Soma de Vetores, Subtração e Lei dos Cossenos

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Teoria

Fala aí, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Hoje a gente vai aprender TUDO sobre soma e subtração de vetores! Bora lá? 😉 👇

Adição e Subtração de Vetores pelo Método Geométrico

No método geométrico a gente pega os vetores que estamos interessados em somar e colocamos o inicio de um vetor no final do outro. Assim:

Soma de vetores: Método Geométrico
Soma de vetores: Método Geométrico

Nesse exemplo acima estamos somando o vetor com o vetor , a vantagem desse método é podemos somar vários vetores e não só dois! 🤩

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Ahh, outra coisa! Pra subtrair os vetores é a mesma coisa só que nesse caso colocamos o vetor no sentido oposto!

Lei dos Cossenos

-Beleza, mas e agora…como eu faço a soma entre os vetores?! 😖

Percebeu que ali em cima a gente formou um triângulo!? Sabendo o ângulo entre os vetores podemos calcular o tamanho do vetor resultante através da lei dos cossenos:

Onde é o ângulo entre os vetores.

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Adição e Subtração de Vetores pelo Método do Paralelogramo

Podemos o método do paralelogramo quando queremos a soma de dois vetores. Diferente do outro método geométrico, colocamos os dois vetores originando do mesmo local. O vetor resultante será a diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores. Assim:

Método do Paralelogramo- Adição e Subtração de Vetores
Método do Paralelogramo- Adição e Subtração de Vetores

Pra esse caso, vamos usar uma fórmula um pouco diferente que a anterior. O ângulo entre os vetores agora não é o ângulo que forma o triângulo, mas sim o ângulo externo do triângulo. Assim teríamos o seguinte:

Substituindo na lei dos cossenos, temos:

Assim temos:

Regra do paralelogramo
Regra do paralelogramo

Propriedades dos Vetores

Além desses métodos, é importante saber algumas propriedades dos vetores:

  • Vetores são comutativos: ou seja, não importa você somar o primeiro e depois ou o segundo ou a ordem inversa. O resultado é sempre o mesmo
  • A soma vetorial é associativa: não importa qual par seja somado primeiro, o resultado é sempre o mesmo.
  • Se dois vetores quando somados resultam em , significa que um vetor é o negativo do outro

Agora vamos praticar com exercícios?!

Adição e Subtração de Vetores pelo Método do Paralelogramo

Propriedades dos Vetores

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um vetor com 7,0 unidades de comprimento e um vetor com 5,5 unidades de comprimento são somados. Sua soma é um vetor com 10,0   unidades de comprimento.

  1. Mostre graficamente pelo menos uma maneira pela qual esses vetores podem ser somados.
  2. Usando seu esboço da parte a), determine o ângulo entre os dois vetores originais.

Passo 1

Essa questão fala sobre a soma de dois vetores, sendo que uma das perguntas é em relação ao ângulo entre eles, certo? Usando essas duas informações, a gente lembra da fórmula da lei dos cossenos.

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → c o s ⁡ ( θ )

Passo 2

Alternativa a)

Passo 3

Usando a lei dos cossenos temos:

10 2 = 7 2 + 5,5 2 - 7 .   5 , 5 .   2 . cos ⁡ θ

100 = 49 + 30,25 - 77 cos ⁡ θ

C o s θ = - 20,75 77

C o s θ = -   0,26

θ ≅ 105 °

Resposta

b) 105 °

Exercício Resolvido #2

Quando dois vetores A e B são desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre eles é φ .

  1. Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por
  2. ( A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ φ )    

  3. Se A →   e B → possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de φ para que o módulo da soma de vetores seja igual ao módulo de A → ou de B → ?

Passo 1

A gente tem aqui que mostrar que a soma de dois vetores que saiam do mesmo ponto tenham módulo dado pela equação mostrada. Antes de mais nada vamos relembrar o que é o módulo da soma de dois vetores, se liga no desenho:

A resultante R é a soma dos dois vetores que partem do mesmo ponto, então o seu comprimento é o módulo desse vetor e é ele quem queremos mostrar que é dado pela equação.

Se lembra os modos que a gente aprendeu pra somar dois vetores? Então, essa fórmula ai é muito parecida com a lei dos cossenos, né?

R = ( A 2 + B 2 - 2 A B cos ⁡ φ )    

Então elas devem ter algo a ver.

A diferença ta no sinal do A B c o s ( ϕ ), né? Isso é porque esse ângulo se for comparado ao ângulo que deve ser usado na lei dos cossenos tem o mesmo valor do cosseno só que com o sinal invertido! Se liga só!

Na lei dos cossenos usamos o ângulo 180 - φ , mas podemos usar φ aplicando a seguinte relação:

C o s ( 180 - φ ) = - C o s ( φ )

Assim, quando eu substituir isso na equação das leis dos cossenos o ultimo termo fica positivo!!!

R = ( A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ φ )    

Passo 2

Letra b) Aqui é o seguinte precisamos encontrar o ângulo entre vetores iguais que façam com que o módulo da soma tenha o mesmo módulo de um dos vetores que são iguais. Então comecemos aqui igualando esses camaradas, já que é o que o enunciado nos fala.

