Capacitância Equivalente

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Capacitores em Série

Como que calculamos a capacitância total quando temos vários capacitores associados?

Lembra de resistores em série e paralelo? É a mesma ideia, só que as fórmulas do capacitor são ao contrário (já vai ficar claro). Quando temos dois ou mais capacitores ligados num circuito, é sempre possível substituir esse conjunto por um capacitor só que tenha uma capacitância equivalente.

Nesse caso, é bom você entender a demonstração pra valer. Sim porque pode cair alguma sacanagem que cobre algum dos conceitos apresentados aqui abaixo... Então vamos lá. Começando por capacitores em série:

Nós vamos transformar esse circuito de cima, num circuito de capacitância equivalente mostrado na figura abaixo, se liga:

Duas coisas são importantes: primeiramente os capacitores em série estão submetidos a voltagens diferentes.

Em segundo lugar, os dois armazenam cargas iguais. Se um tiver mais carga que o outro, por eles estarem em série, vai ocorrer uma indução até que seja atingido o equilíbrio.

Como as cargas são as mesmas:

Q = Q 1 = Q 2

A capacitância de cada um é:

C 1 = Q V 1

C 2 = Q V 2

Além disso, a voltagem em dois elementos de circuito em série é a soma das voltagens:

V = V 1 + V 2

V = Q C 1 + Q C 2

V Q = 1 C 1 + 1 C 2

E se liga a capacitância equivalente de um sistema é justamente a razão da carga total pela voltagem total do sistema

Q V = C e q

Sendo assim de modo geral temos:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

E funciona para n capacitores.

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 + … 1 C n

Ou seja, temos a equação bem parecida com a da resistência equivalente em paralelo.

Se manipularmos a equação de 2 capacitores poderemos chegar na famosa regra do produto sobre a soma.

1 C e q = ( C 1 + C 2 ) C 1 × C 2

Invertendo temos:

C e q = C 1 × C 2 C 1 + C 2

Se tivermos um caso de 2 capacitâncias iguais a situação ficaria:

C e q = C 2 2 C = C 2

Capacitores em Paralelo

Mesma ideia de antes, só que agora, por estarem em paralelo:

Vamos transformar o circuito de cima nesse circuito aqui, se liga:

Os capacitores estarão submetidos à mesma voltagem, ao passo que armazenam cargas diferentes. As cargas vão sempre tentar passar pelo caminho que oferecer menos resistência, por isso que a carga vai ser diferente, mas essa questão da resistência (impedância) não vai ser comentada, pois foge à ementa de Física III.

Então pela mesma lógica de antes temos:

Q = Q 1 + Q 2

V = V 1 = V 2

As capacitâncias individuais são:

C 1 V = Q 1

C 2 V = Q 2

Então substituindo na equação da carga:

Q = C 1 V + C 2 V = V C 1 + C 2

Q V = C 1 + C 2

E lembra que a capacitância equivalente é a carga total do sistema divida pela voltagem total? Assim:

C e q = C 1 + C 2

E sim, podemos estender essa definição para um número arbitrário n de capacitores:

C e q = C 1 + C 2 + … + C n

Muito parecido com resistores em série não?

Capacitores com mais de um Dielétrico

Algumas questões vão chegar e te dar um capacitor dessa forma. Saca só!

Onde a área de cada uma das placas paralelas é A = 5 c m 2 ,   o comprimento L = 6 m m e as constantes dielétricas são K 1 = 11 e K 2 = 13 .

Aqui tem um capacitor com materiais dielétricos diferentes, mas de dimensões idênticas em seu interior. Maneiro, né? :P

Mas e aí, como que calcula a capacitância desse bendito?

É bem simples. Devemos apenas separar esse capacitor em dois capacitores em série, como na figura abaixo:

Onde

A 1 = A 2 = A = 5 c m 2

d 1 = L 2 = 6 2 = 3 m m

Assim, podemos calcular a capacitância equivalente, pela seguinte forma:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

Ou no caso de 2 capacitores apenas, podemos usar produto sobre a soma:

C e q = C 1 × C 2 C 1 + C 2

Mas para tudo, Brasil! Como que calcula o C 1 e o C 2 mesmo?

C 1 = K 1 . ε 0 . A 1 d 1

C 2 = K 2 . ε 0 . A 2 d 2

Pra substituir os valores não podemos esquecer de converter as unidades. A área da placa foi dada em c m ² e a distância L em m m , vamos colocar tudo em metros.

