Polias Simples

Teoria Completa

Introdução

As cordas normalmente são usadas em conjunto com um sistema de polias. Vamos agora aprender sobre as polias simples. Mas, pra que servem essas polias e o que é polia simples? Vamos dar uma olhada nesse sistema aqui:

A polia é chamada de simples pois ela está fixa, ela não pode se mover. Já vimos que os fios possuem a característica de preservar a tensão nos seus dois extremos, mas estes mecanismos conseguem alterar a direção da tração. Como a corda é inextensível os blocos vão funcionar como um sistema e andarão juntos com uma certa aceleração.

Tração nos cabos e aceleração do sistema

Se a gente retirar da figura o fio e desenhar o diagrama de corpo livre de cada bloco vai ficar mais fácil de enxergar como a tração no cabo atua:

Repare que no bloco azul a tração no cabo estava na direção x e usando a polia a mesma tração só que atuando no bloco verde está em y . E a aceleração? Como o sistema trabalha em conjunto a aceleração dos blocos são iguais e são iguais a aceleração do sistema, porém cada uma vai ter uma direção. No nosso exemplo o peso do bloco verde faz o bloco se deslocar pra baixo, e a aceleração de cada um aponta da seguinte forma:

Ou seja:

a A z u l = a V e r d e = a

Pra gente entender isso melhor, bora calcular a tração no cabo e a aceleração no sistema se m 1 = 3 k g e m 2 = 5 k g .

Aqui a gente vai fazer um sisteminha, usando a segunda lei de Newton para cada bloco, começando pelo bloco azul, temos o DCL:

Como o bloco não se desloca em y , só nos interessa o eixo x . Usando a segunda lei de Newton temos:

∑ F → = m a →

Como no eixo x só temos a força de tração a gente pode dizer que:

T = m 1 a     ( 1 )

E aqui a gente já sabe a direção de cada coisa, então não vamos precisar da notação vetorial ou seja podemos trabalhar com os módulos.

No bloco verde o DCL é:

Aqui o bloco não se movimenta em x , vamos trabalhar só em y .

P = m g

Onde g é a aceleração da gravidade e vale 9,81 m / s 2

E pela segunda lei, considerando o sentido positivo para baixo:

∑ F y = m 2 a = P 2 - T

Ou seja:

m 2 a = m 2 g - T   ( 2 )

Substituindo a equação 1 na equação 2:

m 2 a = m 2 g - m 1 a

m 2 a + m 1 a = m 2 g

Enfim isolando a aceleração a , e aqui todo os sentidos foram considerados não necessitando entrar com o sinal da gravidade.

a = m 2 g m 1 + m 2

E enfim substituindo os valores:

a = 5 × 9,81 5 + 3 = 6,13 m / s 2 ↓

E a tração a gente pode tirar da primeira equação:

T = m 1 a = 3 × 6,13

T = 18,4 N

E se você quiser conferir se os seus resultados estão certos pode conferir na equação 2:

m 2 a = m 2 g - T

T = m 2 ( g - a )

T = 5 × 9,81 - 6,13 = 18,4 N

Máquina de Atwood

E quando os dois corpos estão na vertical? A máquina de Atwood é exatamente isso, dois corpos são unidos por uma polia simples, mas e aí como calculamos a aceleração e a tração no cabo agora? Vamos dar uma olhada no sistema:

Vamos fazer o diagrama de corpo livre de cada bloco e na polia para entender bem:

Lembre-se: a polia não muda o módulo da tração na corda, logo: T 1 = T 2 = T .

Agora, como sabemos para determinar o sentido desse movimento? Tudo depende de qual corpo é mais pesado! Se m 2 é maior que m 1 , temos que o bloco de massa m 2 desce enquanto o de massa m 1 sobe. Caso contrário, se m 1 > m 2 , o bloco 1 desce e o bloco 2 sobe.

E se não soubermos as massas? Simples! Nesse caso, fazemos uma suposição de que o movimento tem um dado sentido e se acharmos uma aceleração negativa, já sabemos que consideramos o sentido errado.

