Plano Inclinado

Teoria Completa

Introdução

Lembra como funcionavam as forças peso e normal no plano horizontal?

O bloco só movimenta em x e não temos aceleração em y , então o equilíbrio das forças em y fica:

∑ F = m a = 0

E o DCL pro eixo y era:

E concluíamos dai que:

∑ F = P - N = 0

P = N

Mas e se a gente inclinar esse plano assim?

Como encontrar a aceleração desse sistema se o bloco possuir massa m = 2 k g e o ângulo θ = 30 ° ?

Análise em eixos especiais

Você já viu como usar a segunda lei de Newton de forma separada, analisando eixos independentes.

Neste caso do plano inclinado, você vai ver como a sua vida vai ficar muito mais fácil usando este artifício com a escolha dos eixos certos!

Imagine o caso da figura acima. O bloco é solto no plano inclinado que possui inclinação dada pelo ângulo θ . Se formos parar pra prever o movimento, a única coisa que sabemos é que o bloco não vai saltar do nada, e nem vai entrar no plano inclinado, então concluímos que a única aceleração do bloco está na direção do plano inclinado.

Sabendo disso, nosso próximo passo é fazer o diagrama de corpo livre do bloco. Usando os conceitos aprendidos, sabemos que o peso estará apontando para baixo e a normal estará perpendicular à superfície do plano inclinado.

Consideramos aqui que não existe atrito entre o plano inclinado e o bloco.

Já concluímos que a aceleração estará na direção do plano, portanto, o eixo escolhido será aquele que está na mesma direção dessa aceleração, pois assim, poderemos considerar a aceleração no outro eixo, que necessariamente é perpendicular à esse, nula.

Se liga na imagem:

Esse ângulo θ entre a força peso e o eixo y , é o próprio ângulo θ do plano inclinado. Com um pouquinho de trigonometria dá pra mostrar isso.

Agora o nosso trabalho é decompor todas as forças que não estão na direção do eixo que nós escolhemos, nesse caso, somente a força peso.

Agora a gente pode decompor as forças analisando o triângulo da figura.

P x = P s e n θ

P y = P c o s θ

Para saber se é seno ou cosseno, a dica é pensar que P x está SEparada do ângulo θ e por isso vai ser P s e n θ . Enquanto P y está COlada no ângulo θ e por isso vai ser P c o s θ .

Como vamos aplicar uma para cada eixo, vamos lembrar da nossa conclusão lá no começo: A aceleração na direção normal ao plano inclinado é nula. E a direção normal ao plano, agora é o nosso eixo y .

∑ F y = m a y = 0

N - P y = 0

Substituindo temos:

N = P c o s θ

Como:

P = m g

N = m g c o s θ

Aplicando a segunda lei, agora na direção do plano inclinado, que vai ser o nosso eixo x .

∑ F x = m a x

Como já foi dito, toda a aceleração será na direção do plano, logo a x = a .

Resolvendo a segunda lei:

P x = m a

P s e n θ = m a

Como:

P = m g

m g s e n θ = m a

Logo cortando as massas.

a = g s e n θ

Onde g é a aceleração da gravidade.

Repare que a aceleração do sistema não dependeu da massa do bloco. Mas isso só foi válido nesse caso, por conta de só termos a força peso e a normal atuando.

Resolvendo o exemplo que a gente mostrou no início. A aceleração do sistema é:

a = 9,81 × s e n 30 º = 4,91 m / s 2

Os exercícios de plano inclinado são muito diversos e podem incluir todos os tipos de forças, no entanto, a escolha conveniente dos eixos irá sempre te ajudar a fazer a análise e a aplicação da segunda lei.

Então, bora fazer uns exercícios e praticar plano inclinado?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um bloco de massa m , está apoiado em um plano inclinado, que possui um ângulo θ com a horizontal. Sabendo que o bloco desliza sem atrito pelo plano inclinado, determine o módulo da aceleração do bloco e o valor da força normal que a superfície faz nele. Considere que o módulo da aceleração da gravidade é g .

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Passo 1

Temos os seguintes dados do enunciado

Dados m θ F g

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças no DCL

  • A massa dele é considerada?
  • Sim, ele tem massa.

  • Ela esta encostada em alguma superfície?
  • Sim, o sistema está apoiado no chão.

  • Tem algum fio?
  • Não, não existe fio atuando.

  • Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O DCL do bloco fica

Quando temos um exercício de plano inclinado, é mais fácil considerarmos a horizontal e vertical em relação à superfície inclinada, isso facilita nossas contas porque ele não tem movimento vertical em relação a essa superfície. O DCL ficaria

O ângulo θ fica na força peso com a vertical quando fazemos isso.