A = 5 c m 2 = 5 × 10 - 2 m 2 = 5 × 10 - 4 m

d = 3 m m = 3 × 1 0 - 3 m

Substituindo os valores, temos:

C 1 = 11 × 8,85 × 10 - 12 × 5 × 10 - 4 3 × 10 - 3

C 1 = 1,62 × 10 - 11 F = 16,2 p F

C 2 = 13 × 8,85 × 10 - 12 × 5 × 10 - 4 3 × 10 - 3

C 2 = 1,92 × 10 - 11 F = 19,2 p F

Por fim essa capacitância equivalente vai ficar:

C e q = C 1 × C 2 C 1 + C 2 = 16,2 × 19,2 16,2 + 19,2

C e q = 8,8 p F

Poderíamos ter capacitores com dielétricos diferentes também em paralelo, se liga:

O sistema da esquerda é separado virando o sistema da direita, e aí cada dielétrico vai funcionar como um capacitor.

Nesse caso é só somar as capacitâncias pra fazer a capacitância equivalente, tranquilo não?

C e q = C 1 + C 2 = 16,2 + 19,2 = 35,4 p F

Bora pros exercícios agora?

Capacitores em Paralelo

Capacitores com mais de um Dielétrico

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dado o circuito abaixo:

  1. Calcule a capacitância de C 2 em função da capacitância C ;
  2. Calcule a capacitância equivalente do circuito todo em função da capacitância C ;

Passo 1

Partiu então. Temos que na parte do circuito em que existem C 3 e C 2 paralelos, a carga em C 2 é três vezes maior que em C 3 :

Q 2 = 3 Q

Q 3 = Q

Mas, ao mesmo tempo, eles estão em paralelo e portanto estão submetidos à mesma voltagem V ' (não é a mesma que V 0 ). Dessa forma:

C 2 = 3 Q V

C 3 = Q V

Dividindo ambas equações:

C 2 C 3 = 3

C 2 = 3 C 3

Substituindo o valor de C 3 :

C 2 = 3 C

Passo 2

Aplicando a fórmula de capacitores em paralelo:

C e q 1 = C + 3 C

C e q 1 = 4 C

Ou seja, o circuito vira:

Aplicando agora a fórmula de capacitores em série:

1 C e q = 1 C + 1 4 C

1 C e q = 5 4 C

C e q = 4 C 5

Resposta

a)

C 2 = 3 C

b)

C e q = 4 C 5

Exercício Resolvido #2

A figura mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A = 7,89 c m 2 e uma distância entre as placas d = 4,62   m m .

A metade superior do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica K 1 = 11,0 .

A metade inferior é preenchida por um material de constante dielétrica K 2 = 12,0 .

Qual é a capacitância?

Passo 1

Se observarmos bem, se uma corrente estivesse vindo de cima para baixo, por exemplo, ela passaria pelo dielétrico K 1 e depois pelo dielétrico K 2 , conseguiu visualizar?

Dá pra imaginar então que, ao invés desse troço complicado, nós poderíamos substituir isso por dois capacitores em série, um com o dielétrico K 1 e o outro com o dielétrico K 2 .

Uma forma diferente de resolver esse problema da forma apresentada na teoria é fazendo a soma das voltagens.

A voltagem resultante seria:

V = V 1 + V 2

Sendo que, cada um desses “novos capacitores” teriam as placas separadas por d / 2 .

Passo 2

A voltagem em cada um desses dielétricos é dada por:

V 1 = E 1 d 2

V 2 = E 2 d 2

Onde:

E 1 = q K 1 ϵ 0 A

E 2 = q K 2 ϵ 0 A

Sendo assim:

V 1 = q d 2 K 1 ϵ 0 A

V 2 = q d 2 K 2 ϵ 0 A

Agora é só jogar essa bagaça na equação que escrevemos no Passo 1.

Passo 3

V = V 1 + V 2

V = q d 2 K 1 ϵ 0 A + q d 2 K 2 ϵ 0 A

V = q d 2 ϵ 0 A   1 K 1 + 1 K 2

V = q d 2 ϵ 0 A K 1 + K 2 K 1 K 2

Por último, vale lembrar que:

V = q C → C = q V

C = 2 ϵ 0 A q q d K 1 K 2 K 1 + K 2

Arrumando isso aqui...

