Plano Inclinado

Teoria Completa

Análise em eixos especiais

Você já viu como usar a segunda lei de Newton de forma separada, analisando eixos independentes.

Neste caso do plano inclinado, você vai ver como a sua vida vai ficar muito mais fácil usando este artifício com a escolha dos eixos certos!

Imagine o caso da figura acima. O bloco é solto no plano inclinado que possui inclinação dada pelo ângulo θ . Se formos parar pra prever o movimento, a única coisa que sabemos é que o bloco não vai saltar do nada, e nem vai entrar no plano inclinado, então concluímos que a única aceleração do bloco está na direção do plano inclinado.

Sabendo disso, nosso próximo passo é fazer o diagrama de corpo livre do bloco. Usando os conceitos aprendidos, sabemos que o peso estará apontando para baixo e a normal estará perpendicular à superfície do plano inclinado.

Consideramos aqui que não existe atrito entre o plano inclinado e o bloco.

Agora chegamos ao momento do “pulo do gato” quando trabalhamos com plano inclinado: a escolha dos eixos.

Já concluímos que a aceleração estará na direção do plano, portanto, o eixo escolhido será aquele que está na mesma direção dessa aceleração, pois assim, poderemos considerar a aceleração no outro eixo, que necessariamente é perpendicular à esse, nula.

Se liga na imagem:

As duas setas cinzas indicam o sistema de eixos que escolhemos para analisar o nosso problema. Além disso, perceba que a força peso, que agora ficou meio perdida com esse novo sistema de eixos, faz um ângulo θ com o eixo normal à superfície do plano.

Agora o nosso trabalho é decompor todas as forças que não estão na direção do eixo que nós escolhemos, nesse caso, somente a força peso.

Calma aí! Estamos quase no fim. Escolhemos o sistema de eixos e não temos mais nenhuma força a ser decomposta. É hora de aplicar a segunda lei de Newton!

Como vamos aplicar uma para cada eixo, vamos lembrar da nossa conclusão lá no começo: A aceleração na direção normal ao plano inclinado é nula.

∑ T o d a s   a s   f o r ç a s   n a   d i r e ç ã o   n o r m a l = m a n o r m a l → N - P c o s θ = 0

N = P c o s θ

Aplicando a segunda lei, agora na direção do plano inclinado:

∑ T o d a s   a s   f o r ç a s   n a   d i r e ç ã o   d o   p l a n o = m a → P s e n θ = m g s e n θ = m a

Logo:

a = g s e n θ

Onde g é a aceleração da gravidade.

Os exercícios de plano inclinado são muito diversos e podem incluir todos os tipos de forças, no entanto, a escolha conveniente dos eixos irá sempre te ajudar a fazer a análise e a aplicação da segunda lei.

Ah,neste caso simples percebemos que com esta escolha conseguimos eliminar uma variável somente com argumentos físicos, concluindo que a aceleração normal é zero.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um bloco de massa m , está apoiado em um plano inclinado, que possui um ângulo θ com a horizontal. Sabendo que o bloco desliza sem atrito pelo plano inclinado, determine o módulo da aceleração do bloco e o valor da força normal que a superfície faz nele. Considere que o módulo da aceleração da gravidade é g .

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Passo 1

Temos os seguintes dados do enunciado

Dados m θ F g

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças no DCL

  • A massa dele é considerada?
  • Sim, ele tem massa.

  • Ela esta encostada em alguma superfície?
  • Sim, o sistema está apoiado no chão.

  • Tem algum fio?
  • Não, não existe fio atuando.

  • Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O DCL do bloco fica

Quando temos um exercício de plano inclinado, é mais fácil considerarmos a horizontal e vertical em relação à superfície inclinada, isso facilita nossas contas porque ele não tem movimento vertical em relação a essa superfície. O DCL ficaria

O ângulo θ fica na força peso com a vertical quando fazemos isso.

Passo 2

No e i x o   x , temos apenas a componente x da força peso atuando

F r = P x

Devemos encontrar P x usando a “regra do COlado, SEparado”.

P x = P sen ⁡ θ = m g sen ⁡ θ

m a = m g sen ⁡ θ

a = m g sen ⁡ θ m = g sen ⁡ θ

Passo 3

No e i x o   y temos equilíbrio das forças, tendo

N = P y

Devemos encontrar P y usando a “regra do COlado, SEparado”.

P y = P cos ⁡ θ = m g cos ⁡ θ

N = m g cos ⁡ θ

Resposta

a = g sen ⁡ θ

N = m g cos ⁡ θ

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 119-32

Na Fig. 5-41, um caixote de massa m = 100   k g é empurrado por uma força horizontal F → que o faz subir uma rampa sem atrito ( θ = 30 ° ) com velocidade constante. Quais são os módulos de F → e (b) da força que a rampa exerce sobre o caixote?

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Passo 1

Para facilitar a análise do movimento mais facilmente, vamos estuda-lo nos dos eixos especiais: na direção do plano e perpendicularmente ao plano. Como de costume, vamos decompor todas as forças que agem no bloco nos eixos que escolhemos:

Uma parte importante do enunciado é que a caixa sobe a rampa com velocidade constante, ou seja, a resultante das forças na direção do plano é nula.

