Força e Campo Gravitacional

Teoria Completa

Você já parou para pensar como pode a Lua ficar rodando em volta da terra dia e noite, dia e noite? Ou melhor, como podem os 8 planetas do sistema solar, rodarem em volta do sol em círculos quase perfeitos?

Quem pensou muito nisso e até descobriu algumas fórmulas para descrever esse movimento foi Sir Isaac Newton, um dos grandes gênios da física.

Uma fórmula específica para a lei da gravitação

Newton propôs que todos os objetos do universo atraem uns aos outros através de uma força.

A lei da gravitação universal diz que entre dois corpos de massa M e m vai existir uma força gravitacional, cujo módulo pode ser calculado através da fórmula:

F = G M m R 2

Onde:

R : a distância entre os corpos de massa M e m ;

G : constante gravitacional, cujo valor é 6,67   .   10 - 11 N m 2 / k g 2 ;

É importante notar que a força gravitacional é:

  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os objetos; ou seja, quanto mais afastados os objetos estão menor será essa força
  • Diretamente proporcional ao produto das massas dos dois objetos; ou seja, quanto maior o produto das massas maior vai ser essa força

Assim como todas as forças, a força gravitacional é um vetor e por isso possui um módulo, uma direção e um sentido.

Para saber a direção e o sentido, basta lembrarmos que a força gravitacional entre duas partículas atua sempre ao longo da linha que une as duas partículas e é SEMPRE atrativa!

Na forma vetorial, podemos escrever que a força gravitacional que o corpo de massa M exerce no corpo de massa m :

F → = G M m R 2 r ^

Onde r ^ é o vetor unitário que aponta para dentro do corpo de massa M .

Uma dúvida que pode surgir quando introduzimos a ideia da força gravitacional é: por que não usamos essa fórmula em corpos aqui na superfície da Terra?

Simples, saca só esse exemplo.

Sejam duas pessoas de massa 70   k g distanciadas de 1   m , qual deve ser o valor da força que age sobre elas?

F = G M m R 2 → 6,67   .   10 - 11   .   70   .   70 1 2 = 3,26   .   10 - 7   N

Sem chance, né? Você nunca iria perceber uma força dessa magnitude!

Força gravitacional em corpos esféricos

Em muitos exemplos, consideraremos os corpos celestes esféricos.

No entanto, devemos lembrar que nesses tipos de corpos, podemos considerar que toda a massa da esfera está localizada no centro de massa. Mas como assim?

Vamos ver um exemplo.

Qual a magnitude da força gravitacional exercida pela esfera 1 (massa 100   k g , raio 1   m ) e a esfera 2 (massa 50   k g , raio 3   m ) quando as suas superfícies estão distantes de 2   m ?

Vamos desenhar:

Temos os valores de M e m , mas precisamos saber qual valor de R usaremos, certo? Como foi dito, concentraremos a massa da esfera no centro da mesma, e a distância R será a distância entre os centros:

R = 3 + 2 + 1 = 6   m

Aplicando a fórmula:

F = 6,67   .   10 - 11   .     50   .   100 6 2 = 9,26   .   10 - 9   N

Campo gravitacional

Outro conceito que é muito citado em exercícios é o de campo gravitacional ou aceleração gravitacional. Não é nenhum bicho de 7 cabeças, se liga.

Imagina que uma massa M exerce uma força gravitacional F em uma massa m distante r dela. A fórmula que relaciona essas variáveis é:

F = G M m r 2

Usando a segunda lei de Newton, temos que:

F = m a

Igualando as equações, temos:

m a = G M m r 2 → a = G M r 2

Essa aceleração a , quando analisada na forma de um campo vetorial, é chamada de campo gravitacional e é normalmente expressa pela letra g . Ou seja, podemos descobrir qual a aceleração da gravidade de um planeta através da lei da gravitação universal:

g → = G M r 2   r ^

Onde r ^ é o vetor unitário que aponta para dentro do corpo de massa M .

Aqui na Terra, conseguimos saber o valor de g (gravidade) usando a seguinte fórmula:

g = G M T R T 2

Onde:

  • M T : Massa da Terra, igual a 5,98   .   10 24   k g ;
  • R T : Raio da Terra, igual a 6,38   .   10 6   m .

E, substituindo os dados:

g = 6,67   .   10 - 11   .   5,98   .   10 24 6,38.10 6 2 = 9,8   m / s 2

Você pode perceber que a aceleração da gravidade na superfície é altamente dependente de qual planeta estamos falando, já que essa depende do raio e da massa do planeta.

Mas o que faríamos então para descobrir a gravidade em outro planeta?

Simples! O enunciado vai te dizer os valores do raio e da massa e você vai substituir na fórmula.

E o que acontece se tivermos que calcular o campo gravitacional em um corpo esférico não maciço?