C = 2 ϵ 0 A d K 1 K 2 K 1 + K 2

Agora sim! Só temos que fazer as contas.

Passo 4

C = 2 ϵ 0 A d K 1 K 2 K 1 + K 2

Onde:

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C 2 N - 1 m - 2 ;

A = 7,89   c m 2 = 7,89 × 10 - 4   m 2 ;

d = 4,62   m m = 4,62 × 10 - 3 m ;

K 1 = 11,0 ;

K 2 = 12,0 ;

Logo:

C = 2 × 8,85 × 10 - 12 × 7,89 × 10 - 4 × 11 × 12 4,62 × 10 - 3 × 11 + 12

C = 1,734 × 10 - 11

C = 17,34   p F

Resposta

C = 17,34   p F

Exercício Resolvido #3

Um capacitor de placas planas e paralelas, de área A , a distância D , é “recheado” por uma chapa condutora, também de área A , e espessura d < D .

A capacitância de tal capacitor é:

  1. 2 ϵ 0 A a
  2. ϵ 0 A a
  3. ϵ 0 A 2 a
  4. ϵ 0 A D
  5. 2 ϵ 0 A d

Passo 1

As fórmulas que precisamos para resolver o problema são:

  • Capacitância de um capacitor de placas planas paralelas de área A e distância h entre as placas;
  • C = ϵ 0 A h

  • Capacitância de associação em série de dois capacitores;
  • C e q = C 1 C 2 C 1 + C 2

  • Capacitância de associação em paralelo de dois capacitores;

C e q = C 1 + C 2

Passo 2

Agora, para entender o que acontece com a capacitância precisamos entender que tipo de capacitor novo nós temos. A ideia de capacitor é você conseguir separar cargas opostas por um certo espaço. Como antes nós tínhamos a seguinte configuração:

Quando inserimos uma placa condutora nesse meio, as cargas que já haviam lá (i.e. Q e - Q ) vão induzir cargas na placa:

Passo 3

Portanto podemos perceber que temos dois capacitores. Agora, em série ou paralelo? Para algumas pessoas isso não é óbvio então vamos de volta ao nosso macete:

Ou seja, se a corrente “se dividir” em dois caminhos nós temos um caso de capacitores em paralelo. Se ela segue um caminho só temos série. No nosso caso temos então uma associação em série de capacitores.

Passo 4

Além disso os dois tem a mesma distância entre as placas e a mesma área, portanto:

C 1 = C 2 = C

C e q = C 2 C + C = C 2 2 C

C e q = C 2

Substituindo a fórmula de capacitores de placas planas paralelas:

C e q = ϵ 0 A 2 a

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #4

Três placas condutoras de área A são espaçadas de d por vácuo (região 1 ) e de d por um material de constante dielétrica κ (região 3 ), como indicado na figura. A carga total na placa superior é igual a Q > 0 , na placa do meio é igual a zero e na placa inferior é igual a - Q . Desconsidere a não uniformidade do campo elétrico perto das bordas.

a ) Indique numa figura e calcule as densidades de carga nas superfícies das placas condutoras. Calcule o vetor campo elétrico E → nas regiões 1 ,   2 e 3 . Expresse suas respostas em termos de ϵ 0 ,   Q ,   A   e   κ .

b ) Calcule a capacitância do sistema de três placas.

c ) Calcule a densidade de carga de polarização no dielétrico.

Passo 1

a ) Indique numa figura e calcule as densidades de carga nas superfícies das placas condutoras. Calcule o vetor campo elétrico E → nas regiões 1 ,   2 e 3 . Expresse suas respostas em termos de ϵ 0 ,   Q ,   A   e   κ .

A densidade de carga na placa superior será:

σ + = Q A

Na placa inferior, que possui carga - Q , a densidade de carga será:

σ - = - Q A

Como as placas são condutoras, para que a placa do meio possua carga neutra, por causa da indução das cargas nas placas superior e inferior, haverá um acúmulo de carga negativa na superfície superior da placa do meio e um acúmulo de cargas positivas na superfície inferior da placa do meio.

Assim, a superfície superior da placa do meio terá densidade de carga σ - e a superfície inferior da placa do meio terá densidade de carga σ + .

No final das contas, o capacitor vai ter essa cara:

Como o problema pediu apenas a densidade de carga nas placas, não levamos em consideração a densidade de cargas induzidas que aparecerão no material dielétrico.