Passo 2

Usaremos agora o fato de que a resultante na direção do plano é nula para encontrar o módulo de F :

F c o s θ - P s e n θ = 0

Substituindo os valores de P e de θ :

F = 9,8   .   100   .   3 3 → F = 980 3 3   N

Passo 3

Agora que sabemos o valor de F , e sabendo também que o valor de N será tal que a resultante no eixo normal ao plano também seja nula, já que não há deslocamento da caixa nessa direção.

F s e n θ + P c o s θ - N = 0

Substituindo os valores conhecidos:

N = 980 3 3 . 1 2 + 980   . 3 2 → N = 1960 3 3   N

Resposta

  1. F = 980 3 3   N
  2. N = 1960 3 3   N

Exercício Resolvido #3

UNICAMP-P1-2014.1B-Q14

Uma caixa está em repouso em um plano inclinado, sem deslizar, conforme a figura. Se aumentarmos continuamente o ângulo de inclinação do plano (medido a partir da horizontal), o módulo da força normal:

a) decresce de forma não linear.

b) não muda.

c) decresce linearmente.

d) aumenta de forma não linear.

e) aumenta linearmente.

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Passo 1

Se decompusermos a força peso nessa caixa, ficaremos com a seguinte figura:

Onde:

P x = P sen ⁡ θ

P y = P cos ⁡ θ

Visto que a caixa está em repouso, a força resultante sobre a caixa tem que ser nula, portanto:

N - P y = 0

N = P y

Logo:

N = P cos ⁡ θ

Vamos agora ver o que acontece com a normal se aumentarmos o valor de θ .

O P permanece o mesmo, mas o cos ⁡ θ se altera, e sabemos que aumentando o ângulo, o cosseno fica cada vez menor, até chegar em θ = 90 ° , onde o cosseno será zero e portanto não haverá mais força normal. Logo, aumentando o ângulo, a força normal diminui.

Agora, analisando as alternativas ainda ficamos em duvida entre duas.

Alternativa a : decresce de forma não linear.

Alternativa c : decresce linearmente.

Então precisamos saber o que diabos significa decrescer de forma linear ou não linear.

Vou dar alguns exemplos:

A função:

x = 6 t

É uma função linear, porque se dobrarmos o t , iremos automaticamente dobrar o x , isso que significa linearidade.

Diferente da função:

x = cos ⁡ θ

Está é uma função não linear, pois se dobrarmos o θ , não iremos dobrar o x , pois:

cos ⁡ 2 θ ≠ 2 cos ⁡ θ

Voltando ao nosso problema, temos:

N = P cos ⁡ θ

Onde o θ está envolvido com o cosseno que como acabamos de ver é não linear. Logo, ao aumentarmos o θ , a força normal irá decrescer não linearmente.

Resposta

Alternativa a .

Exercício Resolvido #4

UNICAMP-P1-2015.1-Q12

Dois blocos ligados entre si por uma corda estão pendurados em um plano inclinado, de acordo com a figura abaixo. Não há atrito entre os blocos e o plano inclinado.

A tração medida na corda que liga o bloco de massa m 1 à parede é três vezes maior que a tração que liga o bloco m 2 ao bloco m 1 . É correto afirmar que a razão entre as massas r = m 1 m 2 vale:

  1. r = 3
  2. r = 2
  3. r = 1
  4. r = 1 2
  5. r = 1 3
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Passo 1

Primeiro vamos desenhar as forças que atuam em cada corpo:

Sabemos que na direção paralela ao plano inclinado ocorre o equilíbrio das forças. Escolhendo um eixo paralelo ao plano e no sentido de subida do plano, podemos aplicar a segunda lei de Newton para o bloco 1:

T 1 - T 2 - P 1 sen ⁡ θ = 0

3 T 2 - T 2 = m 1 g sen ⁡ θ

m 1 = 2 T 2 g sen ⁡ θ

Para o bloco 2:

T 2 - P 2 sen ⁡ θ = 0

T 2 = m 2 g sen ⁡ θ

m 2 = T 2 g sen ⁡ θ

Agora encontrando a razão r :

r = m 1 m 2 = 2 T 2 g sen ⁡ θ T 2 g sen ⁡ θ = 2

Resposta

Letra (b)

Exercício Resolvido #5

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 122-68

A Fig. 5-60 mostra parte de um teleférico. A massa máxima permitida de cada cabina com passageiros é de 28 00   k g . As cabinas que estão penduradas em um cabo de sustentação, são puxadas por um segundo cabo ligado à torre de sustentação de cada cabina. Suponha que os cabos estão esticados e inclinados de um ângulo θ = 35 ° . Qual é a diferença entre as tensões de partes vizinhas do cabo que puxa as cabines se as cabinas estão com a máxima massa permitida e estão sendo aceleradas para cima a 0,81   m / s 2 .

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Passo 1

Nesse exercício, para reforçar mais ainda a ideia de usar os eixos na direção do movimento e perpendicular a ele, as trações, que constituem nosso objetivo, também estão na direção do movimento. Fazendo as decomposições na direção do movimento, já que as componentes no eixo normal não são interessantes para nós, temos:

Passo 2

Foi dada a aceleração das cabines, a massa delas e nós já temos as forças que agem na direção da aceleração, agora é só aplicar a segunda lei de Newton!

T 1 - T 2 - P s e n θ = m a

Substituindo os valores conhecidos:

T 1 - T 2 - 28 00   .   9,8   .   s e n 35 ° = 28 00   .   0,81 = 2268

E então:

T 1 - T 2 ≅ 18005   N