Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos

Teoria Completa

Agora que já sabemos o que são vetores precisamos saber como vamos trabalhar com eles.

Para somar vetores existem dois métodos: método geométrico e o método do paralelogramo

Método geométrico

Esse método é bom quando queremos somar vetores independentes do número. A ideia é colocar o inicio de um vetor no final do outro, como se fosse um continuando o caminho do outro.

O vetor resultante dessa soma vai ser o vetor que começa na origem do primeiro vetor até o final do último vetor. Olha o exemplo que eu peguei aqui pra tu!

Po, mas e se eu quiser saber quanto esse vetor resultante vale?

Percebeu que ali no meio a gente fez um triângulo bonitinho? Sabendo o ângulo entre os vetores podemos calcular o tamanho do vetor resultante através da lei dos cossenos.

C 2 = A 2 + B 2 - 2 A B cos θ

Onde θ   é   o   â n g u l o   e n t r e   o s   v e t o r e s .

Método do paralelogramo

Podemos usar esse método quando queremos a soma de dois vetores. Diferente do outro método, colocamos os dois vetores originando do mesmo local. O vetor resultante será a diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores.

Bom, pra esse caso, vamos usar uma fórmula um pouco diferente que a anterior. O ângulo entre os vetores agora não é o ângulo que forma o triângulo, mas sim o ângulo externo do triângulo. Assim teríamos o seguinte:

C o s θ = C o s 180 ° - θ e x t e r n o = C o s 180 ° C o s θ e x t e r n o + S e n 180 ° S e n θ e x t e r n o

C o s θ = - C o s θ e x t e r n o

Substituindo na equação original ficamos com:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos θ e x t e r n o

Propriedades dos vetores

Além desses métodos, é importante saber algumas propriedades dos vetores:

  • Vetores são comutativos, ou seja, não importa você somar o primeiro e depois ou o segundo ou a ordem inversa. O resultado é sempre o mesmo
  • Mas e subtrair? Você não falou nada! Então, subtrair um vetor é a mesma coisa que somar ele com o sentido oposto.
  • A soma vetorial é associativa, não importa qual par seja somado primeiro, o resultado é sempre o mesmo.
  • Se dois vetores quando somados resultam em 0 , significa que um vetor é o negativo do outro
Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 24– 52.

Um vetor com 7,0 unidades de comprimento e um vetor com 5,5 unidades de comprimento são somados. Sua soma é um vetor com 10,0   unidades de comprimento.

  1. Mostre graficamente pelo menos uma maneira pela qual esses vetores podem ser somados.
  2. Usando seu esboço da parte a), determine o ângulo entre os dois vetores originais.
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Passo 1

Essa questão fala sobre a soma de dois vetores, sendo que uma das perguntas é em relação ao ângulo entre eles, certo? Usando essas duas informações, a gente lembra da fórmula da lei dos cossenos.

C 2 = A 2 + B 2 - 2 A B c o s ( θ )

Passo 2

Alternativa a)

Passo 3

Usando a lei dos cossenos temos:

10 2 = 7 2 + 5,5 2 - 7 .   5 , 5 .   2 . cos θ

100 = 49 + 30,25 - 77 cos θ

C o s θ = - 20,75 77

C o s θ = -   0,26

θ 105 °

Resposta

b) 105 °

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 33 – 1.92.

Quando dois vetores A e B são desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre eles é φ .

  1. Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por
  2. ( A 2 + B 2 + 2 A B cos φ )    

  3. Se A   e B possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de φ para que o módulo da soma de vetores seja igual ao módulo de A ou de B ?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se lembra os modos que a gente aprendeu pra somar dois vetores? Então, essa fórmula ai é muito parecida com a lei dos cossenos, né? Então deve ter algo a ver!!

A diferença ta no sinal do A B c o s ( θ ), né? Isso é porque esse ângulo se for comparado ao ângulo que deve ser usado na lei dos cossenos tem o mesmo valor do cosseno só que com o sinal invertido! Se liga só!

O θ   que ta ali que entra na lei dos cossenos, só que o ângulo entre os vetores tem a seguinte relação.

C o s θ = - C o s ( θ e x t e r n o )

Assim, quando eu substituir isso na equação das leis dos cossenos o ultimo termo fica positivo!!!