Imagine o seguinte:

Seja uma esfera de densidade volumétrica de massa ρ e raio R , com uma cavidade esférica de raio a com centro distando d do centro da esfera. Calcule o campo gravitacional a uma distância r do centro da esfera e r ' do centro da cavidade.

Vamos começar, como sempre, desenhando.

Seja g 1 → o campo gravitacional gerado pela esfera de raio R inteira, sem a cavidade. O cálculo dele é simples:

g 1 → = G M r 2   r ^

Sabemos que:

ρ = M V

Como a esfera possuí densidade homogênea, podemos escrever:

M = ρ V = 4 π R 3 ρ 3

Substituindo isso na fórmula da gravidade dessa esfera:

g 1 → = 4 π R 3 ρ G 3 r 2   r ^

Agora temos que dar um jeito de saber como aquela cavidade age no campo gravitacional.

O que vamos fazer é simples: vamos supor que exista uma esfera onde existe a cavidade de raio a e com a mesma densidade ρ . O campo gravitacional gerado por ela, em um ponto distante r ' do seu centro seria:

g 2 → = G M ' r ' 2

Aí que tá! Consideraremos que essa esfera que a gente tá dizendo que existe no lugar da cavidade tem massa negativa, porque ela não vai gerar força gravitacional, saca?:

M ' = - ρ V ' = - 4 π a 3 ρ 3

Então:

g 2 → = - 4 π a 3 ρ G 3 r ' 2   r ' ^

Para obtermos o campo total g → basta somarmos g 1 → e g 2 → :

g → = 4 π ρ G 3 R 3 r 2 r ^ - a 3 r ' 2 r ' ^

Beleza, agora bora praticar!

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Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, p. 28 ex. 4

Duas esferas uniforme, cada uma com massa M e raio R , estão em contato. Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre elas?

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Passo 1

Aprendemos a concentrar toda a massa de esferas em seus centros, portanto, o problema se transformaria em duas cargas pontuais de massa M , e com uma distância 2 R uma da outra.

Aplicando a fórmula da força gravitacional, temos:

F = G M 2 2 R 2 → F = G M 2 4 R 2

Resposta

F = G M 2 4 R 2

Exercício Resolvido #2

UFRJ-PF-2015.1-ME7

Duas partículas, cada uma de massa m , separadas por uma distância d interagem com força gravitacional de módulo F . Duas outras partículas, cada uma de massa 2 m , separadas por uma distância 2 d interagem com força gravitacional de módulo

(a)   F

(b) F / 4

(c) F / 2

(d) 2 F

(e) 4 F

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Passo 1

A fórmula geral da força gravitacional entre 2 partículas de massa M e m que são separadas por uma distância R é:

F g r a v = G M m R 2 ,

onde G é a constante gravitacional.

Passo 2

Então, já que as duas primeiras partículas têm massa m e são separadas por uma distância d , o módulo da força gravitacional F entre elas é:

F = G m 2 d 2

Passo 3

Sendo F ' o módulo da força gravitacional entre as partículas de massa 2 m separadas por uma distância 2 d , temos: F ' = G 2 m 2 2 d 2 = 4 G m 2 4 d 2 = G m 2 d 2 = F

É o mesmo que pras outras partículas!

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #3

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 1, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 393 – Pare e Pense 13.3

Um planeta tem massa quatro vezes maior do que a da Terra, mas a aceleração da gravidade em sua superfície é a mesma que na superfície da Terra. O raio do planeta é:

  1. 4 R T
  2. 2 R T
  3. R T
  4. 1 2 R T
  5. 1 4 R T
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Passo 1

Podemos assumir direto a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, mas se ainda não está decorado, vamos deduzi-la de acordo com a fórmula da gravidade (esta é a mais importante!).

F T = m g

F g = G M m R 2

F T = F g

m g = G M m R 2

g = G M R 2

Passo 2

Tendo, agora, a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, basta aplicarmos os valores dados no enunciado.

Para a Terra:

g = G M T R T 2

Para o planeta:

g = G 4 M T R 2

Igualando as fórmulas, visto que a gravidade é a mesma, temos:

G M T R T 2 = G 4 M T R 2

R 2 = 4 R T 2

R = 2 R T

Resposta

Letra b)

Exercício Resolvido #4

Lista 11, questão 2 – Gravitação, Universidade Federal Fluminense, 2014

Sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 9,8 m / s 2 , desprezando o efeito da latitude, qual deve ser a altura acima da superfície terrestre na qual a aceleração da gravidade é igual a 9,00 m / s 2 ?

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Passo 1

Normalmente o enunciado diz o valor da massa e do raio da Terra, e o valor da constante gravitacional. Pois bem, assumiremos os valores:

G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2

M = 5,98 ∙ 10 24 k g

R = 6,37 ∙ 10 6 m

g = G M R 2 = 9,8

Quando estamos a uma distância h   da superfície da terra a aceleração da gravidade será g ' = 9,00 m / s 2 .