Passo 2

No e i x o   x , temos apenas a componente x da força peso atuando

F r = P x

Devemos encontrar P x usando a “regra do COlado, SEparado”.

P x = P sen ⁡ θ = m g sen ⁡ θ

m a = m g sen ⁡ θ

a = m g sen ⁡ θ m = g sen ⁡ θ

Passo 3

No e i x o   y temos equilíbrio das forças, tendo

N = P y

Devemos encontrar P y usando a “regra do COlado, SEparado”.

P y = P cos ⁡ θ = m g cos ⁡ θ

N = m g cos ⁡ θ

Resposta

a = g sen ⁡ θ

N = m g cos ⁡ θ

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 119-32

Na Fig. 5-41, um caixote de massa m = 100   k g é empurrado por uma força horizontal F → que o faz subir uma rampa sem atrito ( θ = 30 ° ) com velocidade constante. Quais são os módulos de F → e (b) da força que a rampa exerce sobre o caixote?

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Passo 1

Para facilitar a análise do movimento mais facilmente, vamos estuda-lo nos dos eixos especiais: na direção do plano e perpendicularmente ao plano. Inicialmente as forças atuantes são essas aqui:

Decompondo as forças nos eixos especiais temos:

Uma parte importante do enunciado é que a caixa sobe a rampa com velocidade constante, ou seja, a resultante das forças na direção do plano é nula.

Passo 2

Vamos agora fazer o equilíbrio das forças no eixo paralelo ao plano já que é o que tem menos componentes e será mais fácil da gente analisar:

∑ F = F c o s θ - P s e n θ = 0

Vamos isolar a força F :

F = P s e n θ c o s θ = P t g θ

Onde a força peso é:

P = m g = 100 × 9,8 = 980 N

Como θ = 30 ° , podemos encontrar a força substituindo:

F = 980 × t g 30 = 565,8 N

Passo 3

Agora que sabemos o valor de F podemos encontrar a força normal ao plano fazendo o somatório das forças pro eixo perpendicular ao plano:

∑ F = F s e n θ + P c o s θ - N = 0

N = F s e n θ + P s e n θ

Substituindo os valores que a gente já calculou temos:

N = 565,8 s e n 30 + 980 cos ⁡ 30 = 1131,6 N

Resposta

  1. F = 565,8 N
  2. N = 1131,6   N

Exercício Resolvido #3

UNICAMP-P1-2014.1B-Q14

Uma caixa está em repouso em um plano inclinado, sem deslizar, conforme a figura. Se aumentarmos continuamente o ângulo de inclinação do plano (medido a partir da horizontal), o módulo da força normal:

a) decresce de forma não linear.

b) não muda.

c) decresce linearmente.

d) aumenta de forma não linear.

e) aumenta linearmente.

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Passo 1

Se decompusermos a força peso nessa caixa, ficaremos com a seguinte figura:

Onde:

P x = P sen ⁡ θ

P y = P cos ⁡ θ

Visto que a caixa está em repouso, a força resultante sobre a caixa tem que ser nula, portanto:

N - P y = 0

N = P y

Logo:

N = P cos ⁡ θ

Vamos agora ver o que acontece com a normal se aumentarmos o valor de θ .

O P permanece o mesmo, mas o cos ⁡ θ se altera, e sabemos que aumentando o ângulo, o cosseno fica cada vez menor, até chegar em θ = 90 ° , onde o cosseno será zero e portanto não haverá mais força normal. Logo, aumentando o ângulo, a força normal diminui.

Agora, analisando as alternativas ainda ficamos em duvida entre duas.

Alternativa a : decresce de forma não linear.

Alternativa c : decresce linearmente.

Então precisamos saber o que diabos significa decrescer de forma linear ou não linear.

Vou dar alguns exemplos:

A função:

x = 6 t

É uma função linear, porque se dobrarmos o t , iremos automaticamente dobrar o x , isso que significa linearidade.

Diferente da função:

x = cos ⁡ θ

Está é uma função não linear, pois se dobrarmos o θ , não iremos dobrar o x , pois:

cos ⁡ 2 θ ≠ 2 cos ⁡ θ

Voltando ao nosso problema, temos:

N = P cos ⁡ θ

Onde o θ está envolvido com o cosseno que como acabamos de ver é não linear. Logo, ao aumentarmos o θ , a força normal irá decrescer não linearmente.

Resposta

Alternativa a .

Exercício Resolvido #4

UNICAMP-P1-2015.1-Q12

Dois blocos ligados entre si por uma corda estão pendurados em um plano inclinado, de acordo com a figura abaixo. Não há atrito entre os blocos e o plano inclinado.

