Segunda Lei de Newton

Teoria Completa

Tá bom, já entendi a Primeira Lei e lá vem esse cara com outras duas...

Mas meu jovem, não fica chateado com o tio Newton não, porque ele mandou bem nessa lei, sabe o porque?

Porque agora a gente consegue relacionar uma força com um movimento!

Calma... olha só aqui essa situação.

Imagina que temos um bloco de massa 5   k g :

Se não fizermos nada, ele vai continuar lá parado.

Mas e se uma força começar a puxar esse bloco para direita?

Bom, esse bloco vai começar a andar para a direita, certo?

Isso porque a força gera nele uma aceleração a , e por isso ele começa a ganhar velocidade.

Show!

Mas qual será essa aceleração a do bloco?

Força e aceleração

Pela Segunda Lei de Newton, podemos dizer que:

F = m . a

20 = 5 . a

a = 20 5 = 4   m / s 2

Ou seja, a força F é igual a massa do bloco m vezes a aceleração a .

Repara ainda que para essa mesma força, se o bloco tiver uma massa maior, sua aceleração é será menor:

F = m . a

20 = 10 . a

a = 2   m / s 2

Como o bloco é mais pesado, faz sentido que ele ganhe velocidade mais devagar, né?

Força Resultante

Bom, mas e se eu tiver mais de uma força atuando sobre o bloco??

Ainda na Segunda Lei de Newton, temos que calcular a Força Resultante F R , que é a soma de todas as forças:

F R = m . a

A gente escolhe um dos sentido como positivo (por exemplo para a direita):

E temos que:

F R = 20 - 8 = 12   N

Ou seja, essa situação com duas forças é o mesmo que apenas uma força para a direita igual à força resultante:

F R = m . a

12 = 5 . a

a = 12 5 = 2,4   m / s 2

Parabéns, você já entendeu a Segunda Lei de Newton.

Bommm, na verdade tem mais um detalhezinho, olha só a definição mais formal...

A Segunda Lei de Newton completa

O detalhezinho a mais é que na verdade estamos tratando de vetores. Então:

F → R = m a →

Ou seja, podemos calcular o vetor força resultante F → R (soma de todas as forças sobre o corpo) e assim a aceleração a → desse corpo estará na mesma direção e sentido.

Vamos ver um exemplo disso.

Analisando a segunda lei em dois eixos

Para descobrir a aceleração desse bloco de massa m , devemos aplicar a Segunda Lei de Newton:

F → R = m a →

Mas quem é o vetor força resultante F → R ?

Ele será a soma de todas as forças sobre o bloco, ou seja:

F → R = F → 1 + F → 2

Normalmente, para evitar o uso da soma vetorial, usamos da decomposição das forças nos eixos x   e y , e depois usamos a equação da segunda lei duas vezes, uma para cada eixo.

F R x = m a x F R y = m a y

Decomposição de um vetor

Para achar as componentes F → x e F → y , nós fechamos um triângulo retângulo:

Para a componente horizontal, temos:

c o s θ = c a t .   a d j h i p = F x F

F x = F   c o s θ

Já para a componente vertical, temos:

s e n θ = c a t .   o p h i p = F y F

F y = F   s e n θ

Ou seja, para a componente COlada no ângulo, nós usamos COS, enquanto para a componente SEparada do ângulo, nós usamos SEN.

Hahaha meio bobo, mas são as bobeiras que a gente grava.

Voltando ao nosso exemplo...

Decompondo a primeira força, temos:

F 1 x = F 1   c o s θ F 1 y = F 1   s e n θ

Decompondo a segunda força, temos:

Repara que agora a componente “colada” no ângulo β é a componente vertical, enquanto a componente “separada” é a componente horizontal, então:

F 2 x = F 2   s e n β F 2 y = F 2   c o s β

Agora vamos aplicar a Segunda Lei para cada um dos eixos e descobrir a aceleração.

