Enunciado

29- O campo magnético no interior de um solenoide retilíneo longo, com seção reta circular de raio R , está crescendo com uma taxa d B / d t .

( a ) Qual é a taxa de variação do fluxo magnético através de um círculo de raio r 1 no interior do solenoide, perpendicular ao eixo do solenoide e centralizada sobre seu eixo?

( b ) Calcule o módulo do campo elétrico induzido no interior do solenoide, a uma distância r 1 de seu eixo. Mostre a direção e o sentido desse campo em um diagrama.

( c ) Qual é o módulo do campo elétrico fora do solenoide, a uma distância r 2 de seu eixo?

( d ) Faça um gráfico do campo elétrico induzido em função da distância r de seu eixo, desde r = 0 até r = 2 R

( e ) Qual é o módulo da fem induzida em uma espira circular de raio igual a R / 2   que possui centro sobre o eixo da solenoide?

( f ) Qual será o módulo da fem induzida, se o raio da espira do item ( e ) for igual a R ?

( g ) E se o raio da espira do item ( e ) for igual a 2 R ?

Passo 1

O fluxo magnético dentro de um corpo qualquer é calculado por:

ϕ B = B A

E como o corpo tem área constante então a variação de fluxo magnético de acordo com a variação do campo magnético será de:

d ϕ B d t = A d B d t

Como o nosso corpo para a letra a é um círculo de raio r 1   (dentro da solenoide ainda) então a variação do fluxo magnético será :

d ϕ B d t = π r 1 2 d B d t

Passo 2

Já o cálculo para o módulo do campo elétrico será pela lei de Faraday:

∮ E → ⋅ d l → = - ϕ B d t

Onde ∫ d l será o comprimento do círculo que dista r 1 do eixo do cilindro onde passa a solenoide e onde r 1 < R , então teremos que ∫ d l = 2 π r 1 , então:

E ⋅ 2 π r 1 = - π r 1 2 d B d t

Então o módulo do campo elétrico será:

E = - r 1 2 d B d t

Tirando o módulo

E = r 1 2 d B d t

Passo 3

Já o campo elétrico a uma distância r 2 > R > r 1 :

| E | ⋅ 2 π r 2 = π R 2 d B d t

Pois o fluxo magnético para fora do corpo é o fluxo magnético produzido pelo raio do solenoide, ou seja d ϕ B d t = π R 2 d B d t

| E | = R 2 2 r 2 d B d t

Passo 4

O gráfico do campo elétrico (para a letra d ) tende a crescer numa reta E = x 2 onde x vai de 0 até R e depois que chega a R o mesmo decai num valor de C 2 2 x , com C sendo uma constante e x indo de R até infinito nos dando um gráfico parecido com:

Considere d B / d t como uma constante.

Passo 5

Na letra e , como estamos dentro da solenoide R 2 < R , então a fem será de:

ϵ = - d ϕ B d t

ϵ = - π R 2 4 ⋅ d B d t

Tirando o módulo:

ϵ = π R 2 4 ⋅ d B d t

E para a letra f caso o raio seja igual a R teremos:

ϵ = π R 2 ⋅ d B d t

E caso seja 2 R :

ϵ = π R 2 ⋅ d B d t

Pois a fem depende exclusivamente da área da espira que selecionamos, não tem o comprimento dela como no campo elétrico

Resposta

a )   d ϕ B d t = π r 1 2 d B d t

b )   E = r 1 2 d B d t

c )   | E | = R 2 2 r 2 d B d t

d )   G r á f i c o   d o   P a s s o   4

e )   ϵ = π R 2 4 ⋅ d B d t

f ) ϵ = π R 2 ⋅ d B d t

g ) ϵ = π R 2 ⋅ d B d t

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