Capacitância Equivalente

Teoria Completa

Capacitores em Série

Mas e aí eu te pergunto. Como que calculamos a capacitância total quando temos vários capacitores associados?

Lembra de resistores em série e paralelo? É a mesma ideia, só que as fórmulas do capacitor são ao contrário (já vai ficar claro). Quando temos dois ou mais capacitores ligados num circuito, é sempre possível substituir esse conjunto por um capacitor só que tenha uma capacitância equivalente.

Nesse caso, é bom você entender a demonstração pra valer. Sim porque pode cair alguma sacanagem que cobre algum dos conceitos apresentados aqui abaixo... Então vamos lá. Começando por capacitores em série:

Duas coisas são importantes: primeiramente os capacitores em série estão submetidos à voltagens diferentes. Em segundo lugar, os dois armazenam cargas iguais. Se um tiver mais carga que o outro, por eles estarem em série, vai ocorrer uma indução até que seja atingido o equilíbrio.

Como as cargas são as mesmas:

Q = Q 1 = Q 2

A capacitância de cada um é:

C 1 = Q V 1

C 2 = Q V 2

Além disso, a voltagem em dois elementos de circuito em série é a soma das voltagens:

V = V 1 + V 2

Então a capacitância equivalente é:

C e q = Q V

C e q = Q V 1 + V 2

Invertendo:

1 C e q = V 1 + V 2 Q

1 C e q = V 1 Q + V 2 Q

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

Podemos reproduzir esse resultado para n capacitores:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 + … + 1 C n

E é isso aí.

Capacitores em Paralelo

Mesma ideia de antes, só que agora, por estarem em paralelo:

Os capacitores estarão submetidos à mesma voltagem, ao passo que armazenam cargas diferentes. As cargas vão sempre tentar passar pelo caminho que oferecer menos resistência, por isso que a carga vai ser diferente, mas essa questão da resistência (impedância) não vai ser comentada pois foge à ementa de Física III.

Então pela mesma lógica de antes temos:

Q = Q 1 + Q 2

V = V 1 = V 2

As capacitâncias individuais são:

C 1 = Q 1 V

C 2 = Q 2 V

Então:

C e q = Q V = Q 1 + Q 2 V

C e q = Q 1 V + Q 2 V

C e q = C 1 + C 2

E sim, podemos estender essa definição para um número arbitrário n de capacitores:

C e q = C 1 + C 2 + … + C n

Capacitores com mais de um Dielétrico

Algumas questões vão chegar e te dar um capacitor dessa forma. Saca só!

Aqui tem um capacitor com materiais dielétricos diferentes, mas de dimensões idênticas em seu interior. Maneiro, né? :P

Mas e aí, como que calcula a capacitância desse bendito?

É bem simples. Devemos apenas separar esse capacitor em dois capacitores em série, como na figura abaixo:

Assim, podemos calcular a capacitância equivalente, pela seguinte forma:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

Mas para tudo, Brasil! Como que calcula o C 1 e o C 2 mesmo?

C 1 = K 1 . ε 0 . A 1 d 1

C 2 = K 2 . ε 0 . A 2 d 2

Mas como, nesse caso, eles têm dimensões iguais, podemos chamar A 1 = A 2 = A e d 1 = d 2 = L / 2 .

1 C e q = 1 K 1 . ε 0 . A L / 2 + 1 K 2 . ε 0 . A L / 2

C e q = 2 ε 0 . A L K 1 K 2 K 1 + K 2

Meio complicadinho,mas deu pra pegar, né? Fica de olho com a dimensão dos dielétricos, que muitas vezes eles têm dimensões diferentes.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dado o circuito abaixo:

  1. Calcule a capacitância de C 2 em função da capacitância C ;
  2. Calcule a capacitância equivalente do circuito todo em função da capacitância C ;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Partiu então. Temos que na parte do circuito em que existem C 3 e C 2 paralelos, a carga em C 2 é três vezes maior que em C 3 :

Q 2 = 3 Q

Q 3 = Q

Mas, ao mesmo tempo, eles estão em paralelo e portanto estão submetidos à mesma voltagem V ' (não é a mesma que V 0 ). Dessa forma:

C 2 = 3 Q V

C 3 = Q V

Dividindo ambas equações:

C 2 C 3 = 3

C 2 = 3 C 3

Substituindo o valor de C 3 :

C 2 = 3 C

Passo 2

Aplicando a fórmula de capacitores em paralelo:

C e q 1 = C + 3 C

C e q 1 = 4 C

Ou seja, o circuito vira:

Aplicando agora a fórmula de capacitores em série:

1 C e q = 1 C + 1 4 C

1 C e q = 5 4 C

C e q = 4 C 5

Resposta

a)

C 2 = 3 C

b)

C e q = 4 C 5

Exercício Resolvido #2

UERJ-Física III - Lista de Exercícios de Capacitores.

A figura mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A = 7,89 c m 2 e uma distância entre as placas d = 4,62   m m .

A metade superior do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica K 1 = 11,0 .

A metade inferior é preenchida por um material de constante dielétrica K 2 = 12,0 .

Qual é a capacitância?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se observarmos bem, se uma corrente estivesse vindo de cima para baixo, por exemplo, ela passaria pelo dielétrico K 1 e depois pelo dielétrico K 2 , conseguiu visualizar?

Dá pra imaginar então que, ao invés desse troço complicado, nós poderíamos substituir isso por dois capacitores em série, um com o dielétrico K 1 e o outro com o dielétrico K 2 .

Uma forma diferente de resolver esse problema da forma apresentada na teoria é fazendo a soma das voltagens.

A voltagem resultante seria:

V = V 1 + V 2

Sendo que, cada um desses “novos capacitores” teriam as placas separadas por d / 2 .

Passo 2

A voltagem em cada um desses dielétricos é dada por:

V 1 = E 1 d 2

V 2 = E 2 d 2

Onde:

E 1 = q K 1 ϵ 0 A

E 2 = q K 2 ϵ 0 A

Sendo assim:

V 1 = q d 2 K 1 ϵ 0 A

V 2 = q d 2 K 2 ϵ 0 A

Agora é só jogar essa bagaça na equação que escrevemos no Passo 1.

Passo 3

V = V 1 + V 2

V = q d 2 K 1 ϵ 0 A + q d 2 K 2 ϵ 0 A

V = q d 2 ϵ 0 A   1 K 1 + 1 K 2

V = q d 2 ϵ 0 A K 1 + K 2 K 1 K 2

Por último, vale lembrar que:

V = q C → C = q V

C = 2 ϵ 0 A q q d K 1 K 2 K 1 + K 2

Arrumando isso aqui...

C = 2 ϵ 0 A d K 1 K 2 K 1 + K 2

Agora sim! Só temos que fazer as contas.

Passo 4

C = 2 ϵ 0 A d K 1 K 2 K 1 + K 2

Onde:

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C 2 N - 1 m - 2 ;

A = 7,89   c m 2 = 7,89 × 10 - 4   m 2 ;

d = 4,62   m m = 4,62 × 10 - 3 m ;

K 1 = 11,0 ;

K 2 = 12,0 ;

Logo:

C = 2 × 8,85 × 10 - 12 × 7,89 × 10 - 4 × 11 × 12 4,62 × 10 - 3 × 11 + 12

C = 1,734 × 10 - 11

C = 17,34   p F

Resposta

C = 17,34   p F

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2011.1-Múltipla Escolha n°3.

Um capacitor de placas planas e paralelas, de área A , a distância D , é “recheado” por uma chapa condutora, também de área A , e espessura d < D .