No eixo x , temos:

F R x = m a x

Escolhendo o sentido positivo para a direita:

F 1 x - F 2 x = m a x

F 1 c o s θ - F 2   s e n β = m a x

a x = F 1 c o s θ - F 2   s e n β m

Já no eixo y, temos:

F R y = m a y

Escolhendo o sentido positivo para cima:

F 1 y - F 2 y = m a y

F 1   s e n θ - F 2   c o s β = m a y

a y = F 1   s e n θ - F 2   c o s β m

Então, o vetor aceleração do nosso bloquinho será:

a → = a x i ^ + a y j ^

a → = F 1 c o s θ - F 2   s e n β m i ^ + F 1   s e n θ - F 2   c o s β m j ^

OBS: Caso precisemos achar o módulo desse vetor, podemos recorrer novamente ao triângulo retângulo.

Aplicando Pitágoras, temos:

a 2 = a x 2 + a y 2

a = a x 2 + a y 2

Equilíbrio de Forças

Para fechar, se um corpo estiver em equilíbrio de forças isso significa que a Força Resultante sobre ele é nula:

F → R = 0

Assim, pela Segunda Lei de Newton, temos que:

0 = m a →

a → = 0

Chegamos na Primeira Lei de Newton (inércia), haha.

Ou seja, é um caminho de mão dupla...

Sempre que a Força Resultante for zero, não há aceleração.

Sempre que a aceleração for zero, não há Força Resultante.

É isso, agora vamos treinar nos exercícios :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP-P1-2014.2A-Q9

Um corpo de massa 8   k g parte do repouso e após 7   s sua velocidade é de 21   m / s . Considerando que o corpo foi submetido a uma força externa constante, responda:

Qual é o módulo da força externa?

a) 56   N

b) 147   N

c) 1   N

d) 24   N

e) 38   N

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Passo 1

Temos uma força externa sendo aplicada num corpo.

Utilizando a segunda lei de Newton temos que:

F = m a

Já sabemos a massa do corpo, porém quem é a aceleração?

Passo 2

Se a força é constante, temos que a aceleração também será constante.

Assim, o nosso corpo está realizando um Movimento Uniformemente Acelerado, o que é bem comum nos exercícios de Segunda Lei de Newton.

Então, nós podemos utilizar a equação de velocidade para um MUV:

v = v 0 + a t

Como o corpo parte do repouso, sua velocidade inicial é zero:

v 0 = 0

Assim, após 7   s , temos:

v = a t

21 = a 7

a = 21 7 = 3   m / s 2

Passo 3

Agora que achamos a aceleração, basta substituir na Segunda Lei de Newton:

F = m a

F = 8 3

F = 24   N

Resposta

Letra (d)

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 116-5

A Fig. 5-24 mostra o diagrama de corpo livre de quatro situações nas quais um objeto, visto de cima, é puxado por várias forças em um piso sem atrito. Em quais dessas situações a aceleração a → do objeto possui:

(a) uma componente x ?

(b) uma componente y ?

(c) Em cada situação, indique o sentido de a → indicando um quadrante ou um sentido ao longo de um eixo. (Isso pode ser feito com alguns cálculos mentais.)

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Passo 1

Vamos partir da Segunda Lei de Newton:

F → R = m a →

Ou seja, a aceleração a → do corpo está na direção e sentido da força resultante F → R .

Faremos a soma vetorial das forças para chegarmos na força resultante, e encontraremos a aceleração usando a segunda lei de Newton.

