga em cada placa, se o campo elétrico entre elas não exceder 3,0 × 10 4   V / m ?

Passo 1

(a) Qual é o módulo máximo de carga Q que pode ser colocado em cada placa, se o campo elétrico na região entre as placas não exceder 3 , 00 × 10 4   V / m ?

Bem, como o enunciado nos dá o valor da capacitância C 0 e distância entre as placas, podemos calcular a área das placas como:

C 0 = ϵ 0 A d → A = C 0 d ϵ 0 ,

A = 8,00 × 10 - 12 × 1,50 × 10 - 3 8,85 × 10 - 12 ≈ 1,35 × 10 - 3   m 2 .

Passo 2

Também sabemos que

Q 0 = C 0 V ,

Q 0 = ϵ 0 A V d .

Como

E = V d ,

ficamos com:

Q 0 = ϵ 0 A E .

Como o campo não pode passar de E = 3,00 × 10 4   V / m , a carga máxima será:

Q 0 = 8,85 × 10 - 12 × 1,35 × 10 - 3 × 3,00 × 10 4 ,

Q 0 ≈ 3,58 × 10 - 10   C .

Passo 3

(b) Um dielétrico com K = 2 , 70 é inserido entre as placas do capacitor, preenchendo completamente o volume entre elas. Qual passa a ser o módulo máximo de carga em cada placa, se o campo elétrico entre elas não exceder 3 , 0 × 10 4   V / m ?

Nesse caso, vamos manter o campo elétrico constante e igual a E = 3,0 × 10 4   V / m . Isso significa que, como V = E d , a DDP entre as placas também será constante!

Logo, como vimos na teoria, a nova carga no capacitor será dada por:

Q = K Q 0 ,

Q = 2,70 × 3,58 × 10 - 10 ≈ 9,67 × 10 - 10   C .

Resposta

(a) Q 0 = 3,58 × 10 - 10   C .

(b) Q = 9 , 67 × 10 - 10   C .

Exercício Resolvido #3

Um capacitor tem armaduras paralelas cuja área é de 0,118   m ² e estão separadas por 1,22   c m . Uma bateria carrega as armaduras até que a diferença de potencial entre elas seja 120   V , sendo então desligada. Uma placa de dielétrico de constante dielétrica 4,80 , é então colocada entre as armaduras do capacitor. Qual a capacitância antes e após introduzirmos o dielétrico?

Passo 1

A capacitância antes de inserirmos o dielétrico vai ser calculada por C 1 = ε 0 A d , substituindo os valores.

Já quando o dielétrico é inserido, a capacitância vai ser C 2 = K ε 0 A d .

Agora é só substituir os valores :)

Lembrando que ε 0 = 8,85 × 10 - 12   F / m .

Passo 2

Calculando C 1 :

C 1 = 8,85 × 10 - 12 × 0,118 1,22 × 10 - 2   m

C 1 = 8,5 × 10 - 11   F

C 2 :

C 2 = 4,80 × 8,85 × 10 - 12 × 0,118 1,22 × 10 - 2   m

C 2 = 4,1 × 10 - 10   F

Resposta

C 1 = 8,5 × 10 - 11   F (antes do dielétrico) e C 2 = 4,1 × 10 - 10   F (depois do dielétrico).

Exercício Resolvido #4

Um capacitor de placas paralelas é carregado com uma carga Q e, em seguida, a bateria é removida. Um pedaço de material de constante dielétrica κ é inserido entre as placas (vide figura).

A carga armazenada no capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma? Explique.

Passo 1

Esse exercício é pegadinha hehe observe que ele falou pra gente que a bateria foi desligada. Ou seja, a carga ta presa ali, não vai pra lugar nenhum. Logo, a carga armazenada permanece a mesma com ou sem o dielétrico :)

Resposta

Permanece a mesma.

