Tração em Cabos

Teoria Completa

Fala aí, vamos bater um papo sobre tração?

Se liga, sempre que a gente tem uma corda ou cabo, a tração está envolvida, já reparou o que rola quando a gente puxa um fio? O cabo se estica e faz um esforço contrário, bora ver isso na prática trazendo um exemplo:

Aqui é o seguinte, o bloco A possui massa m A = 5 k g e o bloco B , possui massa m B = 3 k g , se alguém puxar o bloco B com uma força   F → = 10 N , qual será a tração no cabo e aceleração do sistema?

Antes vamos só lembrar de algumas paradinhas que podem ser bem úteis pra gente entender melhor.

  • O fio não empurra nada, portanto, a força, além de estar SEMPRE na direção do fio, também estará SEMPRE apontando para o fio;
  • Como a gente mostrou na figura, a tração no cabo é a mesma para os dois blocos e deve ser assim para que o cabo esteja em equilíbrio.
  • Se liga, os fios aqui geralmente tem massa desprezível e são inextensíveis, esse tipo de fio é chamado de fio ideal.

Ás vezes módulo da força de tração é chamado de tensão.

A chave pra resolver esse tipo de problema é desenhar cada bloquinho isolado (Diagrama de corpo livre) e olhar que tipo de força tá agindo neles e usar a segunda lei de Newton pra relacionar a resultante do sistema com a aceleração de cada bloco, vamos começar pelo bloco A .

O corpo A não está quicando e nem perfurando o chão, certo? Então a aceleração do bloco A está somente na horizontal. Portanto, usando a segunda lei de Newton com o sentido positivo para a direita:

T = m A a A → a A = T m A   ( 1 )  

E substituindo o valor m A = 5 k g .

a A = T 5

Vamos guardar esse resultado e fazer o diagrama de corpo livre do bloco B:

O bloco B possui somente aceleração na horizontal, portanto, usando a segunda lei, mantendo o mesmo sentido escolhido anteriormente para ser o positivo:

F - T =   m B a B → a B = F - T m B

E substituindo o valor de m B = 3 k g .

a B = F - T 3

Lembra que aceleração é diretamente ligada com o deslocamento dos corpos? Se o fio é inextensível, o bloco B não pode se deslocar mais que o bloco A. Com isso, podemos concluir que a aceleração dos dois blocos são iguais!

a B = a A → T m A = F - T m B → T = F m A m A + m B ( 2 )

E aqui substituindo todo mundo a gente encontra enfim que:

T = 10 × 5 5 + 3 = 50 8 = 25 4 N

E se liga aqui, a gente já viu que pra esse tipo de situação os blocos tem a mesma aceleração e no caso será a mesma aceleração do sistema, sendo assim a gente pode usar na equação (1) tanto o valor de T encontrado quanto a equação (2) que a gente resolve o nosso problema.

Usando somente o valor de T , temos:

a A = T 5 = 25 4 × 5 = 25 20

Daí:

a A = 1,25 m / s 2

E se a gente quisesse uma equação que nos desse a aceleração sem precisar achar T ? É só substituir a equação (2), na equação (1).

a A = T m A = F m A m A × m A + m B

Cortando m A , temos:

a A = F m A + m B

Substituindo m A = 5 k g e m B = 3 k g e F = 10 N .

a A = 10 8 = 1,25 N

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-Física 1-P1 2014.1 ME5

Dois fios ideais A C e B C estão presos a um teto horizontal e a uma parede vertical nos respectivos pontos A e B , como indica a figura. Na extremidade comum C dos fios está suspenso e em equilíbrio um bloco de peso P . O fio B C é perpendicular à parede e o fio A C faz um ângulo θ com o teto 0 < θ < π / 2 . O módulo T da tensão no fio A C é igual a

  1. P cot ⁡ θ
  2. P / cos ⁡ θ
  3. P sen ⁡ θ
  4. P tan ⁡ θ
  5. P / sen ⁡ θ
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Passo 1

Vamos começar o problema fazendo DCL do bloco

Temos os seguintes dados do enunciado

D a d o s θ P

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças no DCL

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Não, ele não está apoiado em nenhuma superfície.

  5. Tem algum fio?
  6. Sim, existem dois fios atuando.

  7. Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O DCL do bloco fica

Repare que o ângulo do fio é com a horizontal, na parte de baixo ele é o ângulo do fio com a vertical.

Passo 2

Vamos fazer a analise das forças no e i x o   y porque é o eixo que a tração que ele procura está. Vamos ter

P = T A C y

Devemos encontrar T A C y usando a “regra do COlado, SEparado”.

T A C y = T A C ⋅ sen ⁡ θ

P = T A C sen ⁡ θ

T A C = P sen ⁡ θ

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 118-15

A Fig. 5-36 mostra um arranjo no qual quatro discos estão suspensos por cordas. A corda mais comprida, no alto, passa por uma polia sem atrito e exerce uma força de 98   N sobre a parede à qual está presa. As tensões nas cordas mais curtas são T 1 = 58,8 N , T 2 = 49,0   N e T 3 = 9,8   N . Quais são as massas (a) do disco A, (b) do disco B, (c) do disco C e (d) do disco D?