A tração medida na corda que liga o bloco de massa m 1 à parede é três vezes maior que a tração que liga o bloco m 2 ao bloco m 1 . É correto afirmar que a razão entre as massas r = m 1 m 2 vale:

  1. r = 3
  2. r = 2
  3. r = 1
  4. r = 1 2
  5. r = 1 3
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Passo 1

Primeiro vamos desenhar as forças que atuam em cada corpo:

Sabemos que na direção paralela ao plano inclinado ocorre o equilíbrio das forças. Escolhendo um eixo paralelo ao plano e no sentido de subida do plano, podemos aplicar a segunda lei de Newton para o bloco 1:

T 1 - T 2 - P 1 sen ⁡ θ = 0

3 T 2 - T 2 = m 1 g sen ⁡ θ

m 1 = 2 T 2 g sen ⁡ θ

Para o bloco 2:

T 2 - P 2 sen ⁡ θ = 0

T 2 = m 2 g sen ⁡ θ

m 2 = T 2 g sen ⁡ θ

Agora encontrando a razão r :

r = m 1 m 2 = 2 T 2 g sen ⁡ θ T 2 g sen ⁡ θ = 2

Resposta

Letra (b)

Exercício Resolvido #5

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 122-68

A Fig. 5-60 mostra parte de um teleférico. A massa máxima permitida de cada cabina com passageiros é de 28 00   k g . As cabinas que estão penduradas em um cabo de sustentação, são puxadas por um segundo cabo ligado à torre de sustentação de cada cabina. Suponha que os cabos estão esticados e inclinados de um ângulo θ = 35 ° . Qual é a diferença entre as tensões de partes vizinhas do cabo que puxa as cabines se as cabinas estão com a máxima massa permitida e estão sendo aceleradas para cima a 0,81   m / s 2 .

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Passo 1

Nesse exercício, para reforçar mais ainda a ideia de usar os eixos na direção do movimento e perpendicular a ele, as trações, que constituem nosso objetivo, também estão na direção do movimento. Fazendo as decomposições na direção do movimento, já que as componentes no eixo normal não são interessantes para nós, temos:

Passo 2

Foi dada a aceleração das cabines, a massa delas e nós já temos as forças que agem na direção da aceleração, agora é só aplicar a segunda lei de Newton!

T 1 - T 2 - P s e n θ = m a

Substituindo os valores conhecidos:

T 1 - T 2 - 28 00   .   9,8   .   s e n 35 ° = 28 00   .   0,81 = 2268

E então:

T 1 - T 2 ≅ 18005   N

Passo 3

Aí você me pergunta: Mas só foi calculada a diferença entre as trações da cabine do meio, não?

A resposta é: Sim. Fizemos a análise do movimento de somente uma cabine, mas, se formos fazer das outras, perceberemos que é idêntico. As cabines possuem as mesmas massas, sofrem ação de forças de mesma direção e ainda estão sob a mesma aceleração. Portanto, a resposta encontrada para uma cabine pode ser generalizada.

Resposta

∆ T ≅ 18005   N

Exercício Resolvido #6

UFF-P1-2014.2-5Q

Um cunha de peso P M = 8,0   N e ângulo α = 45 ° está sobre uma superfície horizontal sem atrito. Um bloco de peso P m = 2,0   N é posto sobre a cunha e uma força horizontal F → é aplicada na cunha (veja a figura). Também não há atrito entre o bloco e a cunha. Qual deve ser o módulo de F → se queremos que o bloco permaneça a uma altura constante acima da superfície horizontal?

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Passo 1

Antes de tudo, diagrama das forças no sistema.

Passo 2

Normalmente, a gente decompõe as forças na direção paralela e perpendicular à rampa...

PORÉM, nesse caso queremos descobrir uma força F que atua na horizontal, para isso, precisamos descobrir a aceleração do bloco na direção dessa força F (horizontal).

Então, diferente do que estamos acostumados para um plano inclinado, vamos decompor as forças nos eixos padrões, x (horizontal) e y (vertical):

Assumindo que o corpo não se mexe verticalmente, no eixo y temos:

F R = 0

N ⋅ cos ⁡ α - m g = 0

E no eixo x :

F R = m a

N ⋅ sen ⁡ α = m a

Se dividirmos uma equação pela outra vamos ter

N s e n α N c o s α = m a m g

t g α = a g

Como α = 45 °

a g = t g 45 ° = 1

a = g

Ou seja, o módulo da aceleração correspondente à força F é igual à aceleração da gravidade.

Passo 3

Olhando para o sistema, a força resultante sobre o plano e o bloco é

F = M + m a

Como já sabemos a = g

F = M + m g = M g + m g

Os dois termos na direita são os pesos do bloco e do plano que foram dados no enunciado, assim

F = P M + P m = 8 + 2

F = 10 N

Resposta

F = 10   N

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