Teoria

No plano inclinado temos uma superfície onde a altura inicial é diferente da altura final, formando assim um ângulo em relação à horizontal.

O que é um Plano Inclinado?

Pra identificar um plano inclinado é muito simples! Ele é uma superfície plana, como o próprio nome sugere, que forma um ângulo em relação ao eixo horizontal. Assim:

Plano Inclinado
Plano Inclinado

Ao estudar plano inclinado estamos muito interessados em entender como funciona o movimento de um objeto nessa superfície.

A principal novidade que vamos apresentar hoje é como fazer a decomposição das forças que atuam em um objeto se movimentando em um plano inclinado. Isso vai ser essencial na hora de resolver exercícios!

Se liga como vai ficar a decomposição de forças pro nosso exemplo:

Decomposição das forças: Plano inclinado
Decomposição das forças: Plano inclinado

Não se assusta! A gente vai aprender como decompor as forças e resolver problemas envolvendo plano inclinado! 🤩

Aceleração no Plano Inclinado

Bora aprender na prática?!

Como encontrar a aceleração do sistema abaixo, se o bloco possuir massa e o ângulo ?

Aceleração no Plano Inclinado
Aceleração no Plano Inclinado

O principal pulo do gato aqui é saber utilizar os eixos cartesianos pra facilitar a nossa vida! Assim:

Plano Inclinado: Escolha dos eixos
Plano Inclinado: Escolha dos eixos

No nosso exemplo, o bloco é solto no plano inclinado que possui inclinação dada pelo ângulo .

Se formos parar pra prever o movimento, a única coisa que sabemos é que o bloco não vai saltar do nada, e nem vai entrar no plano inclinado, então concluímos que a única aceleração do bloco está na direção do plano inclinado. Assim:

Direção da aceleração
Direção da aceleração

Se a única aceleração do bloco está na direção do plano inclinado, então podemos dizer que:

Nosso próximo passo é fazer o diagrama de corpo livre do bloco. Onde, o peso estará apontando para o centro da terra e a normal estará perpendicular à superfície do plano inclinado.

Diagrama do corpo livre
Diagrama do corpo livre

O enunciado do problema não menciona atrito, então, consideramos que não existe atrito entre o plano inclinado e o bloco.

-Mas se existisse atrito?!

Nesse caso, precisaríamos adicionar uma força de atrito na mesma direção que o vetor aceleração, mas no sentido oposto.

Voltando ao nosso problema, vamos decompor as forças atuantes no bloco, é como se a gente tivesse fazendo uma “conversão” dessas forças pro nosso eixo escolhido:

Decomposição das forças.
Decomposição das forças.

A gente não conhece nem nem , mas podemos calcular facilmente fazendo:

Então a gente precisa relacionar à e , para isso fazemos:

Utilizando a segunda lei de newton, podemos escrever:

Mas como falamos lá em cima, a aceleração em é igual a zero, então a gente pode ignorar . Agora, igualando e :

Cortando as massas:

Finalmente podemos calcular a aceleração:

Prontinho! 🤩

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Aceleração no Plano Inclinado

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Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um bloco de massa m , está apoiado em um plano inclinado, que possui um ângulo θ com a horizontal. Sabendo que o bloco desliza sem atrito pelo plano inclinado, determine o módulo da aceleração do bloco e o valor da força normal que a superfície faz nele. Considere que o módulo da aceleração da gravidade é g .

Passo 1

Temos os seguintes dados do enunciado

Dados m θ F g

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças no DCL

  • A massa dele é considerada?
  • Sim, ele tem massa.

  • Ela esta encostada em alguma superfície?
  • Sim, o sistema está apoiado no chão.

  • Tem algum fio?
  • Não, não existe fio atuando.

  • Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O DCL do bloco fica

Quando temos um exercício de plano inclinado, é mais fácil considerarmos a horizontal e vertical em relação à superfície inclinada, isso facilita nossas contas porque ele não tem movimento vertical em relação a essa superfície. O DCL ficaria

O ângulo θ fica na força peso com a vertical quando fazemos isso.

Passo 2

No e i x o   x , temos apenas a componente x da força peso atuando

F r = P x

Devemos encontrar P x usando a “regra do COlado, SEparado”.

P x = P sen ⁡ θ = m g sen ⁡ θ

m a = m g sen ⁡ θ

a = m g sen ⁡ θ m = g sen ⁡ θ

Passo 3

No e i x o   y temos equilíbrio das forças, tendo

N = P y

Devemos encontrar P y usando a “regra do COlado, SEparado”.