∑ T o d a s   a s   f o r ç a s = m a →

Passo 2

Analisando caso a caso, temos:

Diagrama 1:

A componente da força resultante na direção do eixo x é:

F x = 5 - 3 - 2 = 0   N

A componente da força resultante na direção do eixo y é:

F y = 7 - 4 = 3   N

Então, temos que o vetor força resultante será:

F → R = 0   i ^ + 3   j ^

Diagrama 2:

A componente da força resultante na direção do eixo x é:

F x = 3 - 2 = 1   N

A componente da força resultante na direção do eixo y é:

F y = 6 - 4 - 2 = 0   N

Então, temos que o vetor força resultante será:

F → R = 1   i ^ + 0   j ^

Diagrama 3:

A componente da força resultante na direção do eixo x é:

F x = 5 - 4 = 1   N

A componente da força resultante na direção do eixo y é:

F y = 6 - 4 - 3 = - 1   N

Então, temos que o vetor força resultante será:

F → R = 1   i ^ + - 1   j ^

Diagrama 4:

A componente da força resultante na direção do eixo x é:

F x = 3 - 5 = - 2   N

A componente da força resultante na direção do eixo y é:

F y = 3 + 2 - 5 - 4 = - 4   N

Então, temos que o vetor força resultante será:

F → R = - 2   i ^ + - 4   j ^

Passo 3

Agora que descobrimos os vetores de Força resultante, sabemos a direção do vetor aceleração a → , pois é o mesmo do vetor Força resultante F → R .

Diagrama 1:

F → R = 0   i ^ + 3   j ^

A força resultante apresenta apenas uma componente positiva na direção do eixo y , logo:

Diagrama 2:

F → R = 1   i ^ + 0   j ^

A força resultante apresenta apenas uma componente positiva na direção do eixo x , logo:

Diagrama 3:

F → R = 1   i ^ + - 1   j ^

A força resultante apresenta uma componente positiva na direção do eixo x e uma componente negativa na direção do eixo y , logo:

Diagrama 4:

F → R = - 2   i ^ + - 4   j ^

A força resultante apresenta uma componente negativa na direção do eixo x e uma componente negativa na direção do eixo y , logo:

Resposta

  1. 2, 3 e 4
  2. 1, 3 e 4

Exercício Resolvido #3

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 117-5

Duas forças agem sobre a caixa de 2,00   k g vista de cima na Fig.5-31, mas apenas uma é mostrada. Para F 1 = 20,0   N , a = 12   m / s 2 e θ = 30,0 ° , determine a segunda força (a) em termos dos vetores unitários e como um (b) módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo.

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Passo 1

Primeiro de tudo, esquece aquela força F → 1 ...

Vamos à Segunda Lei de Newton:

F → R = m a →

Então, se conhecemos a aceleração a → e a massa m , podemos encontrar a força resultante sobre a caixa.

F R = 2 12 = 24   N

Sendo o vetor F → R na mesma direção e sentido que o vetor a → .

Passo 2

Qual a ideia agora?

Bom, existem duas forças agindo sobre a caixa.

A força F → 1 nós conhecemos, mas a F → 2 nós não conhecemos:

Mas sabemos que a força resultante (conhecida) será a soma delas:

F → R = F → 1 + F → 2

Passo 3

Vamos escrever o vetor Força Resultante em termo de suas componentes.

A componente vertical está “colada” no ângulo, então ela será a componente com o cosseno, enquanto a componente na horizontal está “separada” do ângulo, então terá o seno:

F R x = F R   s e n θ

F R y = F R   c o s θ

Fazendo essas continhas, temos:

F R x = 24   s e n 30 ° = 24 1 2 = 12   N

F R y = 24 cos ⁡ 30 ° = 24 3 2 = 12 3   N

Podemos escrever o vetor F → R .

Tanto a componente na horizontal quanto a componente na vertical estão no sentido negativo do eixo, logo:

F → R = - 12   N i ^ + - 12 3   N j ^

Passo 4

Agora que já temos a força resultante fica mole!

Voltando à relação de que a F → R é a soma de todas as forças sobre o corpo, temos:

F → R = F → 1 + F → 2

Aqui, temos a opção de trabalhar com cada eixo separadamente, ou então, usar a equação na própria forma vetorial.

Vamos usar direto na forma vetorial!