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Passo 1

Temos aqui um sistema em repouso, portanto, a aceleração de qualquer corpo que pegarmos para analizar será nula.

Vamos pensar juntos: Se pegarmos qualquer um dos discos para analisar, ou seja, fazer o diagrama de corpo livre, teremos duas trações agindo nele, além da força peso. Exceto no disco D, onde temos somente uma tração. Como todas as trações estão definidas no enunciado, a única incógnita fica sendo a massa de cada disco.

Passo 2

Vamos então fazer o diagrama de corpo livre de cada disco:

No disco A:

Como o corpo está em repouso, a resultante das forças deve ser nula.

T - P - T 1 = 0 →   T - T 1 = m a g

Sabemos o valor de T e de T 1 , portanto, usando g = 9,8   m / s 2 :

m a = 98 - 58,8 9,8 → m a = 4   k g

Passo 3

  1. No disco B:
  2. Como o corpo está em repouso, a resultante das forças deve ser nula.

    T 1 - P - T 2 = 0 →   T 1 - T 2 = m b g

    Sabemos o valor de T 1 e de T 2 , portanto, usando g = 9,8   m / s 2 :

    m b = 58,8 - 49 9,8 → m b = 1   k g

    Passo 4

  3. No disco C:
  4. Como o corpo está em repouso, a resultante das forças deve ser nula.

    T 2 - P - T 3 = 0 →   T 2 - T 3 = m c g

    Sabemos o valor de T 2 e de T 3 , portanto, usando g = 9,8   m / s 2 :

    m c = 49 - 9,8 9,8 → m c = 4   k g

    Passo 5

  5. Do disco D:

Como o corpo está em repouso, a resultante das forças deve ser nula.

T 3 - P = 0 →   T 3 = m d g

Sabemos o valor de T 3 , portanto, usando g = 9,8   m / s 2 :

m d = 9,8 9,8 → m d = 1   k g

- ''

Resposta

  1. m a = 4   k g
  2. m b = 1   k g
  3. m c = 4   k g
  4. m d = 1   k g

Exercício Resolvido #3

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 121-50.

A Fig. 5-48 mostra quatro pinguins que estão sendo puxados sobre o gelo muito escorregadio (sem atrito) por um zelador. As massas de três pinguins e a tensão em duas das cordas são m 1 = 12   k g ,   m 3 = 15   k g ,   m 4 = 20   k g ,   T 2 = 111   N e T 4 = 222   N . Determine a massa do pinguim m 2 , que não é dada.

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Passo 1

Vamos primeiramente juntar os dados que temos:

  • Algumas das forças aplicadas em cada pinguim;
  • Massas dos pinguins (exceto um).

E agora as informações que concluímos do problema:

  • As cordas são inextensíveis, portanto, o deslocamento dos pinguins devem ser iguais;
  • Deslocamentos iguais implicam em acelerações iguais;
  • Os pinguins se movimentam somente na horizontal.

Temos então relação entre forças, massas e aceleração, podemos usar a segunda lei de Newton no diagrama de corpo livre de cada pinguim. Nos próximos passos os pinguins se tornarão, como qualquer coisa na Dinâmica, blocos. Como só vamos analisar o movimento horizontal, incluiremos no diagrama somente as forças horizontais.

Passo 2

No pinguim de massa m 4 :

Usando a segunda lei:

T 4 - T 3 = m 4 a

Substituindo os valores de T 4 e m 4 :

222 - T 3 = 20 a (Eq. 1)

Passo 3

No pinguim de massa m 3 :

Usando a segunda lei:

T 3 - T 2 = m 3 a

Substituindo os valores de T 2 e m 3 :

T 3 - 111 = 15 a (Eq. 2)

Passo 4

No pinguim de massa m 2 :

Usando a segunda lei:

T 2 - T 1 = m 2 a

Substituindo os valores de T 2 :

111 - T 1 = m 2 a (Eq. 3)

Passo 5

No pinguim de massa m 1 :

Usando a segunda lei:

T 1 = m 1 a

Substituindo os valores de m 1 :

T 1 = 12 a (Eq. 4)

Passo 6

Somando todas as equações, de 1 a 4, obtemos:

222 = 20 + 15 + 12 + m 2 a (Eq.5)

OBS.: A equação acima mostra como podemos encarar o conjunto de pinguins como um único corpo. A única força externa do sistema é T 4 .

Deixa esse resultado guardado por um segundo.

