Polias Móveis

Teoria Completa

Introdução

Até agora só tivemos contato com polias fixas, que auxiliam somente na mudança da direção da força. Mas o que fazem as polias móveis? Elas são capazes de reduzir a quantidade de força que é necessário aplicar pra puxar um bloco e em casos com mais de um bloco pode trazer o equilíbrio pra um sistema com blocos de massas diferentes ou até mesmo fazer um bloco com menor massa puxar um de maior massa.

Polias móveis com um bloco

Vamos aprender sobre elas calculando a aceleração do sistema abaixo se uma força de 100N é aplicada pra puxar o bloco de massa m = 12 k g .

Vamos usar aqui alguns conceitos já aprendidos:

I) A tensão é a mesma em todo o comprimento do fio;

II) Os fios são inextensíveis;

Na extremidade onde a força é aplicada a gente sabe por esses conceitos que:

F = T

Mas na segunda polia, a gente precisa do diagrama de corpo livre pra analisar o que rola com a tração:

Considerando o equilíbrio da polia móvel, a gente faz o somatório das forças:

∑ F y ↓ = T 2 - 2 T = 0

T 2 = 2 T = 2 F

Com essas considerações, vamos fazer o Diagrama de corpo livre do bloco e avaliar o que rola por lá:

E repara o seguinte, a gente aplicou F pra puxar o bloco mas a força que puxa o bloco é T 2 = 2 F é o dobro! Então, cada polia móvel no sistema é capaz de dobrar a força pra puxar o bloco, inclusive há uma relação entre F e T n que é a seguinte:

F = T n 2 n

Onde n é o número de polias móveis no sistema.

Como somente forças verticais são aplicadas no corpo, temos que a aceleração é necessariamente vertical, considerando o referencial pra cima positivo temos:

2 T - P = m 2 a

Como P = m 2 g e T = F , temos que:

2 F - m 2 g = m 2 a

E concluímos que a aceleração do bloco é dada por:

a = 2 F - m 2 g m 2

Substituindo a gente vai ter:

a = 2 × 100 - 12 × 9,81 12 = 6,85 m / s 2

Não é o caso do nosso exemplo mas se o enunciado da questão disser que o sistema está em equilíbrio a gente faz o somatório das forças igual a zero.

∑ F y = 2 T - P = 0

E aí temos a seguinte relação de P e T .

2 T = P

Polias móveis com mais de um bloco

E se ao invés da força aplicada a gente tiver a seguinte situação?

Se o bloco azul possui massa m 1 = 5 k g e o bloco verde m 2 = 6 k g calcule a aceleração do bloco 2(Verde) se a relação entre as acelerações dos blocos é a 1 a 2 = 2 .

Galera aqui é o seguinte vamos fazer o diagrama de corpo livre de cada bloco e relacionar as trações e a partir disso, encontrar uma relação das acelerações e usar a equação dada.

No bloco azul a gente tem:

Aqui vamos arbitrar o sentido da aceleração, vou arbitrar que para a esquerda é positivo em x e que para baixo é positivo em y .

∑ F = m a

T = m 1 a 1

Na polia a gente vai ter o seguinte:

E daqui a gente tira que:

T 2 = 2 T

E o DCL do bloco verde vai ficar:

E aplicando a segunda lei de Newton:

∑ F y = P 2 - T 2 = m 2 a 2

P 2 - 2 T = m 2 a 2

Substituindo a equação pra T encontrada do bloco azul na equação do bloco verde temos:

P 2 - 2 × m 1 a 1 = m 2 a 2

Substituindo cada valor P = m g e a 1 = 2 a 2

m 2 g - 4 m 1 a 2 = m 2 a 2

m 2 g = m 2 a 2 + 4 m 1 a 2

Colocando em evidência:

m 2 g = a 2 4 m 1 + m 2

a 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

Substituindo os valores:

a 2 = 6 × 9,81 4 × 5 + 6 = 2,26 m / s 2

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP- P1-2011-Q4

Na figura abaixo tem-se uma massa m 1 que está conectada a uma massa m 2 através das polias P 1 e P 2 que tem massas despreziveis. Supondo que a massa m 1 desliza sobre a mesa sem atrito e que a aceleração da massa m 2 é vertical e para baixo, pede-se:

(a) Coloque em um diagrama todas as forças que atuam no sistema.

(b) Determinar o valor numérico da razão a 1 / a 2   , considerando os fios inextensíveis.

(c) Determinar as trações T 1 e T 2 em função de g , m 1 e m 2 .

(d) Determinar as acelerações a 1 e a 2 .

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Passo 1

a)

As forças que atuam no sistema estão representadas na figura abaixo, onde F corresponde a força de apoio da polia que anula a resultante das forças T 2 que atuam nessa polia e geram uma resultante no sentido oposto de F .

Passo 2

b)

Devido a polia não fixa que liga o bloco de massa m 1 ser conectada por 3 fios, quando a massa m 2 se deslocar de um comprimento L a massa m 1 se deslocará de um comprimento 2 L . Portanto, como o bloco m 1 terá que percorrer o dobro da distância no mesmo tempo, a aceleração dele terá que ser o dobro. Então, a 1 = 2 a 2 , logo:

a 1 a 2 = 2

Passo 3

c)

Vamos primeiramente escrever as equações de movimentos para os três corpos que possuem aceleração diferente de zero que são as massas m 1 e m 2 e a polia P 1 .