Com isto, para achar a distância acima da superfície da Terra basta assumirmos um “crescimento” do raio:

g ' = G M ( R + h ) 2

Passo 2

Agora, vamos fazer as contas!

Botando o R em evidencia no denominador, temos:

g ' = G M R 1 + h R 2 ⇒

g ' = G M R 2 1 + h R 2

Mas sabemos que G M / R 2 = g , é a gravidade no superfície da Terra então,

g ' = g 1 + h R 2

Agora temos que isolar h . Multiplicando cruzado

g ' 1 + h R 2 = g

1 + h R 2 = g g '

Tirando a raiz quadrada

1 + h R = g g ' → h R = g g ' - 1

h = R g g ' - 1

Substituindo os valores

h = 6,37 ∙ 10 6 9,8 9,00 - 1 = 6,37 ∙ 10 6 1,0435 - 1

h = 6,37 ∙ 10 6 ∙ 0,04

h = 254   800   m

h = 254,8   K m

Resposta

h = 254,8   K m

Exercício Resolvido #5

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 397 ex. 7

Na superfície da Lua, a aceleração da gravidade vale a . A uma distância do centro da Lua igual a quatro vezes o raio da Lua, a aceleração da gravidade vale:

  1. 16 a
  2. a / 4
  3. a / 3
  4. a / 16
  5. Nenhuma dessas respostas
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Passo 1

Sabemos que a fórmula que temos que usar para encontrar a aceleração da gravidade é:

g = G M R 2

Portanto, pelo enunciado, temos:

a = G M R l 2  

E para encontrar o que queremos, temos que usar que:

r = 4 R l

E então:

a ' = G M 4 R l 2

Simplificando:

a ' = a 16

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Você foi contratado por uma agência espacial para estudar sobre um novo planeta recém descoberto, e sua primeira função é calcular a gravidade na superfície do planeta. Já é conhecida sua massa de 8,3 ∙ 10 24 k g e seu raio de 7,28 ∙ 10 6 m . De acordo com seus cálculos, qual é o valor da gravidade em questão?

Dado: G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2

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Passo 1

O primeiro passo é ficar muito feliz! Ser contratado para trabalhar numa agência espacial é de um reconhecimento ímpar! E uma conta bancária par, né rs.

Passo 2

Vamos lá, já nos foi dado a massa, o raio e a constante gravitacional. Podemos aplicar diretamente na fórmula da gravidade na superfície de um planeta qualquer, mas vamos deduzí-la mais uma vez para você nunca mais esquecer.

Para dar uma lembrada, primeiro usamos a força convencional de atração de um corpo, a força peso.

F p l a n e t a = m g

Em seguida, usamos a força gravitacional de atração de um corpo.

F g r a v i t a c i o n a l = G M m R 2

E como elas são a mesma força calculada de forma diferente, basta igualá-las.

m g = G M m R 2

g = G M R 2

Passo 3

Pronto, agora podemos substituir os valores dados na questão:

g = 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 8,3 ∙ 10 24 7,28 ∙ 10 6 2

g = 10 m / s 2

Resposta

g = 10 m / s 2

Exercício Resolvido #7

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 63

Uma partícula pontual de massa m está sobre o eixo x em x = L e uma partícula idêntica está sobre o eixo y em y = L . (a) Qual é a orientação do campo gravitacional da origem? (b) Qual é a magnitude deste campo?

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Passo 1

Vamos desenhar o problema:

A força que atua na origem do sistema é a resultante da soma vetorial dos campos gerados por cada partícula.

Como indicado na figura, e utilizando a fórmula do campo gravitacional:

g → = G m L 2   i ^ + G m L 2   j ^   N / k g

Passo 2

Para saber o ângulo, basta calcularmos a tangente:

t g θ = G m L 2 G m L 2 = 1

Como tanto o seno quanto o cosseno são negativos, temos que:

  θ = 4 5 °

Passo 3

Calculando o módulo:

g → = G m L 2 2 + G m L 2 2 = G m 2 L 2   N / k g

Resposta

  1.   θ = 4 5 °
  2. g → = G m 2 L 2   N / k g

Exercício Resolvido #8

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 27

Duas esferas uniformes, cada uma com massa igual a 0,260   k g , estão fixas nos pontos A e B . Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração inicial de uma esfera uniforme com massa 0,010   k g quando ela é liberada do repouso no ponto P e sofrendo apenas atrações gravitacionais das esferas situadas em A e B .