Agora, observando bem as equações podemos ver que se somarmos as Eqs 1 e 2 teremos como achar a aceleração:

222 - 111 = ( 20 + 15 ) a

a = 3,17   m / s 2

Substituindo na Eq. 5, temos:

222 = 20 + 15 + 12 + m 2 . 3,17

m 2 = 23   k g

Resposta

m 2 = 23   k g

Exercício Resolvido #4

UFRJ-Física 1-P1 2013.2 ME1

Três macacos A , B e C , de mesmo peso, estão pendurados em repouso, cada um em um cipó, com os cipós amarrados em um galho de árvore. A partir de um dado instante o macaco A sobe em seu cipó com velocidade constante, o macaco B sobre no seu com aceleração para cima constante e o macaco C desce no seu com aceleração para baixo constante. Supondo que os cipós sejam fios ideiais (inextensíveis com massa desprezível), que os movimentos se processem na vertical, que as acelerações mencionadas não sejam nulas, e denotando por T A , T B e T C as tensões nos cipós dos respectivos macacos A , B e C , podemos dizer que

  1. T A = T B = T C
  2. T A > T B > T C
  3. T A < T B = T C
  4. T B > T A > T C
  5. T A > T B = T C
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Passo 1

Os dados do problema são

D a d o s m a g

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças que atuam em cada macaco

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ele esta encostada em alguma superfície?
  4. Não, ele não está apoiado a nenhuma superfície.

  5. Tem algum fio?
  6. Sim, existe fio atuando.

  7. Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O seu DCL ficará:

Passo 2

Em todas as situações, devemos lembrar atentamente o sinal dos movimentos. A equação da força resultante em todas elas ficará

F r = T - P

Passo 3

Para o macaco B

F r = m a

m a = T B - m g

T B = m a + g

Passo 4

Para o macaco C

F r = - m a

- m a = T C - m g

T C = m g - a

Passo 5

Para o macaco A

F r = 0

0 = T A - m g

T A = m g

Passo 6

Como a é positivo, temos

T B > T A > T C

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #5

Halliday 9° edição vol.1 cap.5 seção 7 questão 16

Alguns insetos podem se deslocar pendurados em gravetos. Suponha que um desses insetos tenha massa m e esteja pendurado em um graveto horizontal, como mostra a figura abaixo, com um ângulo θ =   40 ° . As seis pernas do inseto estão sob a mesma tensão e asseções das pernas mais próximas do corpo são horizontais.

a) Qual é a razão entre a tensão em cada tíbia (extremidade da perna) e o peso do inseto?

b) Se o inseto estica um pouco as pernas, a tensão nas tíbias aumenta, diminui ou continua a mesma?

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Passo 1

Vamo nessa! Bom, a gente viu no enunciado que o inseto tem 6 pernas e a componente vertical da tração em cada perna , como podemos ver na imagem , é T sen ⁡ θ , sendo θ = 40 ° . Aplicando a Segunda Lei de Newton à componente vertical das forças envolvidas, vemos que, para que a aceleração seja zero na direção vertical, devemos ter :

6 T sen ⁡ θ = m g

T = m g 6 sen ⁡ θ

O que nos dá :

T m g ≅ 0,26

Passo 2

Como o ângulo θ é medido em relação à horizontal, quando o inseto “estica as pernas” o ângulo θ aumenta (se aproxima de 90 ° ), o que faz sen ⁡ θ aumentar (se aproximar de   1 ); em consequência, T diminui , como vimos na fórmula achada no item anterior.

Resposta

  1. T m g ≅ 0,26
  2. T diminui.

Exercício Resolvido #6

UFPE 1ºEE 2017.1

A figura ao lado ilustra uma viga homogênea de peso P. A viga está sustentada na posição horizontal por uma dobradiça e por um cabo, que forma um ângulo θ em relação à direção da viga, como ilustrado ao lado. Quais são o módulo e o sentido da força horizontal que a dobradiça exerce sobre a viga?

a) P cos ⁡ θ ,   ←

b) P sin ⁡ θ , →

c) P cos ⁡ θ ,   →

d) P cos ⁡ θ sin ⁡ θ ,   ←

e) P sin ⁡ θ cos ⁡ θ ,   →

f) P 1 2 cos ⁡ θ ,   →

g) P sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ ,   ←

h) P cos ⁡ θ 2 sin ⁡ θ ,   ←

i) 0

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Passo 1

Vamos primeiro olhar nosso diagrama de forças:

Chamando a tensão na corda de T, nós vamos ter:

T y = T sin ⁡ θ

T x = T cos ⁡ θ

E ainda teremos o peso ali no centro de massa da barra.

O equilíbrio de forças verticais vai ficar:

F v + T y = P

F v + T sin ⁡ θ = P

E o equilíbrio de forças horizontais:

F h = T cos ⁡ θ

Ali na decomposição das forças já te dei spoiler da orientação de F h né, que é o que queremos descobrir. Já sabemos então que F h é para a esquerda, vamos descobrir o módulo dela agora.

Passo 2

Ó, eu vou fazer o somatório dos momentos com relação à extremidade direita da barra. Isso vai me dar mais uma equação pra ajudar a resolver o problema:

F v L - P L 2 = 0

F v = P / 2

Show! Agora vamos substituir:

F v + T sin ⁡ θ = P

P 2 + T sin ⁡ θ = P

T sin ⁡ θ = P 2

T = P 2 sin ⁡ θ

Agora vamos voltar laaaaa em Fh:

F h = T cos ⁡ θ

F h = P cos ⁡ θ 2 sin ⁡ θ

E pra esquerda, então a setinha tem que tá assim:

Resposta

Letra H.

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