Polias Simples

Teoria Completa

As cordas normalmente são usadas em conjunto com um sistema de polias. Vamos agora aprender sobre as polias simples. Mas, pra que servem essas polias?

Já vimos que os fios possuem a característica de preservar a tensão nos seus dois extremos, mas estes mecanismos conseguem alterar a direção da tração!

Vamos ver agora um exemplo bem clássico de polias simples.

Vamos fazer o diagrama de corpo livre de cada bloco e na polia para entender bem:

Lembre-se: a polia não muda o módulo da tração na corda, logo: T 1 = T 2 = T .

Agora, como sabemos para determinar o sentido desse movimento? Tudo depende de qual corpo é mais pesado! Se m 2 é maior que m 1 , temos que o bloco de massa m 2 desce enquanto o de massa m 1 sobe. Caso contrário, se m 1 > m 2 , o bloco 1 desce e o bloco 2 sobe.

E se não soubermos as massas? Simples! Nesse caso, fazemos uma suposição de que o movimento tem um dado sentido e se acharmos uma aceleração negativa, já sabemos que consideramos o sentido errado.

Como a polia é fixa, quando um bloco sobe uma distância x , o outro desce essa mesma distância x . Assim, a aceleração dos dois blocos é a mesma!

Considerando o caso em que m 2 > m 1 , temos:

m 2 g - T = m 2 a

T - m 1 g = m 1 a

Resolvendo o sistema formado por essas duas equações acima, temos:

a = m 2 - m 1 g m 1 + m 2

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Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 121-55

A Fig. 5-53 mostra dois blocos ligados por uma corda (de massa desprezível). O conjunto é conhecido como máquina de Atwood. Um bloco tem massa m 1 = 1,3   k g ; o outro tem massa m 2 = 2,8   k g . Quais são (a) o módulo da aceleração dos blocos e (b) a tensão na corda.

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Passo 1

A grande sacada de questões desse tipo é lembrar que a corda é inextensível, ou seja, ela tem um tamanho fixo. Quer entender melhor como isso funciona? Veja o desenho abaixo, da máquina em um instante, e em um pequeno instante depois.

Percebeu? A mesma distância d que m 1 subiu, m 2 desceu. Portanto, essa relação entre os deslocamentos nos dá, para as acelerações:

a 1 → =   -   a 2 →

O que significa que elas tem mesmo módulo mas sentidos opostos!

Passo 2

Faremos agora o diagrama de corpo livre de cada um dos dois blocos, lembrando que, por ser o mesmo fio que liga os blocos, a tensão é igual.

Para o bloco de massa m 1 :

Aplicando a segunda lei:

T - P 1 = m 1 a 1

Substituindo os valores de m 1 e g , e chamando o módulo em comum das acelerações de a :

T - 12,74 = 1,3 a (Eq. 1)

Passo 3

Para o bloco de massa m 2 :

Aplicando a segunda lei:

P 2 - T =   m 2 a 2

Substituindo os valores de m 2 , g , e sabendo que a 2 =   a :

27,44 - T = 2,8 a     (Eq. 2)

Passo 4

Temos agora, então, um sistema com duas equações que dão a resposta das letras a e b:

T - 12,74 = 1,3 a 27,44 - T = 2,8 a

Achamos então:

a = 3,59   m / s 2

T = 17,4   N

Resposta

  1. a = 3,59 m / s 2
  2. T = 17,4   N

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 122-65

A Fig. 5-57 mostra três blocos ligados por cordas que passam por polias sem atrito. O bloco B está sobre uma mesa sem atrito; as massas são m A = 6,00   k g ,   m B = 8,00   k g e m C = 10,0   k g . Quando os blocos são liberados qual é a tensão da corda da direita?