Como a polia é fixa, quando um bloco sobe uma distância x , o outro desce essa mesma distância x . Assim, a aceleração dos dois blocos é a mesma!

Vamos encontrar a aceleração no caso de m 2 = 2 k g e m 1 = 1 k g

Como m 2 > m 1 , temos:

Para o bloco 2, o sentido positivo é pra baixo já que é o bloco de maior massa.

m 2 g - T = m 2 a

E para o bloco 1, o sentido positivo é pra cima!

T - m 1 g = m 1 a

Resolvendo o sistema formado por essas duas equações acima, temos:

a = m 2 - m 1 g m 1 + m 2

E aí substituindo:

a = 2 - 1 2 + 1 g = g 3

Temos a aceleração:

a = 9,81 3 = 3,27 m / s 2

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 121-55

A Fig. 5-53 mostra dois blocos ligados por uma corda (de massa desprezível). O conjunto é conhecido como máquina de Atwood. Um bloco tem massa m 1 = 1,3   k g ; o outro tem massa m 2 = 2,8   k g . Quais são (a) o módulo da aceleração dos blocos e (b) a tensão na corda.

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Passo 1

Pra gente resolver essa questão vamos ter que montar dois diagramas de corpo livre, um pra cada bloco e encontrar a equação para cada um deles. Após fazermos isso vamos ter um sistema que vai depender da tração no cabo e da aceleração do sistema, ao resolver o sistema resolveremos a questão.

A grande sacada de questões desse tipo é lembrar que a corda é inextensível, ou seja, ela tem um tamanho fixo. Quer entender melhor como isso funciona? Veja o desenho abaixo, da máquina em um instante, e em um pequeno instante depois.

Percebeu? A mesma distância d que m 1 subiu, m 2 desceu. Daqui a gente pode ver que a aceleração do bloco verde é para cima e a do bloco laranja é para baixo, você pode ver isso simplesmente pela massa de cada bloco.

Se os fios são inextensíveis é possível prova uma relação entre as acelerações mas como a dedução dela não é o foco vamos voltar nossa atenção para guarda-la, a relação é essa aqui:

a 1 → =   -   a 2 →

O que significa que elas tem mesmo módulo mas sentidos opostos!

Passo 2

Faremos agora o diagrama de corpo livre de cada um dos dois blocos, lembrando que, por ser o mesmo fio que liga os blocos, a tensão é igual.

Para o bloco de massa m 1 :

Vamos aplicar aqui a segunda lei de Newton e como esse bloquinho sobe o sentido pra cima será adotado como positivo para ele:

∑ F = m a

Temos:

T - P 1 = m 1 a 1

Substituindo os valores de m 1 e g , e chamando o módulo em comum das acelerações de a :

T - 1,3 × 9,8 = 1,3 a

T - 12,74 = 1,3 a

Temos então a equação do primeiro bloco, vamos encontrar a do segundo.

Passo 3

Para o bloco de massa m 2 faremos o mesmo processo, começando pelo DCL:

Seguindo a mesma lógica do outro bloco vamos tomar como positivo o sentido da aceleração, assim podemos aplicar a segunda lei de newton:

∑ F = m a

P 2 - T =   m 2 a 2

Substituindo os valores de m 2 = 2,8 k g , g = 9,8 , e sabendo que a 2 =   a :

T - 2,8 × 9,8 = 2,8 a

27,44 - T = 2,8 a    

Encontramos a equação do segundo bloco, hora de montarmos o sistema.

Passo 4

Temos agora, então, um sistema com duas equações que dão a resposta das letras a e b:

T - 12,74 = 1,3 a 27,44 - T = 2,8 a

Somando as duas equações a gente vai ter o seguinte:

T - 12,74 + 27,44 - T = 4,1 a

14,7 = 4,1 a

a = 14,7 4,1 = 3,59 m / s 2

Agora pra encontrar a tração é só a gente voltar em qualquer uma das duas equações e substituir a , aqui escolherei a primeira.