Exercício Resolvido #5

Um capacitor de placas paralelas de área A possui vácuo entre as placas, separadas por uma distância d . Sua capacitância é C o .

Um outro capacitor tem placas de área A / 4 separadas por uma distância 2 d , sendo que entre elas há um dielétrico de constante dielétrica K . Sua capacitância vale C 1 . Determine a razão C o / C 1 .

Passo 1

A capacitância total no capacitor sem o dielétrico, vai ser dada simplesmente pela fórmula C o = ε 0 A d , já que ela não está preenchida por nenhum dielétrico.

Já no segundo capacitor, a capacitância muda para

C 1 = K ε 0 A / 4 2 d

Agora basta a gente dividir C o por C 1 pra chegarmos na resposta :)

Passo 2

Fazendo a razão C o / C 1 :

C o C 1 = ε 0 A d K ε 0 A / 4 2 d

C o C 1 = 8 K

Resposta

C o C 1 = 8 K

Exercício Resolvido #6

Duas placas paralelas possuem cargas iguais e opostas. Quando existe vácuo entre as placas, o módulo do campo elétrico é E = 3,20 × 10 5   V / m . Quando o espaço entre as placas é preenchido por um dielétrico, o campo elétrico possui módulo E = 2,50 × 10 5   V / m .

(a) Qual é o valor da constante dielétrica?

(b) Qual é a densidade de carga em cada superfície do dielétrico?

Passo 1

(a) Qual é o valor da constante dielétrica?

Vamos lá, ao colocar a constante dielétrica, mantendo a carga constante, a DDP entre as placas diminui por um fator K . Como o campo é proporcional à essa DDP, logo,

E = E 0 K .

Assim sendo, para calcular a constante dielétrica precisamos fazer:

K = E 0 E = 3,20 × 10 5 2,50 × 10 5 = 1,28 .

Passo 2

(b) Qual é a densidade de carga em cada superfície do dielétrico?

Para um condutor carregado, a gente já viu que

E = σ ϵ 0 .

A gente sabe que as placas do capacitor vão induzir cargas negativas e positivas nas superfícies do dielétrico. E isso vai diminuir o módulo do campo elétrico entre as placas, beleza? Assim sendo, podemos calcular o módulo do campo elétrico nesse caso como:

E = E 0 - E K ,

onde consideramos E 0 = 3,20 × 10 5   V / m e E K = 2,50 × 10 5   V / m .

Logo,

σ = 3,20 × 10 5 - 2,50 × 10 5 × 8,85 × 10 - 12 ≈ 6,20 × 10 - 7   C / m 2 .

Passo 3

Essa densidade σ que calculamos aí em cima, na verdade, vai ser:

σ = σ c - σ i ,

onde σ c é a densidade no condutor e σ i , a densidade das cargas induzidas, que é o que queremos calcular!

Ok, mas precisamos antes calcular a densidade no condutor, certo? Para isso, consideramos o campo inicial E 0 no vácuo. Temos:

E 0 = σ c ϵ 0 → σ c = ϵ 0 E 0 ,

σ c = 8,85 × 10 - 12 × 3,20 × 10 5 = 28,32 × 10 - 7   C / m 2 .

Passo 4

Podemos calcular (finalmente!) a densidade de cargas induzidas, como:

σ i = σ c - σ ,

σ i = 28,32 × 10 - 7 - 6,20 × 10 - 7 ,

σ i = 22,12 × 10 - 7   C / m 2 .

Resposta

(a) K = 1,28 .

(b) σ i = 22,12 × 10 - 7   C / m 2 .

Exercício Resolvido #7

Uma placa dielétrica de espessura b e constante dielétrica κ é introduzida entre as placas de um capacitor plano, as quais estão separadas pela distância d . Cada placa possui área igual a A . Mostre que a capacitância é dada por:

C = κ ϵ 0 A κ d - b κ - 1 .

Passo 1

Vamos olhar para a representação da figura abaixo.