P y = P cos ⁡ θ = m g cos ⁡ θ

N = m g cos ⁡ θ

Resposta

a = g sen ⁡ θ

N = m g cos ⁡ θ

Exercício Resolvido #2

Na Fig. 5-41, um caixote de massa m = 100   k g é empurrado por uma força horizontal F → que o faz subir uma rampa sem atrito ( θ = 30 ° ) com velocidade constante. Quais são os módulos de F → e (b) da força que a rampa exerce sobre o caixote?

Passo 1

Para facilitar a análise do movimento mais facilmente, vamos estuda-lo nos dos eixos especiais: na direção do plano e perpendicularmente ao plano. Inicialmente as forças atuantes são essas aqui:

Decompondo as forças nos eixos especiais temos:

Uma parte importante do enunciado é que a caixa sobe a rampa com velocidade constante, ou seja, a resultante das forças na direção do plano é nula.

Passo 2

Vamos agora fazer o equilíbrio das forças no eixo paralelo ao plano já que é o que tem menos componentes e será mais fácil da gente analisar:

∑ F = F c o s θ - P s e n θ = 0

Vamos isolar a força F :

F = P s e n θ c o s θ = P t g θ

Onde a força peso é:

P = m g = 100 × 9,8 = 980 N

Como θ = 30 ° , podemos encontrar a força substituindo:

F = 980 × t g 30 = 565,8 N

Passo 3

Agora que sabemos o valor de F podemos encontrar a força normal ao plano fazendo o somatório das forças pro eixo perpendicular ao plano:

∑ F = F s e n θ + P c o s θ - N = 0

N = F s e n θ + P s e n θ

Substituindo os valores que a gente já calculou temos:

N = 565,8 s e n 30 + 980 cos ⁡ 30 = 1131,6 N

Resposta

  1. F = 565,8 N
  2. N = 1131,6   N

Exercício Resolvido #3

Uma caixa está em repouso em um plano inclinado, sem deslizar, conforme a figura. Se aumentarmos continuamente o ângulo de inclinação do plano (medido a partir da horizontal), o módulo da força normal:

a) decresce de forma não linear.

b) não muda.

c) decresce linearmente.

d) aumenta de forma não linear.

e) aumenta linearmente.

Passo 1

Se decompusermos a força peso nessa caixa, ficaremos com a seguinte figura:

Onde:

P x = P sen ⁡ θ

P y = P cos ⁡ θ

Visto que a caixa está em repouso, a força resultante sobre a caixa tem que ser nula, portanto:

N - P y = 0

N = P y

Logo:

N = P cos ⁡ θ

Vamos agora ver o que acontece com a normal se aumentarmos o valor de θ .

O P permanece o mesmo, mas o cos ⁡ θ se altera, e sabemos que aumentando o ângulo, o cosseno fica cada vez menor, até chegar em θ = 90 ° , onde o cosseno será zero e portanto não haverá mais força normal. Logo, aumentando o ângulo, a força normal diminui.

Agora, analisando as alternativas ainda ficamos em duvida entre duas.

Alternativa a : decresce de forma não linear.

Alternativa c : decresce linearmente.

Então precisamos saber o que diabos significa decrescer de forma linear ou não linear.

Vou dar alguns exemplos:

A função:

x = 6 t

É uma função linear, porque se dobrarmos o t , iremos automaticamente dobrar o x , isso que significa linearidade.

Diferente da função:

x = cos ⁡ θ

Está é uma função não linear, pois se dobrarmos o θ , não iremos dobrar o x , pois:

cos ⁡ 2 θ ≠ 2 cos ⁡ θ

Voltando ao nosso problema, temos:

N = P cos ⁡ θ

Onde o θ está envolvido com o cosseno que como acabamos de ver é não linear. Logo, ao aumentarmos o θ , a força normal irá decrescer não linearmente.

Resposta

Alternativa a .

Exercício Resolvido #4

Dois blocos ligados entre si por uma corda estão pendurados em um plano inclinado, de acordo com a figura abaixo. Não há atrito entre os blocos e o plano inclinado.