T - 12,74 = 1,3 × 3,59

T = 17,4 N

Achamos então:

a = 3,59   m / s 2

T = 17,4   N

Resposta

  1. a = 3,59 m / s 2
  2. T = 17,4   N

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 122-65

A Fig. 5-57 mostra três blocos ligados por cordas que passam por polias sem atrito. O bloco B está sobre uma mesa sem atrito; as massas são m A = 6,00   k g ,   m B = 8,00   k g e m C = 10,0   k g . Quando os blocos são liberados qual é a tensão da corda da direita?

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Passo 1

A saída aqui também é pensar no tamanho fixo dos fios que ligam os blocos e concluir que: o mesmo deslocamento que o bloco C tiver para baixo, o bloco B terá para direita e o bloco A terá para cima. O que, pensando nas acelerações, nos dá:

a A → =   a   j ^

a B → = a   i ^

a C → = - a   j ^

Passo 2

Podemos aplicar a segunda lei de Newton, junto com o Diagrama de Corpo Livre em cada um dos corpos, mas temos que lembrar que temos dois fios diferentes, portanto, chamaremos de T 1 a tração do fio da esquerda e de T 2 a tração do fio da direita.

No bloco C, analisando somente as forças na vertical, já que seu movimento se limita a esse eixo:

T 2 - P C =   - m c a

Substituindo os valores conhecidos:

T 2 - 98 =   - 10 a     ( E q . 1 )

Já no bloco B, analisaremos somente as forças na horizontal:

T 2 - T 1 = m B a

Substituindo os valores conhecidos:

T 2 - T 1 = 8 a       ( E q . 2 )

E finalmente, no bloco A, analisando só na vertical de novo:

T 1 - P A = m A a

Substituindo os valores conhecidos:

T 1 - 58,8 = 6 a       ( E q . 3 )

Passo 3

Para encontrar a aceleração a , faremos:

- E q .   1 + E q .   2 + ( E q . 3 )

E obteremos:

98 - 58,8 = 10 + 8 + 6 a → a = 39,2 24   m / s 2

Para chegarmos a resposta do problema, o valor da tensão T 2 , substituiremos o valor de a na Eq.1:

T 2 = 98 - 10 . 39,2 24 → T 2 ≅ 81,67   N

Resposta

T 2 ≅ 81,67   N

Exercício Resolvido #3

UERJ-LISTA 1-6

Um pintor de 80   kg está sobre uma plataforma de 40   kg suspensa por uma roldana ideal (veja a figura abaixo). Puxando a corda ele faz a plataforma subir com aceleração de 1 2   m/ s 2 .

a ) Desenhe o diagrama de forças que atuam no pintor e na plataforma e escolha um sistema de referência.

b ) Escreva as leis de Newton para o pintor e para a plataforma.

c ) Determine cada uma das forças que atuam no pintor.

d ) Determine cada uma das forças que atuam na plataforma.

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Passo 1

a )

Além das forças que já estamos acostumados a colocar em nossos corpos, é importante percebermos que existe uma normal sobre o pintor porque ele está em contato com a plataforma e por causa da Terceira Lei de Newton vai existir, sobre a plataforma, a reação dessa normal apontando no sentido oposto.

Passo 2

b ) Vamos montar as equações do movimento usando a Segunda Lei de Newton para cada um dos corpos e vamos adotar para cima como sentido positivo.