Sem considerarmos a presença do dielétrico, a capacitância seria dada por:

C 0 = ϵ 0 A d .

Logo, a carga acumulada no capacitor pode ser escrita por:

Q 0 = C 0 V 0 ,

onde V 0 é a tensão antes de introduzir o dielétrico.

Passo 2

Considerando agora que o dielétrico foi colocado entre as placas, precisamos encontrar um novo valor de tensão, já que a carga irá permanecer constante.

Vamos usar a seguinte expressão:

V = - ∫ 1 2 E → ⋅ d l → = - ∫ 1 2 E . d l . cos ⁡ π .

Aqui, integramos da placa 1 até a placa 2 , como na figura. Temos:

V = ∫ 1 2 E . d l = E 0 d - b + E b ,

onde E 0 é o módulo do campo elétrico antes da presença do dielétrico e E é o módulo do campo elétrico depois da presença do dielétrico.

Passo 3

Bem, podemos calcular o valor de E como:

E = E 0 κ .

Substituindo na equação de V :

V = E 0 d - b + b κ .

Passo 4

Da definição de capacitância, temos que:

C = Q 0 V .

Substituindo os valores de Q 0 e V encontrados:

C = C 0 V 0 E 0 d - b + b κ .

Como a relação entre a tensão inicial e o módulo do campo inicial é dada por:

E 0 = V 0 d ,

teremos que:

C = C 0 E 0 d E 0 d - b + b κ ,

C = κ C 0 d κ d - b + b .

Usando a expressão calculada para C 0 no passo 1, chegamos a:

C = κ ϵ 0 A κ d - b κ - 1 .

Resposta

Exercício Resolvido #8

Considere um capacitor ideal de placas quadradas, planas e paralelas. Mantendo-se a carga de cada placa constante, uma chapa espessa de isolante, é inserida na região entre as placas do capacitor original. Sendo E 0 o módulo do campo elétrico entre as placas do capacitor original, e E i (i = 1, 2) os módulos do campo elétrico, nos pontos P i (i = 1, 2), após a introdução do

isolante, o que pode ser afirmado sobre tais módulos?

(a) E 0   <   E 1   <   E 2 .

(b) E 0 >   E 1 >   E 2

(c) E 0 >   E 2 >   E 1 .

(d) E 0 <   E 2 <   E 2 .

(e) E 0 =   E 2 <   E 1 .

(f) E 0 =   E 2 >   E 1 .

(g) E 0 =   E 1 >   E 2 .

(h) E 0 =   E 1 <   E 2 .

Passo 1

Primeiramente, vamos tentar visualizar melhor o que está acontecendo.

Ao inserir o dielétrico, um campo elétrico é induzido ( E ’ ) aparece no dielétrico, devido a polarização das cargas.

Passo 2

Podemos resolver esse exercício fazendo a soma dos vetores de campo elétrico presentes em cada ponto.

Como a carga nas placas do capacitor não muda, o campo E 0 também aparece depois que o dielétrico é inserido.

No ponto P 1 só há o campo original E 0 e portanto o campo elétrico nesse ponto é o mesmo que o de antes de inserir o dielétrico.

Portanto:

E 1 =   E 0

No ponto P 2 temos o vetor do campo original E 0   e também o vetor do campo induzido E ’ .

O campo elétrico resultante vai ser a soma desses vetores, lembrando que eles têm sentidos contrários!

Temos:

E → r e s u l t a n t e =   E → 0 +   E → ’

Considerando apenas os módulos, temos:

E r e s u l t a n t e =   E 2 =   E 0 -   E 1

Portanto, como esperado, o dielétrico diminuiu o campo elétrico no capacitor, mas nesse caso apenas na região de P 2

Passo 3

Juntando tudo temos:

E 0   =   E 1 >   E 2

A alternativa correta é a letra (g)

Resposta

(g) E 0 =   E 1 >   E 2 .

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