Teoria

Fala aí! Vamos agora estudar um pouquinho mais a fundo as polias móveis e entender a grande novidade que elas trazem em relação às polias fixas.

Antes disso, vale falar que tem alguns conceitos iniciais que preciso que você esteja dominando antes de prosseguirmos aqui, beleza? Se precisar dar uma revisada, saca só essa listinha que separei pra você 🤩

O que são polias móveis?

As polias móveis são aquelas que estão livres para se movimentar na corda ou cabo de tração. Diferentemente das polias fixas, elas não se encontram presas ao teto ou parede. Dá só uma olhada nessa ilustração mostrando os dois tipos:

Polia móvel (à esquerda) e polia fixa (à direita).
Polia móvel (à esquerda) e polia fixa (à direita).

Apesar dessa diferença entre os dois tipos de polias parecer bem simples, ela traz funcionalidades completamente revolucionárias. Enquanto as polias fixas só redirecionam a aplicação da força, as polias móveis são capazes de reduzir pela metade a força necessária para levantar um objeto!

E esse efeito acumula para cada polia móvel introduzida no sistema!

Incrível, né? Podemos até generalizar uma fórmula para a força que deverá ser exercida para levantar um objeto com base no número de polias móveis.

Essa força vai ser igual ao peso do objeto dividido por 2 elevado ao número de polias móveis .

Quer dizer que se a gente tiver um sistema como esse aqui:

Sistema com 3 polias móveis e uma fixa.
Sistema com 3 polias móveis e uma fixa.

Com um total de três polias móveis, qual deve ser o valor de , aplicada ali na extremidade da corda que passa pela polia fixa, para levantar um bloco de madeira de ?

Bora aplicar naquela fórmula? Com e :

Precisamos exercer somente para levantar um total de com essa configuração!

Percebe o tanto que as polias móveis podem ser úteis no nosso dia a dia?

Bora ver como funciona isso na aplicação em sistemas com um ou mais objetos.

Polia móvel com um bloco

Vamos aplicar esses conceitos que acabamos de aprender um pouquinho mais detalhadamente no seguinte exemplo.

Exemplo: Calcule a aceleração do sistema abaixo se uma força de 100 N é aplicada para levantar o bloco de massa .

Exemplo de um sistema de polias.
Exemplo de um sistema de polias.

Temos sempre que ter em mente dois conceitos:

  1. A tensão é a mesma em todo o comprimento do fio;
  2. Os fios estão sempre tensionados e são inextensíveis.

A partir destes conceitos, podemos chegar na seguinte equivalência ali na extremidade em que a força é aplicada:

Já para a polia móvel, vamos montar um diagrama de corpo livre e analisar o que tá rolando ali.

Diagrama de corpo livre para a polia móvel.
Diagrama de corpo livre para a polia móvel.

Considerando o equilíbrio da polia móvel, precisamos que tudo o que aponta para cima seja igual ao que aponta para baixo.

Como já sabemos que :

Com isso em mente, podemos fazer o diagrama de corpo livre para o bloco.

Diagrama de corpo livre para o bloco.
Diagrama de corpo livre para o bloco.

Chegamos que a força resultante nesse bloco é, adotando o referencial para cima positivo:

Mas, lembra que a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é o produto da massa pela aceleração? Então podemos escrever o seguinte:

Se isolarmos a aceleração, ficamos assim:

E aí é só substituir os valores e resolver, lembrando que é a massa vezes a gravidade.

Tranquilo, né? E se a gente tivesse mais de uma polia móvel no sistema, seria só seguir o que fizemos aqui: montar o diagrama de corpo livre para cada uma e fazer a correspondência das forças.

Então bora complicar só um pouquinho mais.

Polias móveis com mais de um bloco

E se agora a gente tivesse uma situação parecida com essa aqui:

Exemplo de polias móveis com mais de um bloco.
Exemplo de polias móveis com mais de um bloco.