Para a plataforma

F r → = m p l t . a → = T → + P → p l t + N →

T - m p l t . g - N =   m p l t . a

E para o pintor

F r → = m p i n . a → = T → + P → p i n + N →

T - m p i n . g + N = m p i n . a

Passo 3

c ) O peso do pintor é dado por

P p i n = m p i n g = 80 × 9,8

P p i n = 784 N

Para achar a tração podemos somar as duas equações do passo 2 no sistema:

T - m p l t . g - N =   m p l t . a T - m p i n . g + N = m p i n . a

2 T - m p l t . g - m p i n . g =   m p l t . a + m p i n . a

Isolando T :

T = a + g m p i n + m p l t 2 = 0,5 + 9,8 80 + 40 2

T = 618 N

Voltando ao sistema e olhando para a segunda equação do passo 2:

T + N - m p i n . g =   m p i n . a

Isolando N :

N = m p i n a + g - T = 80 0,5 + 9,8 - 618

N = 206 N

Passo 4

d ) Já calculamos a normal e a tração no passo anterior, e sabemos que ambas as forças são reações às forças do pintor. Agora só falta o peso da plataforma, assim:

P p l t = m p l t g = 40 × 9,8

P p l t = 392 N

Resposta

a )

b ) Para a plataforma

T - P p l t - N =   m p l t . a

E para o pintor

T + N - P p i n = m p i n . a

c ) T = 618 N , P p i n = 784 N e N = 206 N

d )   T = 618 N , P p l t = 392 N e N = 206 N

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Três blocos A , B e C , estão dispostos como o sistema mostrado na figura abaixo. Sabendo que o atrito é desprezível e as massas dos blocos são m a , m b e m c respectivamente. Determine a aceleração do conjunto, a força de tração no fio e a força de contato. Considere o módulo da aceleração da gravidade sendo g .

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Passo 1

Normalmente começamos um problema com vários blocos, fazemos o DCL do sistema. Neste caso, como temos o bloco C se movimentando na vertical e os blocos A e B se movimentando na horizontal, fazer o sistema pode ser algo mais complicado, então iremos montar as equações para cada bloco.

Os dados do problema são

Dados m a m b m c g

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Para o bloco C

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  • A massa dele é considerada?
  • Sim, ele tem massa.

  • Ela esta encostada em alguma superfície?
  • Não, o bloco não está apoiado em nenhuma superfície.

  • Tem algum fio?
  • Sim, existe um fio.

  • Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O seu DCL fica

Passo 2

Como podemos perceber, não existe movimento horizontal ao longo do e i x o   x . Então vamos nos preocupar apenas com o e i x o   y .

Lembrando que para cima é positivo e para baixo é negativo.

Vamos considerar o módulo da aceleração sendo a . O movimento é para baixo, pois o bloco C puxa todos com o seu peso. Então teremos no e i x o   y

F r = - P c + T

- m c a = T - m c g   1

Só com essa equação não resolvemos nada, vamos para os outros blocos.

Passo 3

Para o bloco B

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  • A massa dele é considerada?
  • Sim, ele tem massa.

  • Ela esta encostada em alguma superfície?
  • Sim, o bloco está em contato com o chão e com o bloco A .

  • Tem algum fio?
  • Não, não existe fio atuando.

  • Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

Repare que existe uma força que chamaremos de força de contato, ela funciona como uma normal entre os blocos A e B . O seu DCL fica

Passo 4

Como podemos perceber, não existe movimento vertical ao longo do e i x o   y . Então vamos nos preocupar apenas com o e i x o   x .

Lembrando que para direita é positivo e para esquerda é negativo.

Considerando o módulo da aceleração sendo a , o movimento é para direita, pois o bloco C puxa todo com o seu peso. Então teremos no e i x o   y

F r = F cont

m b a = F cont   2

Só com essa equação não resolvemos nada, vamos para o último bloco.

Passo 5

Para o bloco A

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  • A massa dele é considerada?
  • Sim, ele tem massa.

  • Ela esta encostada em alguma superfície?
  • Sim, o bloco está em contato com o chão e com o bloco B .

  • Tem algum fio?
  • Sim, existe um fio.

  • Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

Repare que existe uma força que chamaremos de força de contato, ela funciona como uma normal entre os blocos A e B . O seu DCL fica

Passo 6

Como podemos perceber, não existe movimento horizontal ao longo do e i x o   y . Então vamos nos preocupar apenas com o e i x o   x .

Lembrando que para direita é positivo e para esquerda é negativo.