Como a força F 1 (conhecida) está na direção positiva do eixo x , o vetor F → 1 será:

F → 1 = 20   N i ^

Substituindo os vetores na expressão, temos:

- 12 i ^ + - 12 3 j ^ = 20 i ^ + F → 2

F → 2 = - 12 - 20 i ^ + - 12 3 j ^

F → 2 = - 32   N i ^ + - 12 3   N j ^

Assim, respondemos a letra (a).

Passo 5

Na letra (b), queremos o módulo da força F → 2 .

Para achar o módulo de um vetor, basta fecharmos um triângulo retângulo com as suas componentes e aplicarmos Pitágora:

Não se preocupe com desenhar o retângulo na orientação certiiiinha, pois o Pitágoras vai funcionar da mesma maneira.

O importante é que as componentes são perpendiculares.

Assim, temos:

F 2 2 = F 2 x 2 + F 2 y 2

F 2 = - 32 2 + - 12 3 2

F 2 = 1456 ≅ 38,15   N

Respondida a letra (b).

Passo 6

Agora na letra (c), queremos um dos ângulos entre a força F → 2 e o semi-eixo positivo x .

Então, primeiro vamos descobrir o ângulo de inclinação de F → 2 com relação a horizontal.

Para achar o ângulo α , podemos partir das componentes horizontal e vertical.

Fechar um triângulo com as componentes horizontal e vertical e usar alguma das identidades trigonométricas:

t g α = F 2 y F 2 x = 12 3 32 = 0,65

Como não é nenhum dos ângulos notáveis (30°, 45° ou 60°), precisamos usar a calculadora e calcular o arcotangente t a n - 1 de α , para descobrir o arco cuja tangente vale 0,65 :

α = t a n - 1 t a n   α

α = t a n - 1 0,65

α = 33 °

Para obter um dos dois ângulo entre F → 2 e o semi-eixo positivo x , basta somar 180 ° :

α + 180 ° = 213 °

Respondemos a letra (c).

OBS: O segundo ângulo entre F → 2 e x positivo seria.

180 ° - α = 147 °

Resposta

  1. F → 2 = - 32   N i ^ + - 12 3   N j ^
  2. F ≅ 38,15   N
  3. α ≅ 213 °

Exercício Resolvido #4

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 119-29

Um elétron com 1,2 × 10 7   m / s penetra horizontalmente em uma região onde está sujeito a uma força vertical constante de 4,5 × 10 - 16   N . A massa do elétron é 9,11 × 10 - 31 k g . Determine a deflexão vertical sofrida pelo elétron enquanto percorre uma distância horizontal de 30 m m

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Passo 1

Vamos fazer um desenho para facilitar a compreensão:

Bom, como a força atua na vertical sobre a partícula, a aceleração também será apenas na vertical.

Ou seja, temos um Movimento Uniformemente Variado em y .

Além disso, como a velocidade na horizontal não varia (não há aceleração horizontal), a particula realiza um Movimento Uniforme em x .

Passo 2

Agora que sabemos a direção e o sentido da aceleração do elétron, precisamos descobrir seu módulo. Temos a força aplicada a ele e a massa do mesmo. O que podemos usar? Isso mesmo! A segunda lei de Newton!

F = m a y → a y = F m

Substituindo os valores de F e m :

a y = 4,5 × 10 - 16 9,11 × 10 - 31 → a y ≅ 0,49 × 10 15   m / s 2  

Passo 3

Como já vimos que a velocidade v horizontal se mantém a mesma, para descobrirmos o tempo que o elétron demora para percorrer os 30   m m , basta lembrar que este é um MRU:

Então, podemos utilizar a equação:

S = S 0 + v t

30 × 10 - 3 = 0 + 1,2 × 10 7 t

t = 30 × 10 - 3 1,2 × 10 7 → t = 2,5 × 10 - 9   s

Passo 4

Conhecendo o quanto esse movimento durou, podemos analisar o movimento na vertical M U V .

S = S 0 + v 0 t + a y t 2 2

Como a partícula só apresenta velocidade na horizontal inicialmente, temos:

v 0 = 0

Então, temos:

d = 0 + 0 + a y t 2 2