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Passo 1

A saída aqui também é pensar no tamanho fixo dos fios que ligam os blocos e concluir que: o mesmo deslocamento que o bloco C tiver para baixo, o bloco B terá para direita e o bloco A terá para cima. O que, pensando nas acelerações, nos dá:

a A → =   a   j ^

a B → = a   i ^

a C → = - a   j ^

Passo 2

Podemos aplicar a segunda lei de Newton, junto com o Diagrama de Corpo Livre em cada um dos corpos, mas temos que lembrar que temos dois fios diferentes, portanto, chamaremos de T 1 a tração do fio da esquerda e de T 2 a tração do fio da direita.

No bloco C, analisando somente as forças na vertical, já que seu movimento se limita a esse eixo:

T 2 - P C =   - m c a

Substituindo os valores conhecidos:

T 2 - 98 =   - 10 a     ( E q . 1 )

Já no bloco B, analisaremos somente as forças na horizontal:

T 2 - T 1 = m B a

Substituindo os valores conhecidos:

T 2 - T 1 = 8 a       ( E q . 2 )

E finalmente, no bloco A, analisando só na vertical de novo:

T 1 - P A = m A a

Substituindo os valores conhecidos:

T 1 - 58,8 = 6 a       ( E q . 3 )

Passo 3

Para encontrar a aceleração a , faremos:

- E q .   1 + E q .   2 + ( E q . 3 )

E obteremos:

98 - 58,8 = 10 + 8 + 6 a → a = 39,2 24   m / s 2

Para chegarmos a resposta do problema, o valor da tensão T 2 , substituiremos o valor de a na Eq.1:

T 2 = 98 - 10 . 39,2 24 → T 2 ≅ 81,67   N

Resposta

T 2 ≅ 81,67   N

Exercício Resolvido #3

UERJ-LISTA 1-6

Um pintor de 80   kg está sobre uma plataforma de 40   kg suspensa por uma roldana ideal (veja a figura abaixo). Puxando a corda ele faz a plataforma subir com aceleração de 1 2   m/ s 2 .

a ) Desenhe o diagrama de forças que atuam no pintor e na plataforma e escolha um sistema de referência.

b ) Escreva as leis de Newton para o pintor e para a plataforma.

c ) Determine cada uma das forças que atuam no pintor.

d ) Determine cada uma das forças que atuam na plataforma.

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Passo 1

a )

Além das forças que já estamos acostumados a colocar em nossos corpos, é importante percebermos que existe uma normal sobre o pintor porque ele está em contato com a plataforma e por causa da Terceira Lei de Newton vai existir, sobre a plataforma, a reação dessa normal apontando no sentido oposto.

Passo 2

b ) Vamos montar as equações do movimento usando a Segunda Lei de Newton para cada um dos corpos e vamos adotar para cima como sentido positivo.

Para a plataforma

F r → = m p l t . a → = T → + P → p l t + N →

T - m p l t . g - N =   m p l t . a

E para o pintor

F r → = m p i n . a → = T → + P → p i n + N →

T - m p i n . g + N = m p i n . a

Passo 3

c ) O peso do pintor é dado por

P p i n = m p i n g = 80 × 9,8

P p i n = 784 N

Para achar a tração podemos somar as duas equações do passo 2 no sistema:

T - m p l t . g - N =   m p l t . a T - m p i n . g + N = m p i n . a

2 T - m p l t . g - m p i n . g =   m p l t . a + m p i n . a

Isolando T :

T = a + g m p i n + m p l t 2 = 0,5 + 9,8 80 + 40 2

T = 618 N

Voltando ao sistema e olhando para a segunda equação do passo 2:

T + N - m p i n . g =   m p i n . a

Isolando N :

N = m p i n a + g - T = 80 0,5 + 9,8 - 618

N = 206 N

Passo 4

d ) Já calculamos a normal e a tração no passo anterior, e sabemos que ambas as forças são reações às forças do pintor. Agora só falta o peso da plataforma, assim:

P p l t = m p l t g = 40 × 9,8

P p l t = 392 N

Resposta

a )

b ) Para a plataforma

T - P p l t - N =   m p l t . a

E para o pintor

T + N - P p i n = m p i n . a