Força e Campo Gravitacional

Teoria Completa

Você já parou para pensar como pode a Lua ficar rodando em volta da terra dia e noite, dia e noite? Ou melhor, como podem os 8 planetas do sistema solar, rodarem em volta do sol em círculos quase perfeitos?

Quem pensou muito nisso e até descobriu algumas fórmulas para descrever esse movimento foi Sir Isaac Newton, um dos grandes gênios da física.

Uma fórmula específica para a lei da gravitação

Newton propôs que todos os objetos do universo atraem uns aos outros através de uma força.

A lei da gravitação universal diz que entre dois corpos de massa M e m vai existir uma força gravitacional, cujo módulo pode ser calculado através da fórmula:

F = G M m R 2

Onde:

R : a distância entre os corpos de massa M e m ;

G : constante gravitacional, cujo valor é 6,67   .   10 - 11 N m 2 / k g 2 ;

É importante notar que a força gravitacional é:

  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os objetos; ou seja, quanto mais afastados os objetos estão menor será essa força
  • Diretamente proporcional ao produto das massas dos dois objetos; ou seja, quanto maior o produto das massas maior vai ser essa força

Assim como todas as forças, a força gravitacional é um vetor e por isso possui um módulo, uma direção e um sentido.

Para saber a direção e o sentido, basta lembrarmos que a força gravitacional entre duas partículas atua sempre ao longo da linha que une as duas partículas e é SEMPRE atrativa!

Na forma vetorial, podemos escrever que a força gravitacional que o corpo de massa M exerce no corpo de massa m :

F → = G M m R 2 r ^

Onde r ^ é o vetor unitário que aponta para dentro do corpo de massa M .

Uma dúvida que pode surgir quando introduzimos a ideia da força gravitacional é: por que não usamos essa fórmula em corpos aqui na superfície da Terra?

Simples, saca só esse exemplo.

Sejam duas pessoas de massa 70   k g distanciadas de 1   m , qual deve ser o valor da força que age sobre elas?

F = G M m R 2 → 6,67   .   10 - 11   .   70   .   70 1 2 = 3,26   .   10 - 7   N

Sem chance, né? Você nunca iria perceber uma força dessa magnitude!

Força gravitacional em corpos esféricos

Em muitos exemplos, consideraremos os corpos celestes esféricos.

No entanto, devemos lembrar que nesses tipos de corpos, podemos considerar que toda a massa da esfera está localizada no centro de massa. Mas como assim?

Vamos ver um exemplo.

Qual a magnitude da força gravitacional exercida pela esfera 1 (massa 100   k g , raio 1   m ) e a esfera 2 (massa 50   k g , raio 3   m ) quando as suas superfícies estão distantes de 2   m ?

Vamos desenhar:

Temos os valores de M e m , mas precisamos saber qual valor de R usaremos, certo? Como foi dito, concentraremos a massa da esfera no centro da mesma, e a distância R será a distância entre os centros:

R = 3 + 2 + 1 = 6   m

Aplicando a fórmula:

F = 6,67   .   10 - 11   .     50   .   100 6 2 = 9,26   .   10 - 9   N

Campo gravitacional

Outro conceito que é muito citado em exercícios é o de campo gravitacional ou aceleração gravitacional. Não é nenhum bicho de 7 cabeças, se liga.

Imagina que uma massa M exerce uma força gravitacional F em uma massa m distante r dela. A fórmula que relaciona essas variáveis é:

F = G M m r 2

Usando a segunda lei de Newton, temos que:

F = m a

Igualando as equações, temos:

m a = G M m r 2 → a = G M r 2

Essa aceleração a , quando analisada na forma de um campo vetorial, é chamada de campo gravitacional e é normalmente expressa pela letra g . Ou seja, podemos descobrir qual a aceleração da gravidade de um planeta através da lei da gravitação universal:

g → = G M r 2   r ^

Onde r ^ é o vetor unitário que aponta para dentro do corpo de massa M .

Aqui na Terra, conseguimos saber o valor de g (gravidade) usando a seguinte fórmula:

g = G M T R T 2

Onde:

  • M T : Massa da Terra, igual a 5,98   .   10 24   k g ;
  • R T : Raio da Terra, igual a 6,38   .   10 6   m .

E, substituindo os dados:

g = 6,67   .   10 - 11   .   5,98   .   10 24 6,38.10 6 2 = 9,8   m / s 2

Você pode perceber que a aceleração da gravidade na superfície é altamente dependente de qual planeta estamos falando, já que essa depende do raio e da massa do planeta.

Mas o que faríamos então para descobrir a gravidade em outro planeta?

Simples! O enunciado vai te dizer os valores do raio e da massa e você vai substituir na fórmula.

E o que acontece se tivermos que calcular o campo gravitacional em um corpo esférico não maciço?

Imagine o seguinte:

Seja uma esfera de densidade volumétrica de massa ρ e raio R , com uma cavidade esférica de raio a com centro distando d do centro da esfera. Calcule o campo gravitacional a uma distância r do centro da esfera e r ' do centro da cavidade.

