Polias Móveis

Teoria Completa

Até agora só tivemos contato com polias fixas, que auxiliam somente na mudança da direção da força. Existiria algum dispositivo capaz de aumentar a intensidade da força aplicada em uma das extremidades da corda? Sim! As polias móveis conseguem fazer isso. Vamos dessa vez fazer a análise de todas as forças presentes no exemplo abaixo.

Vamos usar aqui alguns conceitos já aprendidos:

I) A tensão é a mesma em todo o comprimento do fio;

II) Os fios são inextensíveis;

E com a ajuda desses dois conceitos, podemos concluir que:

  • Usando o conceito (I), sabemos que:
  • F = T

  • Usando o conceito (II), concluímos que a aceleração da polia móvel é necessariamente igual à aceleração do bloco. E se considerarmos que a massa da polia é desprezível, podemos considerar o sistema bloco + polia como um único sistema de massa m 2 .

Com essas considerações, vamos fazer o Diagrama de corpo livre do sistema bloco + polia e depois aplicar a segunda lei de Newton. Para facilitar, vamos desenhar somente o bloco.

Como somente forças verticais são aplicadas no corpo, temos que a aceleração é necessariamente vertical.

2 T - P = m 2 a

Como P = m 2 g e T = F , temos que:

2 F - m 2 g = m 2 a

E concluímos que a aceleração do bloco é dada por:

a = 2 F - m 2 g m 2

Percebeu que o bloco foi puxado com o dobro da força que foi aplicada na extremidade do cabo? É para isso que as polias móveis funcionam, para facilitar nossa vida no levantamento de coisas, mas não necessariamente facilita nossas resoluções de exercícios. :P

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Exercício Resolvido #1

USP- P1-2011-Q4

Na figura abaixo tem-se uma massa m 1 que está conectada a uma massa m 2 através das polias P 1 e P 2 que tem massas despreziveis. Supondo que a massa m 1 desliza sobre a mesa sem atrito e que a aceleração da massa m 2 é vertical e para baixo, pede-se:

(a) Coloque em um diagrama todas as forças que atuam no sistema.

(b) Determinar o valor numérico da razão a 1 / a 2   , considerando os fios inextensíveis.

(c) Determinar as trações T 1 e T 2 em função de g , m 1 e m 2 .

(d) Determinar as acelerações a 1 e a 2 .

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Passo 1

a)

As forças que atuam no sistema estão representadas na figura abaixo, onde F corresponde a força de apoio da polia que anula a resultante das forças T 2 que atuam nessa polia e geram uma resultante no sentido oposto de F .

Passo 2

b)

Devido a polia não fixa que liga o bloco de massa m 1 ser conectada por 3 fios, quando a massa m 2 se deslocar de um comprimento L a massa m 1 se deslocará de um comprimento 2 L . Portanto, como o bloco m 1 terá que percorrer o dobro da distância no mesmo tempo, a aceleração dele terá que ser o dobro. Então, a 1 = 2 a 2 , logo:

a 1 a 2 = 2

Passo 3

c)

Vamos primeiramente escrever as equações de movimentos para os três corpos que possuem aceleração diferente de zero que são as massas m 1 e m 2 e a polia P 1 .

T 1 = m 1 a 1                                                           1

m 2 g - T 2 = m 2 a 2                               2

T 2 - 2 T 1 = m p 1 a 2                               ( 3 )

Devido a massa das polias serem desprezíveis, da equação 3 vamos ter:

T 2 - 2 T 1 = 0

T 2 = 2 T 1

Substituindo isso na equação 2 obtemos:

m 2 g - 2 T 1 = m 2 a 2

2 T 1 = m 2 g - m 2 a 2

Substituindo a aceleração que encontramos no item b :

2 T 1 = m 2 g - m 2 a 1 2

Da equação 1 temos que:

a 1 = T 1 m 1

Substituindo isso:

2 T 1 = m 2 g - m 2 T 1 2 m 1

2 T 1 + m 2 T 1 2 m 1 = m 2 g

T 1 2 + m 2 2 m 1 = m 2 g

T 1 4 m 1 + m 2 2 m 1 = m 2 g

Logo T 1 vale:

T 1 = 2 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

E T 2 vale 2 vezes o T 1 , ou seja:

T 2 = 4 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

Passo 4

d)

Basta utilizar a equação 1 do item anterior e substituir o valor da tração:

a 1 = T 1 m 1

a 1 = 2 m 2 g 4 m 1 + m 2

E

a 2 = a 1 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

Resposta

a)

b) a 1 / a 2 = 2

c)

T 1 = 2 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

T 2 = 4 m 1 m 2 g 4 m 1 + m 2

d)

a 1 = 2 m 2 g 4 m 1 + m 2

a 2 = m 2 g 4 m 1 + m 2

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-B-2012.2 Q3

Considere o mecanismo apresentado na figura, onde o bloco 1 está apoiado em uma superfície sem atrito e o bloco 2 está sustentado por uma polia móvel sem massa (corpo 3 na figura). A polia fixa é ideal. O fio A (ideal) conecta o bloco 1 à polia móvel e está fixo ao teto. O fio B (ideal) sustenta o bloco 2 à polia 3.

Neste mecanismo, devido ao vínculo existente entre o fio A e a polia móvel, o módulo da aceleração do bloco 1, a 1 é o dobro do módulo da aceleração do bloco 2, a 2 .

As massas dos blocos são m 1 = 1,0   k g e m 2 = 0,90   k g . A massa da polia móvel m 3 = 0   k g . Use g = 9,8   m / s 2 .

a) Represente os diagramas de corpo livre para os blocos 1 e 2 e para a polia móvel 3, explicitando todas as forças que atuam neles.

b) Escolha sistemas de coordenadas adequados para cada corpo (explicite-os!) e escreva as equações literais (não substitua ainda os valores das massas ou g !) resultantes das leis de Newton para os três corpos.

c) A partir das equações do item b obtenha literalmente a 1 e então substitua os valores fornecidos para encontrar o valor numérico do módulo de a 1 .

d) Obtenha o módulo da tração exercida pelo fio B sobre o bloco 2.

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Passo 1

a)

Basta representar as forças em cada corpo:

Passo 2

b)

O bloco 1 só tem movimento para a direita, enquanto o bloco 2 e a polia tem movimento vertical para baixo. Assim, pelo acoplamento dos dois movimentos, vamos definir para o bloco 1 o eixo x positivo para a esquerda e para o bloco 2 e polia, definimos o eixo y positivo para baixo.

Para o corpo 1:

∑ F x 1 = T 1 = m 1 . a 1             ( 1 )

∑ F y 1 = N 1 - P 1 = 0               ( 2 )

Para o corpo 2:

∑ F y 2 = P 2 - T 2 = m 2 . a 2             ( 3 )

Para a polia móvel:

∑ F y 3 = T 2 - T 1 ' - T 1 ' = m 3 . a 3 = 0

T 2 = 2 T 1 '                                 ( 4 )

Passo 3

c)

Foi dado que a 1 = 2 a 2 (equação de vínculo) (5)

Por outro lado, como as polias são não massivas e o fio 1 inextensível, o módulo de T 1 é igual ao módulo de T 1 '

T 1 = T 1 '       ( 6 )

Usando estas informações, ficamos com as seguintes equações:

T 1 = m 1 . a 1       A

T 2 - 2 T 1 = 0       B

m 2 g - T 2 = m 2 a 1 2       ( C )

Se somamos 2 A + B + C temos:

m 2 g = 2 m 1 . a 1 + 1 2 m 2 . a 1

a 1 = g . 2 m 2 4 m 1 + m 2 = 9,8 . 2   .   0,9 4 + 0,9

a 1 = 3,6   m / s 2

Passo 4

d)

Da equação 3 :

T 2 = m 2 g - a 2

Temos:

a 2 = a 1 2 = 1,8   m / s 2

Daí:

T 2 = 0,9 . 9,8 - 1,8

T 2 = 7,2   N

Resposta

a)

b)

Para o corpo 1:

T 1 = m 1 . a 1

N 1 = P 1

Para o corpo 2:

P 2 - T 2 = m 2 . a 2