( A 2 + B 2 + 2 A B cos φ )    

Passo 2

Retirando as informações do enunciado temos:

A = B

Como ele fala que o módulo resultante da soma é o módulo de  A ou B , podemos substituir na equação.

A = B = C  

Assim temos:

C =   ( C 2 + C 2 + 2 C C cos φ )

C 2 = C 2 + C 2 + 2 C 2 cos φ

2 C 2 c o s φ = - C 2

cos φ =   - 1 2

Assim temos:

φ = 120 °

Resposta

φ = 120 °

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 29 – ex1.30.

Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz dois deslocamentos rápidos de 1,8 m e 2,4 m . Usando diagramas (aproximadamente em escala), mostre como esses deslocamentos deveriam ser efetuados para que a resultante tivesse módulo igual a:

  1. 4,2 m
  2. 0,6 m
  3. 3,0 m
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para definir como esses deslocamentos são feitos, vamos usar o ângulo θ entre os dois vetores A e B (assumindo que um começa onde o outro termina).

Passo 2

Alternativa a) 4,2 m

C 2 = A 2 + B 2 - 2 A B c o s ( θ )

4,2 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ A )

cos θ A = - 1

Assim:

θ A = 180 °

Passo 3

Alternativa b) 0,6 m

C 2 = A 2 + B 2 - 2 A B c o s ( θ )

0.6 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ B )

cos θ B = 1

Assim:

θ B = 0 °

Passo 4

Alternativa c) 3,0 m

C 2 = A 2 + B 2 - 2 A B c o s ( θ )

3,0 2 = 2,4 2 + 1,8 2 - 2 . 2,4 . 1,8 . c o s ( θ C )

cos θ C = 0

Bom, repara que temos dois ângulos possíveis para θ C .

Tanto o ângulo 90 ° quanto o ângulo 270 ° têm cosseno igual a zero:

Mas como o enunciado não especifica exatamente a direção dos deslocamentos, dando apenas uma condição de deslocamento resultante, vamos escolher o menor dos ângulos:

θ C = 90 °

Porém, repara que os ângulos somam 360 ° (uma volta completa). Portanto, ao escolhermos um dos ângulos, o outro vai aparecer da mesma maneira:

Resposta

a) 180 °

b) 0 °

c) 90 °

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 33 –1.91.

Os dois vetores A e B são desenhados a partir de um mesmo ponto e C = A + B .

  1. Mostre que quando C 2 = A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A e B é 90 ° .
  2. Mostre que quando C 2 < A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A e B é maior do que 90 ° .
  3. Mostre que quando C 2 > A 2 + B 2 , o ângulo entre os vetores A e B está compreendido entre 0 ° e 90 ° .

Considere somente ângulos entre 0 º e 360 º .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nessa questão estamos trabalhando com soma de vetores e o ângulo entre eles. Tudo tranquilo até aqui?

Se lembra que tínhamos dois tipos de soma? A pelo método do paralelogramo e o método geométrico? Aqui vamos usar o método do paralelogramo, pois ele falou que eles partem do mesmo ponto.

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos θ

Passo 2

Analisando a equação percebemos que o que está mudando de uma alternativa pra outra é o ângulo (que varia de 0   a   180 ° ). Por isso, vamos analisar o c o s ( θ ) .

Passo 3

Alternativa a)

Quando temos C 2 = A 2 + B 2 , achamos que:

C 2 = A 2 + B 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos θ

2 A B cos θ = 0

cos θ = 0

Logo:

θ = 90 °

Passo 4

Alternativa b)

Quando temos C 2 < A 2 + B 2 , achamos que:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos θ < A 2 + B 2

2 A B cos θ < 0

cos θ < 0

Logo:

90 ° < θ < 270 °

Passo 5

Alternativa c)

Quando temos C 2 > A 2 + B 2 , achamos que:

C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos θ > A 2 + B 2

2 A B cos θ > 0

cos θ > 0

Logo:

- 90 ° < θ < 90 °

Isso significa que quando 0 < θ < 90 º o vetor B está acima do vetor A e quando - 90 º < θ < 0 o vetor B está abaixo do vetor A , ou seja, podemos dizer que

θ < 90 º

Que é o ângulo entre os dois vetores não levando em conta a orientação!

Resposta

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