Enunciado

Ao seguir um mapa do tesouro, você parte de um velho carvalho. Primeiro, caminha 825   m diretamente para o sul, depois vira e segue 1,25   k m a 30 ° do oeste para o norte e, finalmente, caminha 1,0   k m a 40 ° do norte para o leste, onde encontra o tesouro: uma biografia de Isaac Newton!

a) Para retornar ao velho carvalho, em que direção deve ir e qual distância deve percorrer? Use os componentes para resolver este problema.

b) Para conferir o seu cálculo na parte (a), desenhe uma solução gráfica aproximada em escala.

Passo 1

Oi, pessoal. Tudo bom?

Para resolver essa questão eu sugiro a gente começar pela letra b, pois assim a gente consegue ter um desenho do caminho percorrido e entender com mais facilidade os cálculos que serão feitos na letra a.

Vamos lá!

Passo 2

b) Repara que você anda em três direções diferentes seguindo o enunciado. Primeiro a gente vai para o sul (vetor azul - a → ), depois para oeste (vetor vermelho - b → ) e por fim para leste (vetor verde -   c → )

Esse vetor preto é o nosso vetor de deslocamento para voltar à origem ( - d → ).

Agora que entendemos a figura, vamos para letra a.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

  1. O problema nos descreve três trajetórias. A ideia aqui é colocar essas trajetórias dadas em um sistema de coordenadas e descobrir qual vetor melhor descreve cada uma. Vou chamá-las de vetores a → ,   b → e c → .

A soma desses vetores será outro vetor ( d → ), que é o nosso deslocamento total. Logo:

a → + b → + c → = d →

Esse vetor d → , é um vetor único que substitui todos os deslocamentos anteriores, como se estivéssemos indo diretamente do ponto inicial ao ponto final dessa trajetória.

Sendo assim, podemos pensar que para voltar à origem, após se deslocar d → , devemos nos deslocar no sentido contrário, certo? Logo, o que queremos é - d → .

E para descobrirmos a distância percorrida para voltar, precisamos apenas calcular o tamanho desse vetor - d → , ent��o queremos o módulo desse vetor:

- d → = ?

Bacana, não é?

Passo 4

(a) As trajetórias listadas no enunciado são:

-Caminhar diretamente para o sul por 825 m , ou seja, se associarmos o sul a parte negativa do eixo y , o vetor a → é

a → = - 825 j ^

- Seguir 1,25   k m a 30 ° do Oeste para o norte, ou seja, temos 30 ° a partir do eixo y positivo em direção ao eixo x negativo. Com isso, o vetor b → vai ter as duas componentes. A componente vertical está relacionada com o cosseno de 30 ° , no sentido positivo do eixo y , e a componente horizontal com o seno de 30 ° , pro lado negativo do eixo horizontal.

b → = 1250 ( - s e n 30 ° i ^ + c o s 30 ° j ^ )

- por fim, você caminha 1,0   k m a 40 ° do norte para o leste, ou seja, a partir da parte positiva do eixo x , temos 40 ° . Logo, o vetor c → terá também duas componentes. Ambas positivas: a componente horizontal relacionada com o cosseno de 40 ° e a vertical com o seno de 40 ° .

c → = 1000 ( c o s 40 ° i ^ + s e n 40 ° j ^ )

Bora para soma!

Passo 5

Agora vou adicionar a esses:

a → + b → + c → = d →

Em termos das componentes temos:

a x + b x + c x = d x a y + b y + c y = d y

Substituindo os valores das componentes temos o seguinte:

- 1250 s e n 30 + 1000 c o s 40 = d x

- 825 + 1250 c o s 30 + 1000 s e n 40 = d y

Ficamos com duas expressões: uma para cada componente do vetor d → que a gente ainda não conhece. Agora é só isolar a componente de d → em cada expressão e jogar tudo na calculadora:

d x = - 1250 s e n 30 + 1000 c o s 40 = 141

d y = - 825 + 1250 c o s 30 + 1000 s e n 40 = 900

Esse é o vetor que representa o que andamos até chegar no tesouro. Então, para voltar para a origem, precisamos fazer o caminho inverso, logo o - d → :

- d → : - 141 i ^ - 900 j ^

E o módulo do vetor - d → é:

d = d x 2 + d y 2 = - 141 2 + - 900 2 = 911 m

Estamos quase lá!

Passo 6

Então, precisamos andar mais 911 metros! Mas em qual direção? Isso a gente acha pelo ângulo!

Olha só o desenho desse vetor:

O ângulo em relação ao eixo y na parte é α e podemos achar a tangente desse ângulo, fazendo a razão entre as componentes horizontal e vertical, saca só:

t g α = d x d y = - 141 - 900

α = t g - 1 141 900 = 8,9 °

Então, devemos andar mais 911 metros na direção 8,9 ° de oeste para o sul.

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

a )   911 m ,   8,9 °

b )  

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