Adição, Subtração de Vetores e Lei dos Cossenos
Teoria
Agora que já sabemos o que são vetores precisamos saber como vamos trabalhar com eles.
Para somar vetores existem dois métodos: método geométrico e o método do paralelogramo
Método geométrico
Esse método é bom quando queremos somar vetores independentes do número. A ideia é colocar o inicio de um vetor no final do outro, como se fosse um continuando o caminho do outro.
O vetor resultante dessa soma vai ser o vetor que começa na origem do primeiro vetor até o final do último vetor. Olha o exemplo que eu peguei aqui pra tu!
Po, mas e se eu quiser saber quanto esse vetor resultante vale?
Percebeu que ali no meio a gente fez um triângulo bonitinho? Sabendo o ângulo entre os vetores podemos calcular o tamanho do vetor resultante através da lei dos cossenos.
Onde .
Método do paralelogramo
Podemos usar esse método quando queremos a soma de dois vetores. Diferente do outro método, colocamos os dois vetores originando do mesmo local. O vetor resultante será a diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores.
Bom, pra esse caso, vamos usar uma fórmula um pouco diferente que a anterior. O ângulo entre os vetores agora não é o ângulo que forma o triângulo, mas sim o ângulo externo do triângulo. Assim teríamos o seguinte:
Substituindo na equação original ficamos com:
Propriedades dos vetores
Além desses métodos, é importante saber algumas propriedades dos vetores:
- Vetores são comutativos, ou seja, não importa você somar o primeiro e depois ou o segundo ou a ordem inversa. O resultado é sempre o mesmo
- Mas e subtrair? Você não falou nada! Então, subtrair um vetor é a mesma coisa que somar ele com o sentido oposto.
- A soma vetorial é associativa, não importa qual par seja somado primeiro, o resultado é sempre o mesmo.
- Se dois vetores quando somados resultam em , significa que um vetor é o negativo do outro
Método do paralelogramo
Propriedades dos vetores
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 24– 52.
Um vetor com unidades de comprimento e um vetor com unidades de comprimento são somados. Sua soma é um vetor com unidades de comprimento.
- Mostre graficamente pelo menos uma maneira pela qual esses vetores podem ser somados.
- Usando seu esboço da parte a), determine o ângulo entre os dois vetores originais.
Passo 1
Essa questão fala sobre a soma de dois vetores, sendo que uma das perguntas é em relação ao ângulo entre eles, certo? Usando essas duas informações, a gente lembra da fórmula da lei dos cossenos.
Passo 2
Alternativa a)
Passo 3
Usando a lei dos cossenos temos:
Resposta
b)
Exercício Resolvido #2
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 33 – 1.92.
Quando dois vetores e são desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre eles é .
- Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por
- Se e possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de para que o módulo da soma de vetores seja igual ao módulo de ou de ?
Passo 1
A gente tem aqui que mostrar que a soma de dois vetores que saiam do mesmo ponto tenham módulo dado pela equação mostrada. Antes de mais nada vamos relembrar o que é o módulo da soma de dois vetores, se liga no desenho:
A resultante é a soma dos dois vetores que partem do mesmo ponto, então o seu comprimento é o módulo desse vetor e é ele quem queremos mostrar que é dado pela equação.
Se lembra os modos que a gente aprendeu pra somar dois vetores? Então, essa fórmula ai é muito parecida com a lei dos cossenos, né?
Então elas devem ter algo a ver.
A diferença ta no sinal do ), né? Isso é porque esse ângulo se for comparado ao ângulo que deve ser usado na lei dos cossenos tem o mesmo valor do cosseno só que com o sinal invertido! Se liga só!
Na lei dos cossenos usamos o ângulo , mas podemos usar aplicando a seguinte relação:
Assim, quando eu substituir isso na equação das leis dos cossenos o ultimo termo fica positivo!!!
Passo 2
Letra b) Aqui é o seguinte precisamos encontrar o ângulo entre vetores iguais que façam com que o módulo da soma tenha o mesmo módulo de um dos vetores que são iguais. Então comecemos aqui igualando esses camaradas, já que é o que o enunciado nos fala.
Como ele fala que o módulo resultante da soma é o módulo de ou , podemos substituir na equação.
Assim temos:
Assim temos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 29 – ex1.30.
Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz dois deslocamentos rápidos de e . Usando diagramas (aproximadamente em escala), mostre como esses deslocamentos deveriam ser efetuados para que a resultante tivesse módulo igual a:
Passo 1
Para definir como esses deslocamentos são feitos, vamos usar o ângulo entre os dois vetores e (assumindo que um começa onde o outro termina).
Passo 2
Alternativa a)
Assim:
Passo 3
Alternativa b)
Assim:
Passo 4
Alternativa c)
Bom, repara que temos dois ângulos possíveis para .
Tanto o ângulo quanto o ângulo têm cosseno igual a zero:
Mas como o enunciado não especifica exatamente a direção dos deslocamentos, dando apenas uma condição de deslocamento resultante, vamos escolher o menor dos ângulos:
Porém, repara que os ângulos somam (uma volta completa). Portanto, ao escolhermos um dos ângulos, o outro vai aparecer da mesma maneira:
Resposta
a)
b)
c)
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