A → = B →

Como ele fala que o módulo resultante da soma é o módulo de  A → ou B → , podemos substituir na equação.

A → = B → = C →  

Assim temos:

C → =   ( C → 2 + C → 2 + 2 C → C → cos ⁡ φ )

C 2 = C 2 + C 2 + 2 C 2 cos ⁡ φ

2 C 2 c o s φ = - C 2

cos ⁡ φ =   - 1 2

Assim temos:

φ = 120 °

Resposta

φ = 120 °

Exercício Resolvido #3

Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz dois deslocamentos rápidos de 1,8 m e 2,4 m . Usando diagramas (aproximadamente em escala), mostre como esses deslocamentos deveriam ser efetuados para que a resultante tivesse módulo igual a:

  1. 4,2 m
  2. 0,6 m
  3. 3,0 m

Passo 1

Para definir como esses deslocamentos são feitos, vamos usar o ângulo θ entre os dois vetores A → e B → (assumindo que um começa onde o outro termina).

Passo 2

Alternativa a) 4,2 m

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → c o s ⁡ ( θ )

4,2 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ A )

cos ⁡ θ A = - 1

Assim:

θ A = 180 °

Passo 3

Alternativa b) 0,6 m

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → c o s ⁡ ( θ )

0.6 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ B )

cos ⁡ θ B = 1

Assim:

θ B = 0 °

Passo 4

Alternativa c) 3,0 m

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → c o s ⁡ ( θ )

3,0 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ C )

cos ⁡ θ C = 0

Bom, repara que temos dois ângulos possíveis para θ C .

Tanto o ângulo 90 ° quanto o ângulo 270 ° têm cosseno igual a zero:

Mas como o enunciado não especifica exatamente a direção dos deslocamentos, dando apenas uma condição de deslocamento resultante, vamos escolher o menor dos ângulos:

θ C = 90 °

Porém, repara que os ângulos somam 360 ° (uma volta completa). Portanto, ao escolhermos um dos ângulos, o outro vai aparecer da mesma maneira:

Resposta

a) 180 °

b) 0 °

c) 90 °

Exercício Resolvido #4

Os dois vetores A → e B → são desenhados a partir de um mesmo ponto e C → = A → + B → .

  1. Mostre que quando C 2 = A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A → e B → é 90 ° .
  2. Mostre que quando C 2 < A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A → e B → é maior do que 90 ° .
  3. Mostre que quando C 2 > A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A → e B → está compreendido entre 0 ° e 90 ° .

Considere somente ângulos entre 0 º e 180 º .

Passo 1

Nessa questão estamos trabalhando com soma de vetores e o ângulo entre eles. Tudo tranquilo até aqui? Se liga nesse desenho aqui que ele vai ajudar a gente a entender o método de soma de veteores que será usado.

Se lembra que tínhamos dois tipos de soma? A pelo método do paralelogramo e o método geométrico? Aqui vamos usar o método do paralelogramo, pois ele falou que eles partem do mesmo ponto.

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ

E no enunciado foi dado o ângulo entre os vetores θ , que como podemos ver no desenho acima é o mesmo ângulo externo do paralelogramo que é o ângulo usado na fórmula!

Passo 2

Analisando a equação percebemos que o que está mudando de uma letra pra outra é o ângulo Por isso, vamos analisar o c o s ⁡ ( θ ) . Pelo círculo trigonométrico sabemos que o cosseno nesse intervalo varia de 1 até -1.

Passo 3

Letra a) Quando temos C 2 = A 2 + B 2 , temo s o seguinte:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ

2 A B cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = 0

Logo:

θ = 90 ° o u   270 °

Mas como o ângulo precisa estar entre 0 e 180 º , teremos:

θ = 90 º

Passo 4

Letra b)

Quando temos C 2 < A 2 + B 2 , achamos que:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ

A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ < A 2 + B 2

2 A B cos ⁡ θ < 0

cos ⁡ θ < 0

Se o cosseno do ângulo varia de - 1   até 1 mas nesse caso deve ser menor que 0 temos os seguintes limites pro cosseno.

- 1 ≤ cos ⁡ θ < 0

Pelo intervalo analisado só podemos ter valores negativos de cosseno menores que 0. Essa variação de cosseno pode ser visualizada melhor usando o circulo trigonométrico.

Através do círculo podemos ver que o cosseno tem valor 0 quando for 90 ° e vale - 1 quando for 180 º , e dentro desse intervalo é negativo.

Logo, provamos que

90 ° < θ < 18 0 °

Passo 5

Letra c)

Quando temos C 2 > A 2 + B 2 , achamos que:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ θ > A 2 + B 2

2 A B cos ⁡ θ > 0

cos ⁡ θ > 0

Analisando novamente o círculo podemos ver que o cosseno é positivo no intervalo dado:

Aonde vemos o cosseno do ângulo θ vale 1 para θ = 0 e 0 para θ = 90 º , sendo positivo nesse intervalo:

0 < θ < 90 °

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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