Considerando o módulo da aceleração sendo a , o movimento é para direita, pois o bloco C puxa todo com o seu peso. Então teremos no e i x o   y

F r = T - F cont

m a a = T - F cont   3

Vamos agora juntar as 3 equações que achamos.

Passo 7

- m c a = T - m c g   1 m b a = F cont   2 m a a = T - F cont   3

Esse sistema não é muito simples de se resolver, mas temos uma forma de resolver que facilita tudo, e pode ser feito com freqüência. Primeiro devemos deixar todas as acelerações dos blocos positivas, multiplicando a equação 1 por - 1 .

m c a = - T + m c g   1 m b a = F cont   2 m a a = T - F cont   3

Podemos agora somar os valores do lado esquerdo, e depois os do lado direito, dessa forma

m c a ⏟ 1 + m b a ⏟ 2 + m a a ⏟ 3 = - T + m c g ⏟ 1 + F cont ⏟ 2 + T - F cont ⏟ 3

m a + m b + m c a = m c g

a = m c g m a + m b + m c

Repare que quando somamos tudo que é força q não sabemos se anula na direita. Podemos fazer isso sempre.

Passo 8

Agora, que sabemos a aceleração, temos pela equação 2 que

F cont = m b a cont = m b a

Substituindo o valor de a

F c o n t = m b m c g m a + m b + m c

Passo 9

Usando a equação 1 , temos

T = - m c a + m c g

T = m c g - m c m c g m a + m b + m c

T = m c g m a + m b + m c - m c m c g m a + m b + m c    

T = m a + m b m c g m a + m b + m c

Resposta

a = m c g m a + m b + m c

F cont = m b m c g m a + m b + m c

T = m a + m b m c g m a + m b + m c

Exercício Resolvido #5

USP- P1-2010-Q3

Inicialmente o sistema de corpos mostrado na figura parte do repouso. Todas as superfícies, polia e rodas são sem atrito. O corpo de massa m 2 é preso ao corpo de massa M , podendo deslizar verticalmente sem atrito, mas não podendo se afastar dele.

a) Qual é a força horizontal que tem de ser aplicada ao carro para que os blocos permaneçam estacionários em relação ao carro?

Para F = 0 , no instante após ser solto o sistema de corpos, encontre:

b) A tensão T no fio.

c) A aceleração de m 1 .

d) A aceleração de M .

e) A aceleração de m 2 .

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Passo 1

a)

Para que m 1 não se movimente em relação a M , ele tem que ter a mesma aceleração que todo o conjunto.

A aceleração do conjunto vai ser

a = F m 1 + m 2 + M

Já no bloco de massa m 1 a força resultante é a tração, assim

a 1 = T m 1

Como queremos que o bloco 1 não se mova em relação ao bloco grande temos que o bloco 2 também não pode se mover. Assim, escrevendo a segunda lei na vertical pro segundo bloco

T - P 2 = m 2 a 2 → T - P 2 = 0

T = P 2 = m 2 g

Se jogarmos esse valor de T na aceleração do bloco 1 ficamos com

a 1 = T m 1 = m 2 m 1 g

Agora só falta impor que a 1 = a

F m 1 + m 2 + M = m 2 m 1 g

Isolando F

F = m 1 + m 2 + M . m 2 m 1 g

Passo 2

b)

Nesse caso, os três blocos vão ter acelerações diferentes. O bloco M estará sujeito a uma aceleração A para a esquerda devido à força de reação a tração no bloco m 1 . O bloco m 2 estará sujeito a uma aceleração a para baixo devido à gravidade. O bloco m 1 estará sujeito às duas acelerações, e portanto, sua aceleração será a diferença entre elas, a - A .

Agora que já está tudo explicado, vamos aos cálculos. Vamos aplicar a segunda lei de Newton:

Para o bloco m 1 :

T = m 1 a - A                         1

Para o bloco m 2 :

m 2 g - T = m 2 a

Dividindo tudo por m 2 :

a = g - T m 2                     2