Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos

Teoria Completa

Agora que já sabemos o que são vetores precisamos saber como vamos trabalhar com eles.

Para somar vetores existem dois métodos: método geométrico e o método do paralelogramo

Método geométrico

Esse método é bom quando queremos somar vetores independentes do número. A ideia é colocar o inicio de um vetor no final do outro, como se fosse um continuando o caminho do outro.

O vetor resultante dessa soma vai ser o vetor que começa na origem do primeiro vetor até o final do último vetor. Olha o exemplo que eu peguei aqui pra tu!

Po, mas e se eu quiser saber quanto esse vetor resultante vale?

Percebeu que ali no meio a gente fez um triângulo bonitinho? Sabendo o ângulo entre os vetores podemos calcular o tamanho do vetor resultante através da lei dos cossenos.

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → cos ⁡ θ

Onde θ   é   o   â n g u l o   e n t r e   o s   v e t o r e s .

Método do paralelogramo

Podemos usar esse método quando queremos a soma de dois vetores. Diferente do outro método, colocamos os dois vetores originando do mesmo local. O vetor resultante será a diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores.

Bom, pra esse caso, vamos usar uma fórmula um pouco diferente que a anterior. O ângulo entre os vetores agora não é o ângulo que forma o triângulo, mas sim o ângulo externo do triângulo. Assim teríamos o seguinte:

C o s θ = C o s 180 ° - θ e x t e r n o = C o s 180 ° C o s θ e x t e r n o + S e n 180 ° S e n θ e x t e r n o

C o s θ = - C o s θ e x t e r n o

Substituindo na equação original ficamos com:

C → 2 = A → 2 + B → 2 + 2 A → B → cos ⁡ θ e x t e r n o

Propriedades dos vetores

Além desses métodos, é importante saber algumas propriedades dos vetores:

  • Vetores são comutativos, ou seja, não importa você somar o primeiro e depois ou o segundo ou a ordem inversa. O resultado é sempre o mesmo
  • Mas e subtrair? Você não falou nada! Então, subtrair um vetor é a mesma coisa que somar ele com o sentido oposto.
  • A soma vetorial é associativa, não importa qual par seja somado primeiro, o resultado é sempre o mesmo.
  • Se dois vetores quando somados resultam em 0 , significa que um vetor é o negativo do outro
Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 24– 52.

Um vetor com 7,0 unidades de comprimento e um vetor com 5,5 unidades de comprimento são somados. Sua soma é um vetor com 10,0   unidades de comprimento.

  1. Mostre graficamente pelo menos uma maneira pela qual esses vetores podem ser somados.
  2. Usando seu esboço da parte a), determine o ângulo entre os dois vetores originais.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa questão fala sobre a soma de dois vetores, sendo que uma das perguntas é em relação ao ângulo entre eles, certo? Usando essas duas informações, a gente lembra da fórmula da lei dos cossenos.

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → c o s ⁡ ( θ )

Passo 2

Alternativa a)

Passo 3

Usando a lei dos cossenos temos:

10 2 = 7 2 + 5,5 2 - 7 .   5 , 5 .   2 . cos ⁡ θ

100 = 49 + 30,25 - 77 cos ⁡ θ

C o s θ = - 20,75 77

C o s θ = -   0,26

θ ≅ 105 °

Resposta

b) 105 °

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 33 – 1.92.

Quando dois vetores A e B são desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre eles é φ .

  1. Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por
  2. ( A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ φ )    

  3. Se A →   e B → possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de φ para que o módulo da soma de vetores seja igual ao módulo de A → ou de B → ?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A gente tem aqui que mostrar que a soma de dois vetores que saiam do mesmo ponto tenham módulo dado pela equação mostrada. Antes de mais nada vamos relembrar o que é o módulo da soma de dois vetores, se liga no desenho:

A resultante R é a soma dos dois vetores que partem do mesmo ponto, então o seu comprimento é o módulo desse vetor e é ele quem queremos mostrar que é dado pela equação.

Se lembra os modos que a gente aprendeu pra somar dois vetores? Então, essa fórmula ai é muito parecida com a lei dos cossenos, né?

R = ( A 2 + B 2 - 2 A B cos ⁡ φ )    

Então elas devem ter algo a ver.

A diferença ta no sinal do A B c o s ( ϕ ), né? Isso é porque esse ângulo se for comparado ao ângulo que deve ser usado na lei dos cossenos tem o mesmo valor do cosseno só que com o sinal invertido! Se liga só!

Na lei dos cossenos usamos o ângulo 180 - φ , mas podemos usar φ aplicando a seguinte relação:

C o s ( 180 - φ ) = - C o s ( φ )

Assim, quando eu substituir isso na equação das leis dos cossenos o ultimo termo fica positivo!!!

R = ( A 2 + B 2 + 2 A B cos ⁡ φ )    

Passo 2

Letra b) Aqui é o seguinte precisamos encontrar o ângulo entre vetores iguais que façam com que o módulo da soma tenha o mesmo módulo de um dos vetores que são iguais. Então comecemos aqui igualando esses camaradas, já que é o que o enunciado nos fala.

A → = B →

Como ele fala que o módulo resultante da soma é o módulo de  A → ou B → , podemos substituir na equação.

A → = B → = C →  

Assim temos:

C → =   ( C → 2 + C → 2 + 2 C → C → cos ⁡ φ )

C 2 = C 2 + C 2 + 2 C 2 cos ⁡ φ

2 C 2 c o s φ = - C 2

cos ⁡ φ =   - 1 2

Assim temos:

φ = 120 °

Resposta

φ = 120 °

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 29 – ex1.30.

Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz dois deslocamentos rápidos de 1,8 m e 2,4 m . Usando diagramas (aproximadamente em escala), mostre como esses deslocamentos deveriam ser efetuados para que a resultante tivesse módulo igual a:

  1. 4,2 m
  2. 0,6 m
  3. 3,0 m
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para definir como esses deslocamentos são feitos, vamos usar o ângulo θ entre os dois vetores A → e B → (assumindo que um começa onde o outro termina).

Passo 2

Alternativa a) 4,2 m

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → c o s ⁡ ( θ )

4,2 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ A )

cos ⁡ θ A = - 1

Assim:

θ A = 180 °

Passo 3

Alternativa b) 0,6 m

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → c o s ⁡ ( θ )

0.6 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ B )

cos ⁡ θ B = 1

Assim:

θ B = 0 °

Passo 4

Alternativa c) 3,0 m

C → 2 = A → 2 + B → 2 - 2 A → B → c o s ⁡ ( θ )

3,0 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ C )

cos ⁡ θ C = 0

Bom, repara que temos dois ângulos possíveis para θ C .

Tanto o ângulo 90 ° quanto o ângulo 270 ° têm cosseno igual a zero:

Mas como o enunciado não especifica exatamente a direção dos deslocamentos, dando apenas uma condição de deslocamento resultante, vamos escolher o menor dos ângulos:

θ C = 90 °