Vamos começar, como sempre, desenhando.

Seja g 1 → o campo gravitacional gerado pela esfera de raio R inteira, sem a cavidade. O cálculo dele é simples:

g 1 → = G M r 2   r ^

Sabemos que:

ρ = M V

Como a esfera possuí densidade homogênea, podemos escrever:

M = ρ V = 4 π R 3 ρ 3

Substituindo isso na fórmula da gravidade dessa esfera:

g 1 → = 4 π R 3 ρ G 3 r 2   r ^

Agora temos que dar um jeito de saber como aquela cavidade age no campo gravitacional.

O que vamos fazer é simples: vamos supor que exista uma esfera onde existe a cavidade de raio a e com a mesma densidade ρ . O campo gravitacional gerado por ela, em um ponto distante r ' do seu centro seria:

g 2 → = G M ' r ' 2

Aí que tá! Consideraremos que essa esfera que a gente tá dizendo que existe no lugar da cavidade tem massa negativa, porque ela não vai gerar força gravitacional, saca?:

M ' = - ρ V ' = - 4 π a 3 ρ 3

Então:

g 2 → = - 4 π a 3 ρ G 3 r ' 2   r ' ^

Para obtermos o campo total g → basta somarmos g 1 → e g 2 → :

g → = 4 π ρ G 3 R 3 r 2 r ^ - a 3 r ' 2 r ' ^

Beleza, agora bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, p. 28 ex. 4

Duas esferas uniforme, cada uma com massa M e raio R , estão em contato. Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre elas?

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Passo 1

Aprendemos a concentrar toda a massa de esferas em seus centros, portanto, o problema se transformaria em duas cargas pontuais de massa M , e com uma distância 2 R uma da outra.

Aplicando a fórmula da força gravitacional, temos:

F = G M 2 2 R 2 → F = G M 2 4 R 2

Resposta

F = G M 2 4 R 2

Exercício Resolvido #2

UFRJ-PF-2015.1-ME7

Duas partículas, cada uma de massa m , separadas por uma distância d interagem com força gravitacional de módulo F . Duas outras partículas, cada uma de massa 2 m , separadas por uma distância 2 d interagem com força gravitacional de módulo

(a)   F

(b) F / 4

(c) F / 2

(d) 2 F

(e) 4 F

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Passo 1

A fórmula geral da força gravitacional entre 2 partículas de massa M e m que são separadas por uma distância R é:

F g r a v = G M m R 2 ,

onde G é a constante gravitacional.

Passo 2

Então, já que as duas primeiras partículas têm massa m e são separadas por uma distância d , o módulo da força gravitacional F entre elas é:

F = G m 2 d 2

Passo 3

Sendo F ' o módulo da força gravitacional entre as partículas de massa 2 m separadas por uma distância 2 d , temos: F ' = G 2 m 2 2 d 2 = 4 G m 2 4 d 2 = G m 2 d 2 = F

É o mesmo que pras outras partículas!

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #3

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 1, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 393 – Pare e Pense 13.3

Um planeta tem massa quatro vezes maior do que a da Terra, mas a aceleração da gravidade em sua superfície é a mesma que na superfície da Terra. O raio do planeta é:

  1. 4 R T
  2. 2 R T
  3. R T
  4. 1 2 R T
  5. 1 4 R T
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Passo 1

Podemos assumir direto a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, mas se ainda não está decorado, vamos deduzi-la de acordo com a fórmula da gravidade (esta é a mais importante!).

F T = m g

F g = G M m R 2

F T = F g

m g = G M m R 2

g = G M R 2

Passo 2

Tendo, agora, a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, basta aplicarmos os valores dados no enunciado.

Para a Terra:

g = G M T R T 2

Para o planeta:

g = G 4 M T R 2

Igualando as fórmulas, visto que a gravidade é a mesma, temos:

G M T R T 2 = G 4 M T R 2

R 2 = 4 R T 2

R = 2 R T

Resposta

Letra b)

Exercício Resolvido #4

Lista 11, questão 2 – Gravitação, Universidade Federal Fluminense, 2014

Sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 9,8 m / s 2 , desprezando o efeito da latitude, qual deve ser a altura acima da superfície terrestre na qual a aceleração da gravidade é igual a 9,00 m / s 2 ?

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Passo 1

Normalmente o enunciado diz o valor da massa e do raio da Terra, e o valor da constante gravitacional. Pois bem, assumiremos os valores:

G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2

M = 5,98 ∙ 10 24 k g

R = 6,37 ∙ 10 6 m

g = G M R 2 = 9,8

Quando estamos a uma distância h   da superfície da terra a aceleração da gravidade será g ' = 9,00 m / s 2 .

Com isto, para achar a distância acima da superfície da Terra basta assumirmos um “crescimento” do raio:

g ' = G M ( R + h ) 2

Passo 2

Agora, vamos fazer as contas!

Botando o R em evidencia no denominador, temos:

g ' = G M R 1 + h R 2 ⇒

g ' = G M R 2 1 + h R 2