A tração medida na corda que liga o bloco de massa m 1 à parede é três vezes maior que a tração que liga o bloco m 2 ao bloco m 1 . É correto afirmar que a razão entre as massas r = m 1 m 2 vale:

  1. r = 3
  2. r = 2
  3. r = 1
  4. r = 1 2
  5. r = 1 3

Passo 1

Primeiro vamos desenhar as forças que atuam em cada corpo:

Sabemos que na direção paralela ao plano inclinado ocorre o equilíbrio das forças. Escolhendo um eixo paralelo ao plano e no sentido de subida do plano, podemos aplicar a segunda lei de Newton para o bloco 1:

T 1 - T 2 - P 1 sen ⁡ θ = 0

3 T 2 - T 2 = m 1 g sen ⁡ θ

m 1 = 2 T 2 g sen ⁡ θ

Para o bloco 2:

T 2 - P 2 sen ⁡ θ = 0

T 2 = m 2 g sen ⁡ θ

m 2 = T 2 g sen ⁡ θ

Agora encontrando a razão r :

r = m 1 m 2 = 2 T 2 g sen ⁡ θ T 2 g sen ⁡ θ = 2

Resposta

Letra (b)

Exercício Resolvido #5

A Fig. 5-60 mostra parte de um teleférico. A massa máxima permitida de cada cabina com passageiros é de 28 00   k g . As cabinas que estão penduradas em um cabo de sustentação, são puxadas por um segundo cabo ligado à torre de sustentação de cada cabina. Suponha que os cabos estão esticados e inclinados de um ângulo θ = 35 ° . Qual é a diferença entre as tensões de partes vizinhas do cabo que puxa as cabines se as cabinas estão com a máxima massa permitida e estão sendo aceleradas para cima a 0,81   m / s 2 .

Passo 1

Nesse exercício, para reforçar mais ainda a ideia de usar os eixos na direção do movimento e perpendicular a ele, as trações, que constituem nosso objetivo, também estão na direção do movimento. Fazendo as decomposições na direção do movimento, já que as componentes no eixo normal não são interessantes para nós, temos:

Passo 2

Foi dada a aceleração das cabines, a massa delas e nós já temos as forças que agem na direção da aceleração, agora é só aplicar a segunda lei de Newton!

T 1 - T 2 - P s e n θ = m a

Substituindo os valores conhecidos:

T 1 - T 2 - 28 00   .   9,8   .   s e n 35 ° = 28 00   .   0,81 = 2268

E então:

T 1 - T 2 ≅ 18005   N

Passo 3

Aí você me pergunta: Mas só foi calculada a diferença entre as trações da cabine do meio, não?

A resposta é: Sim. Fizemos a análise do movimento de somente uma cabine, mas, se formos fazer das outras, perceberemos que é idêntico. As cabines possuem as mesmas massas, sofrem ação de forças de mesma direção e ainda estão sob a mesma aceleração. Portanto, a resposta encontrada para uma cabine pode ser generalizada.

Resposta

∆ T ≅ 18005   N

Exercício Resolvido #6

Um cunha de peso P M = 8,0   N e ângulo α = 45 ° está sobre uma superfície horizontal sem atrito. Um bloco de peso P m = 2,0   N é posto sobre a cunha e uma força horizontal F → é aplicada na cunha (veja a figura). Também não há atrito entre o bloco e a cunha. Qual deve ser o módulo de F → se queremos que o bloco permaneça a uma altura constante acima da superfície horizontal?

Passo 1

Antes de tudo, diagrama das forças no sistema.

Passo 2

Normalmente, a gente decompõe as forças na direção paralela e perpendicular à rampa...

PORÉM, nesse caso queremos descobrir uma força F que atua na horizontal, para isso, precisamos descobrir a aceleração do bloco na direção dessa força F (horizontal).

Então, diferente do que estamos acostumados para um plano inclinado, vamos decompor as forças nos eixos padrões, x (horizontal) e y (vertical):

Assumindo que o corpo não se mexe verticalmente, no eixo y temos:

F R = 0

N ⋅ cos ⁡ α - m g = 0

E no eixo x :

F R = m a

N ⋅ sen ⁡ α = m a

Se dividirmos uma equação pela outra vamos ter

N s e n α N c o s α = m a m g

t g α = a g

Como α = 45 °

a g = t g 45 ° = 1

a = g

Ou seja, o módulo da aceleração correspondente à força F é igual à aceleração da gravidade.

Passo 3

Olhando para o sistema, a força resultante sobre o plano e o bloco é

F = M + m a

Como já sabemos a = g

F = M + m g = M g + m g

Os dois termos na direita são os pesos do bloco e do plano que foram dados no enunciado, assim

F = P M + P m = 8 + 2

F = 10 N

Resposta

F = 10   N

Exercícios de Livros Relacionados

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