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Passo 1

A massa da esfera que está no ponto P não vai interferir, porque? Lembra que a aceleração da gravidade é

g = G M R 2

Basta assumirmos R sendo a distância entre as esferas, e M sendo a massa da esfera verde e pronto temos as acelerações do ponto P . Pois bem, assumiremos os valores:

G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2

Como os corpos tem a mesma massa a intensidade da gravidade é igual, vamos calcular?

g = 6,67   .     10 - 11   .     0,260 10   .   10 - 2 2 = 1,7342   .   10 - 9   m / s 2

Passo 2

As acelerações vão ser assim

Repara que os ângulos são iguais porque os triângulos são iguais. Como as acelerações são iguais vamos ter apenas componente vertical, ambas apontando para baixo. Usando a “regra do COlado/SEparado” vamos ter

g y = g   . cos ⁡ θ

Mas quem é cosseno de θ ? Olha no triângulo da figura inicial, o cosseno não é cateto adjacente sobre hipotenusa? Então

cos ⁡ θ = 6 10 = 3 5

Vamos ter

g y = g   . cos ⁡ θ = 1,7342   .   10 - 9   . 3 5 = 1,04   .   10 - 9   m / s 2

Passo 3

Essa é a COMPONENTE de cada gravidade a aceleração total vai ser

a t o t = 2 g y = 2,08 .   10 - 9   m / s 2

Resposta

a t o t = 2,08 .   10 - 9   m / s 2

Exercício Resolvido #9

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 64

Cinco corpos, cada um de massa M , estão igualmente espaçados sobre um arco de semicírculo de raio R , como na Figura 11-25. Um corpo de massa m está localizado no centro de curvatura do arco. (a) Se M é 3,0   k g , m é 2,0   k g e R é 10   c m , qual é a força gravitacional sobre a partícula de massa m devida aos cinco corpos? (b) Se o corpo de massa m é removido, qual é o campo gravitacional no centro de curvatura do arco?

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Passo 1

a) Sabemos que para encontrarmos o a força gravitacional resultante, basta somarmos vetorialmente todas as forças exercidas na massa m . Se liga na figura:

Percebe-se que todas as componentes horizontais se anulam, portanto:

F → = f + 2 f c o s π 4   j ^

Onde f é a força gravitacional entre uma massa M e a massa m , logo:

F → = G M m R 2 1 + 2 cos ⁡ π 4   j ^

Substituindo os valores:

F → = 6,67   .   10 - 11   .   3   .   2 0,1 2   1 + 2 j ^

F → = 9,67   .   10 - 8   N   j ^

Passo 2

b) Para achar o campo gravitacional, nós aprendemos a fazer o seguinte:

F = G M m R 2 = m g

Portanto, o campo gravitacional g NÃO DEPENDE da massa m .

Então, concluímos que, podemos manter o mesmo vetor encontrado para a força, divindo-o somente pelo valor da massa m :

g → = 4,83   .   10 - 8   m / s ²   j ^

Resposta

  1. F → = 9,67   .   10 - 8   N   j ^
  2. g → = 4,83   .   10 - 8   m / s ²   j ^

Exercício Resolvido #10

UNICAMP-P1-2012-Q2

Uma esfera de chumbo de raio R = 10   c m possui uma cavidade esférica cuja superfície passa pelo centro da esfera e “toca” o lado direito da esfera. A massa da esfera, antes de a cavidade ser aberta, era M = 4   k g . Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,5   k g que se encontra a uma distância d = 20   c m do centro da esfera de chumbo, sobre a reta que liga os centros da esfera e da cavidade?

G = 6,7   .   10 - 11   N   m 2 / k g 2 .

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Passo 1

Vamos primeiramente calcular a força que a esfera de chumbo faz na esfera menor, sem ter a cavidade.

F 1 = G M m r 2

F 1 = 6,7   .   10 - 11   .   4   .   0,5 0,2 2

F 1 = 3,35   .   10 - 9   N

Passo 2

Agora vamos imaginar a cavidade como sendo uma esfera de raio R / 2 , cujo o centro de massa está a uma distância de d - R / 2 da esfera pequena. Agora vamos calcular a força gravitacional que essa cavidade esférica exerceria na esfera pequena.

F 2 = G M m r 2

Entretanto, não temos a massa dessa cavidade esférica. Mas podemos descobrir utilizando a fórmula da densidade:

ρ = M 1 V 1

Para a esfera sem a cavidade, temos que M 1 = 4   k g e o volume será:

V 1 = 4 π r 3 3

V 1 = 4 π 10 3 3 = 4,19   .   10 3   c m 3

Logo, substituindo:

ρ = 4 4,19   .   10 3 = 9,5   .   10 - 4   k g / c m 3

Agora é só utilizar a densidade para a cavidade:

ρ = M 2 V 2

Entretanto, ainda temos que calcular o volume da cavidade. Mas sabemos que o raio da cavidade é a metade do raio da esfera, ou seja, é 5   c m .

V 2 = 4 π r 3 3