T 1 = m 1 a 1                                                           1

m 2 g - T 2 = m 2 a 2                               2

T 2 - 2 T 1 = m p 1 a 2                               ( 3 )

Devido a massa das polias serem desprezíveis, da equação 3 vamos ter:

T 2 - 2 T 1 = 0

T 2 = 2 T 1

Substituindo isso na equação 2 obtemos:

m 2 g - 2 T 1 = m 2 a 2

2 T 1 = m 2 g - m 2 a 2

Substituindo a aceleração que encontramos no item b :

2 T 1 = m 2 g - m 2 a 1 2

Da equação 1 temos que:

a 1 = T 1 m 1

Substituindo isso:

2 T 1 = m 2 g - m 2 T 1 2 m 1

2 T 1 + m 2 T 1 2 m 1 = m 2 g

T 1 2 + m 2 2 m 1 = m 2 g

T 1 4 m 1 + m 2 2 m 1 = m 2 g

Logo T 1 vale:

T 1 = 2 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

E T 2 vale 2 vezes o T 1 , ou seja:

T 2 = 4 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

Passo 4

d)

Basta utilizar a equação 1 do item anterior e substituir o valor da tração:

a 1 = T 1 m 1

a 1 = 2 m 2 g 4 m 1 + m 2

E

a 2 = a 1 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

Resposta

a)

b) a 1 / a 2 = 2

c)

T 1 = 2 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

T 2 = 4 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

d)

a 1 = 2 m 2 g 4 m 1 + m 2

a 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-B-2012.2 Q3

Considere o mecanismo apresentado na figura, onde o bloco 1 está apoiado em uma superfície sem atrito e o bloco 2 está sustentado por uma polia móvel sem massa (corpo 3 na figura). A polia fixa é ideal. O fio A (ideal) conecta o bloco 1 à polia móvel e está fixo ao teto. O fio B (ideal) sustenta o bloco 2 à polia 3.

Neste mecanismo, devido ao vínculo existente entre o fio A e a polia móvel, o módulo da aceleração do bloco 1, a 1 é o dobro do módulo da aceleração do bloco 2, a 2 .

As massas dos blocos são m 1 = 1,0   k g e m 2 = 0,90   k g . A massa da polia móvel m 3 = 0   k g . Use g = 9,8   m / s 2 .

a) Represente os diagramas de corpo livre para os blocos 1 e 2 e para a polia móvel 3, explicitando todas as forças que atuam neles.

b) Escolha sistemas de coordenadas adequados para cada corpo (explicite-os!) e escreva as equações literais (não substitua ainda os valores das massas ou g !) resultantes das leis de Newton para os três corpos.

c) A partir das equações do item b obtenha literalmente a 1 e então substitua os valores fornecidos para encontrar o valor numérico do módulo de a 1 .

d) Obtenha o módulo da tração exercida pelo fio B sobre o bloco 2.

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Passo 1

a)

Basta representar as forças em cada corpo:

Passo 2

b)

O bloco 1 só tem movimento para a direita, enquanto o bloco 2 e a polia tem movimento vertical para baixo. Assim, pelo acoplamento dos dois movimentos, vamos definir para o bloco 1 o eixo x positivo para a esquerda e para o bloco 2 e polia, definimos o eixo y positivo para baixo.

Para o corpo 1:

∑ F x 1 = T 1 = m 1 . a 1             ( 1 )

∑ F y 1 = N 1 - P 1 = 0               ( 2 )

Para o corpo 2:

∑ F y 2 = P 2 - T 2 = m 2 . a 2             ( 3 )

Para a polia móvel:

∑ F y 3 = T 2 - T 1 ' - T 1 ' = m 3 . a 3 = 0

T 2 = 2 T 1 '                                 ( 4 )

Passo 3

c)

Foi dado que a 1 = 2 a 2 (equação de vínculo) (5)

Por outro lado, como as polias são não massivas e o fio 1 inextensível, o módulo de T 1 é igual ao módulo de T 1 '

T 1 = T 1 '       ( 6 )

Usando estas informações, ficamos com as seguintes equações:

T 1 = m 1 . a 1       A

T 2 - 2 T 1 = 0       B

m 2 g - T 2 = m 2 a 1 2       ( C )

Se somamos 2 A + B + C temos:

m 2 g = 2 m 1 . a 1 + 1 2 m 2 . a 1

a 1 = g . 2 m 2 4 m 1 + m 2 = 9,8 . 2   .   0,9 4 + 0,9

a 1 = 3,6   m / s 2

Passo 4

d)

Da equação 3 :

T 2 = m 2 g - a 2

Temos:

a 2 = a 1 2 = 1,8   m / s 2

Daí:

T 2 = 0,9 . 9,8 - 1,8

T 2 = 7,2   N

Resposta

a)

b)

Para o corpo 1:

T 1 = m 1 . a 1

N 1 = P 1

Para o corpo 2:

P 2 - T 2 = m 2 . a 2

Para a polia móvel:

T 2 = 2 T 1 '

c) a 1 = 3,6   m / s 2

d) T 2 = 7,2   N

Exercício Resolvido #3

USP- P1-2014-Q4

Considere o sistema com plano inclinado envolvendo polias esquematizado na figura abaixo. Não considere atrito. Assuma também que a massa das polias e dos fios são desprezíveis em comparação às massas m 1 e m 2 dos blocos 1 e 2 , respectivamente. Além disso, os fios não se esticam ou se deformam em geral. Note que a polia que sustenta o bloco 2 está conectada ao fio ligado ao bloco 1 e, assim, essa polia não está fixa.

a ) Esboce o diagrama das forças envolvidas, escreva a relação entre as diferentes tensões nos fios, e expresse a Segunda Lei de Newton para cada caso.

b ) Demonstre a relação entre a aceleração a 1 do bloco 1 e a aceleração a 2 do bloco 2 .

c ) Encontre o valor do ângulo α no qual a 1 muda de sinal.

d ) Obtenha a expressão geral para a 1

e ) Calcule o valor a 1 nos limites: m 2 / m 1 → 0 e m 1 / m 2 → 0 .

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Passo 1

a )

Como assumimos que a massa da polia pequena é nula, a força resultante sobre ela é nula e assim ela dividirá igualmente a força entre os dois fios. Portanto, vemos que T 1 = 2 T 2 .

As forças resultantes em cada corpo são:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

Passo 2

b )

Bom, vamos imaginar que o corpo 1 suba uma distância x 1 t , sendo x 1 ' ' t = a 1 . Como os fios estão conectados e sempre esticados, o corpo 2 descerá uma distância x 2 t , sendo x 2 ' ' t = a 2 .

Muito bem, agora é importante ter bastante atenção e imaginação ao observar a figura. Como os fios estão conectados e esticados, quando o corpo 1 subir uma distância x 1 t , a polia menor obrigatoriamente descerá uma distância x 1 t .

Quando a polia menor descer uma distância x 1 t , o corpo 2 descerá uma distância x 1 t , visto que seu ponto de apoio é a polia menor, se seu ponto de apoio descer, você desce junto. Mas, o fio apoiado na parte esquerda da polia menor não poderá descer essa distância x 1 t , justamente por estar preso em um suporte. O que acontecerá então? Bem, a distância x 1 t que o lado esquerdo do fio não desceu será transferido ao lado direito! Girando a polia menor e jogando mais fio do lado direito. Dessa forma, em vez de descer uma distância x 1 t , o corpo 2 descerá uma distância 2 x 1 t .

Logo, temos finalmente que:

x 2 t = 2 x 1 t

a 2 = x 2 ' ' t

a 2 = 2 x 1 t ' '

a 2 = 2 x 1 ' ' t

a 2 = 2 a 1

Passo 3

c )

A aceleração a 1 muda de sinal quando passa pelo zero. Assim, fazemos a 1 = a 2 = 0 nas equações do item a :

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 . 0

T 1 = m 1 . g . sen ⁡ α

Agora a segunda equação:

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

Lembrando que T 2 = T 1 2 , Logo:

m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 0

T 1 = 2 . m 2 . g

Igualando essas expressões encontramos:

m 1 . g . sen ⁡ α = 2 . m 2 . g

sen ⁡ α = 2 m 2 m 1

α   = arcsin ⁡ 2 m 2 m 1

Passo 4

d )

Usando que a 2 = 2 a 1 e T 1 = 2 T 2 , manipulamos as expressões para as forças resultantes para mostrar diretamente que:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

Substituindo na segunda equação:

m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 2 a 1

Ficando com o sistema:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1 m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 2 a 1

Multiplicando a segunda equação por 2 :

+ T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1 2 m 2 . g - T 1 = 4 . m 2 . a 1

Somando as equações ficamos com:

2 . m 2 . g - m 1 . g . sen ⁡ α = a 1 m 1 + 4 . m 2

a 1 = g 2 . m 2 - m 1 . sen ⁡ α m 1 + 4 . m 2

Dividindo o numerador e denominador por m 1 , ficamos com:

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

Passo 5

e )

Utilizando a expressão do item anterior, vamos começar com m 2 / m 1 → 0 que é o mais fácil:

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

a 1 m 2 / m 1 → 0     = g 2   .   0 - sen ⁡ α 4   .   0 + 1

a 1 m 2 / m 1 → 0     = - g . sen ⁡ α

Agora para analisar m 1 / m 2 → 0 , precisamos fazer isso aparecer na expressão. Então vamos multiplicar o numerador e denominador por m 1 / m 2 :

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

a 1 = g m 1 m 2 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α m 1 m 2 4 m 2 m 1 + 1

a 1 = g 2 - m 1 m 2 sen ⁡ α 4 + m 1 m 2

Logo:

a 1 m 1 / m 2 → 0     = g 2 - 0   .   sen ⁡ α 4 + 0

a 1 m 1 / m 2 → 0     = g 2

Resposta

a )

  T 1 = 2 T 2

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2