Passo 2

Agora temos que determinar o campo elétrico em cada uma das regiões.

  • Região 1
  • O campo elétrico resultante está na direção vertical. Como há o acúmulo de cargas positivas na placa superior e negativas na superfície superior da placa do meio, o campo elétrico tem sentido de cima para baixo, logo:

    E → 1 = - σ 2 ϵ 0 k ^ - σ 2 ϵ 0 k ^

    E → 1 = - Q ϵ 0 A   k ^

  • Região 2
  • Essa região corresponde ao interior do condutor, e aqui vai algo pra você guardar pra você no coração: O campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo.

    Logo:

    E → 2 = 0 →

  • Região 3

A única diferença desta para a região 1 é que, agora com o dielétrico, haverá uma variação do campo elétrico, que passará a ser dado por:

E → 3 = - Q ϵ A   k ^

E → 3 = - Q κ ϵ 0 A   k ^

Essa mudança ocorre pois, em uma material dielétrico ϵ = κ ϵ 0 .

Passo 3

b ) Calcule a capacitância do sistema de três placas.

Eu sei que pode parecer bizarro olhando assim, mas nós podemos dar uma simplificada nisso.

Ao invés de olhar para o capacitor como um sistema de três placas, podemos olhar pra isso como dois capacitores em série... o primeiro sem dielétrico e o segundo com o dielétrico.

Assim, a capacitância do sistema pode ser dada por:

1 C = 1 C 1 + 1 C 2

C = C 1 C 2 C 1 + C 2

Vamos chamar de C 1 a capacitância da parte sem o dielétrico. Como se tratam de placas planas e paralelas, C 1 dada por:

C 1 = ϵ 0 A d

E de C 2 a capacitância da parte com o dielétrico:

C 2 = ϵ A d = κ ϵ 0 A d

Substituindo na fórmula da capacitância:

C = ϵ 0 A d   κ ϵ 0 A d ϵ 0 A d + κ ϵ 0 A d = ϵ 0 A d κ ϵ 0 A d ϵ 0 A d 1 + κ

C = ϵ 0 A d κ 1 + κ

Passo 4

c ) Calcule a densidade de carga de polarização no dielétrico.

O que ele tá chamando de carga de polarização aqui é o que nós chamamos de carga induzida lá no Passo 1.

No passo 2, escrevemos o campo elétrico na região 3 como:

E 3 = Q κ ϵ 0 A = σ κ ϵ 0

Esse campo elétrico será a diferença entre o campo elétrico gerado pela densidade de carga σ (que estará de cima para baixo) e a densidade de carga σ i n d (que está de baixo para cima). Logo:

E 3 = σ ϵ 0 - σ i ϵ 0

Igualando as duas equações:

σ κ ϵ 0 = σ ϵ 0 - σ i ϵ 0

Todo mundo aqui está sendo dividido por ϵ 0 , então podemos simplificar isso aqui:

σ κ = σ - σ i

Agora é só organizar isso:

σ i = σ 1 - 1 κ

σ i = σ κ - 1 κ

σ i = Q A κ - 1 κ

Resposta

a )

E → 1 = - Q ϵ 0 A   k ^

E → 2 = 0 →

E → 3 = - Q κ ϵ 0 A   k ^

b )

C = ϵ 0 A d κ 1 + κ

c )

σ i = Q A κ - 1 κ

Exercício Resolvido #5

Para o sistema de capacitores mostrado na figura abaixo, encontre a capacitância equivalente

(a) entre b e c ; e

(b) entre a e c .

Passo 1

(a) Encontre a capacitância equivalente entre b e c .

Entre os terminais b e c , temos dois capacitores em paralelo, certo? Nesse caso, então, a capacitância equivalente é dada por:

C b c = 9 × 10 - 12 + 11 × 10 - 12 ,

C b c = 20   p F .

Passo 2

(b) Encontre a capacitância equivalente entre a e c .

Aqui podemos pensar que temos dois capacitores em série: o capacitor de 15   p F entre os terminais a e c e um capacitor entre os terminais b e c , com capacitância calculada no item (a).

Se estão em série, a capacitância equivalente será dada por:

1 C a c = 1 C a b + 1 C b c ,

C a c = C a b C b c C a b + C b c ,

C a c = 15 × 10 - 12 × 20 × 10 - 12 15 × 10 - 12 + 20 × 10 - 12 ≈ 8,57   p F .