Se o bloco azul possui massa e o bloco verde , calcule a aceleração do bloco 2 (verde) se a relação entre as acelerações dos blocos é .

Bora começar com o diagrama de corpo livre do bloco azul:

Diagrama de corpo livre para o bloco azul.
Diagrama de corpo livre para o bloco azul.

Percebe que a resultante vai ser só aquele no sentido positivo de ? Já que as forças e em vão se anular.

Então, da segunda lei de Newton, vamos ter:

Como a polia fixa só vai redirecionar a força, não precisamos fazer nenhuma análise nela.

Bora para a polia móvel:

Diagrama de corpo livre para a polia móvel.
Diagrama de corpo livre para a polia móvel.

Daqui, a gente tira que:

E, para o bloco verde:

Diagrama de corpo livre para o bloco verde.
Diagrama de corpo livre para o bloco verde.

Aplicando a segunda lei de Newton:

E, como o vale :

Mas lá do bloco azul, descobrimos que , então:

Queremos encontrar o valor de , né? Então bora substituir , daquela relação fornecida pelo enunciado. Já vamos substituir o peso também.

Agora é só substituir os valores e resolver para .

Tá aí a nossa resposta, sem segredos! Bora praticar com mais algumas variações desses exercícios para ficarmos craques.

Polia móvel com um bloco

Polias móveis com mais de um bloco

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Na figura abaixo tem-se uma massa m 1 que está conectada a uma massa m 2 através das polias P 1 e P 2 que tem massas despreziveis. Supondo que a massa m 1 desliza sobre a mesa sem atrito e que a aceleração da massa m 2 é vertical e para baixo, pede-se:

(a) Coloque em um diagrama todas as forças que atuam no sistema.

(b) Determinar o valor numérico da razão a 1 / a 2   , considerando os fios inextensíveis.

(c) Determinar as trações T 1 e T 2 em função de g , m 1 e m 2 .

(d) Determinar as acelerações a 1 e a 2 .

Passo 1

a)

As forças que atuam no sistema estão representadas na figura abaixo, onde F corresponde a força de apoio da polia que anula a resultante das forças T 2 que atuam nessa polia e geram uma resultante no sentido oposto de F .

Passo 2

b)

Devido a polia não fixa que liga o bloco de massa m 1 ser conectada por 3 fios, quando a massa m 2 se deslocar de um comprimento L a massa m 1 se deslocará de um comprimento 2 L . Portanto, como o bloco m 1 terá que percorrer o dobro da distância no mesmo tempo, a aceleração dele terá que ser o dobro. Então, a 1 = 2 a 2 , logo:

a 1 a 2 = 2

Passo 3

c)

Vamos primeiramente escrever as equações de movimentos para os três corpos que possuem aceleração diferente de zero que são as massas m 1 e m 2 e a polia P 1 .

T 1 = m 1 a 1                                                           1

m 2 g - T 2 = m 2 a 2                               2

T 2 - 2 T 1 = m p 1 a 2                               ( 3 )

Devido a massa das polias serem desprezíveis, da equação 3 vamos ter:

T 2 - 2 T 1 = 0

T 2 = 2 T 1

Substituindo isso na equação 2 obtemos:

m 2 g - 2 T 1 = m 2 a 2

2 T 1 = m 2 g - m 2 a 2

Substituindo a aceleração que encontramos no item b :

2 T 1 = m 2 g - m 2 a 1 2

Da equação 1 temos que:

a 1 = T 1 m 1

Substituindo isso:

2 T 1 = m 2 g - m 2 T 1 2 m 1

2 T 1 + m 2 T 1 2 m 1 = m 2 g

T 1 2 + m 2 2 m 1 = m 2 g

T 1 4 m 1 + m 2 2 m 1 = m 2 g

Logo T 1 vale:

T 1 = 2 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

E T 2 vale 2 vezes o T 1 , ou seja:

T 2 = 4 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

Passo 4

d)

Basta utilizar a equação 1 do item anterior e substituir o valor da tração:

a 1 = T 1 m 1

a 1 = 2 m 2 g 4 m 1 + m 2

E

a 2 = a 1 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

Resposta

a)

b) a 1 / a 2 = 2

c)

T 1 = 2 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

T 2 = 4 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

d)

a 1 = 2 m 2 g 4 m 1 + m 2

a 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

Exercício Resolvido #2

Considere o mecanismo apresentado na figura, onde o bloco 1 está apoiado em uma superfície sem atrito e o bloco 2 está sustentado por uma polia móvel sem massa (corpo 3 na figura). A polia fixa é ideal. O fio A (ideal) conecta o bloco 1 à polia móvel e está fixo ao teto. O fio B (ideal) sustenta o bloco 2 à polia 3.

Neste mecanismo, devido ao vínculo existente entre o fio A e a polia móvel, o módulo da aceleração do bloco 1, a 1 é o dobro do módulo da aceleração do bloco 2, a 2 .

As massas dos blocos são m 1 = 1,0   k g e m 2 = 0,90   k g . A massa da polia móvel m 3 = 0   k g . Use g = 9,8   m / s 2 .

a) Represente os diagramas de corpo livre para os blocos 1 e 2 e para a polia móvel 3, explicitando todas as forças que atuam neles.

b) Escolha sistemas de coordenadas adequados para cada corpo (explicite-os!) e escreva as equações literais (não substitua ainda os valores das massas ou g !) resultantes das leis de Newton para os três corpos.

c) A partir das equações do item b obtenha literalmente a 1 e então substitua os valores fornecidos para encontrar o valor numérico do módulo de a 1 .

d) Obtenha o módulo da tração exercida pelo fio B sobre o bloco 2.

Passo 1

a)

Basta representar as forças em cada corpo:

Passo 2

b)

O bloco 1 só tem movimento para a direita, enquanto o bloco 2 e a polia tem movimento vertical para baixo. Assim, pelo acoplamento dos dois movimentos, vamos definir para o bloco 1 o eixo x positivo para a esquerda e para o bloco 2 e polia, definimos o eixo y positivo para baixo.

Para o corpo 1:

∑ F x 1 = T 1 = m 1 . a 1             ( 1 )

∑ F y 1 = N 1 - P 1 = 0               ( 2 )

Para o corpo 2:

∑ F y 2 = P 2 - T 2 = m 2 . a 2             ( 3 )

Para a polia móvel:

∑ F y 3 = T 2 - T 1 ' - T 1 ' = m 3 . a 3 = 0

T 2 = 2 T 1 '                                 ( 4 )

Passo 3

c)

Foi dado que a 1 = 2 a 2 (equação de vínculo) (5)

Por outro lado, como as polias são não massivas e o fio 1 inextensível, o módulo de T 1 é igual ao módulo de T 1 '

T 1 = T 1 '       ( 6 )

Usando estas informações, ficamos com as seguintes equações:

T 1 = m 1 . a 1       A

T 2 - 2 T 1 = 0       B

m 2 g - T 2 = m 2 a 1 2       ( C )

Se somamos 2 A + B + C temos:

m 2 g = 2 m 1 . a 1 + 1 2 m 2 . a 1

a 1 = g . 2 m 2 4 m 1 + m 2 = 9,8 . 2   .   0,9 4 + 0,9

a 1 = 3,6   m / s 2

Passo 4

d)

Da equação 3 :

T 2 = m 2 g - a 2

Temos:

a 2 = a 1 2 = 1,8   m / s 2

Daí:

T 2 = 0,9 . 9,8 - 1,8

T 2 = 7,2   N

Resposta

a)

b)

Para o corpo 1:

T 1 = m 1 . a 1

N 1 = P 1

Para o corpo 2:

P 2 - T 2 = m 2 . a 2

Para a polia móvel:

T 2 = 2 T 1 '

c) a 1 = 3,6   m / s 2

d) T 2 = 7,2   N

Exercício Resolvido #3

Considere o sistema com plano inclinado envolvendo polias esquematizado na figura abaixo. Não considere atrito. Assuma também que a massa das polias e dos fios são desprezíveis em comparação às massas m 1 e m 2 dos blocos 1 e 2 , respectivamente. Além disso, os fios não se esticam ou se deformam em geral. Note que a polia que sustenta o bloco 2 está conectada ao fio ligado ao bloco 1 e, assim, essa polia não está fixa.

a ) Esboce o diagrama das forças envolvidas, escreva a relação entre as diferentes tensões nos fios, e expresse a Segunda Lei de Newton para cada caso.

b ) Demonstre a relação entre a aceleração a 1 do bloco 1 e a aceleração a 2 do bloco 2 .

c ) Encontre o valor do ângulo α no qual a 1 muda de sinal.

d ) Obtenha a expressão geral para a 1

e ) Calcule o valor a 1 nos limites: m 2 / m 1 → 0 e m 1 / m 2 → 0 .

Passo 1

a )

Como assumimos que a massa da polia pequena é nula, a força resultante sobre ela é nula e assim ela dividirá igualmente a força entre os dois fios. Portanto, vemos que T 1 = 2 T 2 .

As forças resultantes em cada corpo são:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

Passo 2

b )

Bom, vamos imaginar que o corpo 1 suba uma distância x 1 t , sendo x 1 ' ' t = a 1 . Como os fios estão conectados e sempre esticados, o corpo 2 descerá uma distância x 2 t , sendo x 2 ' ' t = a 2 .

Muito bem, agora é importante ter bastante atenção e imaginação ao observar a figura. Como os fios estão conectados e esticados, quando o corpo 1 subir uma distância x 1 t , a polia menor obrigatoriamente descerá uma distância x 1 t .

Quando a polia menor descer uma distância x 1 t , o corpo 2 descerá uma distância x 1 t , visto que seu ponto de apoio é a polia menor, se seu ponto de apoio descer, você desce junto. Mas, o fio apoiado na parte esquerda da polia menor não poderá descer essa distância x 1 t , justamente por estar preso em um suporte. O que acontecerá então? Bem, a distância x 1 t que o lado esquerdo do fio não desceu será transferido ao lado direito! Girando a polia menor e jogando mais fio do lado direito. Dessa forma, em vez de descer uma distância x 1 t , o corpo 2 descerá uma distância 2 x 1 t .

Logo, temos finalmente que:

x 2 t = 2 x 1 t

a 2 = x 2 ' ' t

a 2 = 2 x 1 t ' '

a 2 = 2 x 1 ' ' t

a 2 = 2 a 1

Passo 3

c )

A aceleração a 1 muda de sinal quando passa pelo zero. Assim, fazemos a 1 = a 2 = 0 nas equações do item a :

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 . 0

T 1 = m 1 . g . sen ⁡ α

Agora a segunda equação:

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

Lembrando que T 2 = T 1 2 , Logo:

m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 0

T 1 = 2 . m 2 . g

Igualando essas expressões encontramos:

m 1 . g . sen ⁡ α = 2 . m 2 . g

sen ⁡ α = 2 m 2 m 1

α   = arcsin ⁡ 2 m 2 m 1

Passo 4

d )

Usando que a 2 = 2 a 1 e T 1 = 2 T 2 , manipulamos as expressões para as forças resultantes para mostrar diretamente que:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

Substituindo na segunda equação:

m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 2 a 1

Ficando com o sistema:

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1 m 2 . g - T 1 2 = m 2 . 2 a 1

Multiplicando a segunda equação por 2 :

+ T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1 2 m 2 . g - T 1 = 4 . m 2 . a 1

Somando as equações ficamos com:

2 . m 2 . g - m 1 . g . sen ⁡ α = a 1 m 1 + 4 . m 2

a 1 = g 2 . m 2 - m 1 . sen ⁡ α m 1 + 4 . m 2

Dividindo o numerador e denominador por m 1 , ficamos com:

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

Passo 5

e )

Utilizando a expressão do item anterior, vamos começar com m 2 / m 1 → 0 que é o mais fácil:

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

a 1 m 2 / m 1 → 0     = g 2   .   0 - sen ⁡ α 4   .   0 + 1

a 1 m 2 / m 1 → 0     = - g . sen ⁡ α

Agora para analisar m 1 / m 2 → 0 , precisamos fazer isso aparecer na expressão. Então vamos multiplicar o numerador e denominador por m 1 / m 2 :

a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

a 1 = g m 1 m 2 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α m 1 m 2 4 m 2 m 1 + 1

a 1 = g 2 - m 1 m 2 sen ⁡ α 4 + m 1 m 2

Logo:

a 1 m 1 / m 2 → 0     = g 2 - 0   .   sen ⁡ α 4 + 0

a 1 m 1 / m 2 → 0     = g 2

Resposta

a )

  T 1 = 2 T 2

T 1 - m 1 . g . sen ⁡ α = m 1 a 1

m 2 . g - T 2 = m 2 a 2

b )   a 2 = 2 a 1

c ) α   = arcsin ⁡ 2 m 2 m 1

d )   a 1 = g 2 m 2 m 1 - sen ⁡ α 4 m 2 m 1 + 1

e ) a 1 m 2 / m 1 → 0     = - g . sen ⁡ α

a 1 m 1 / m 2 → 0     = g 2

Exercício Resolvido #4

Considere as polias e as cordas ideais para o dispositivo da figura abaixo. Despreze suas massas e o atrito das cordas com as polias. Como a polia que sustenta o bloco 2 é móvel, o módulo da aceleração do bloco 1 equivale ao dobro do módulo da aceleração do bloco 2. Adote os valores para as massas dos blocos m 1 = 1,0   k g e m 2 = 2,0   k g . A inclinação do plano é θ = 30 ° . Não há atrito entre o bloco 1 e o seu plano de apoio. Utilize g = 10   m / s 2 .

a) Represente o diagrama do corpo livre e escreva as equações de movimento em termos de suas componentes para os dois blocos e a polia móvel presa ao bloco 2. Utilize os sistemas de coordenadas fornecidos para cada componente do sistema.

b) Calcule o vetor aceleração de cada um dos blocos, usando como referência o sistema de coordenadas convencional apresentado para o bloco 2.

Passo 1

a)

Temos o seguinte diagrama:

Para o bloco 1:

Eixo x :

T 1 - P 1 sen ⁡ θ = m 1 a 1 x           ( 1 )

Eixo y :

N 1 - P 1 cos ⁡ θ = 0             2

Para o bloco 2:

Eixo y :

T 2 - P 2 = m 2 a 2 y             3

Para a polia:

Eixo y :

2 T 1 - T 2 = 0           ( 4 )

Passo 2

b)

Da equação 4 temos T 2 = 2 T 1 e por causa da roldana móvel: a 1 x = 2 a e a 2 y = - a .

Multiplicando a equação 1 por 2 e substituindo a equação 4 na equação 3 temos:

2 T 1 - 2 P 1 sen ⁡ θ = m 1 . 4 a             ( 5 )

P 2 - 2 T 1 = m 2 a                     ( 6 )

Somando a equação 5 e a equação 6 temos que:

a = m 2 - 2 m 1 sen ⁡ θ g 4 m 1 + m 2 = 1,7   m / s 2

As acelerações no sistema de coordenadas solicitado são:

a 1 = 2 a cos ⁡ ( 30 ° )   i ^ + 2 a sen ⁡ 30 ° j ^ = 2,9   i ^ + 1,7   j ^ m / s 2