Enunciado

38. Um bloco de 3,0   K g desliza ao longo de uma superfície horizontal sem atrito com uma velocidade de 7,0   m / s   (Figura 7-41). Após deslizar por uma distância de 2,0   m   , o bloco faz uma suave transição para uma rampa sem atrito inclinada a um ângulo de 40° com a horizontal. Qual a distância, ao longo da rampa, que o bloco percorre até atingir momentaneamente o repouso?

Passo 1

Olá, querido! Tá bem?

Então, o que ele diz é que temos um bloco de m = 3   k g com velocidade constante v = 7   m / s . Ele anda sobre um parte horizontal e depois chega numa rampa, onde ele atinge uma altura máxima e para.

Aí o que ele quer saber é o quanto esse carinha andou sobre a rampa até parar.

Vamos pensar no movimento do bloco em relação a energia dele, ok? Temos 3 momentos: quando o bloco está no começo da parte horizontal, no pé da rampa antes de subir e a altura máxima. Se liga no esqueminha:

Quando ele anda na parte horizontal, como não há atrito (como diz o enunciado diz), a velocidade não muda. Por isso v 0 = v 1 . E na altura máxima a velocidade dele é nula, logo v 3 = 0 .

E percebe que na altura h = 0 , temos o referencial de energia potencial gravitacional U = 0 .

Como no ponto 1 e 2 temos a mesma altura e velocidade, a gente pode comparar um desses dois pontos com o ponto 3, e descobrir a distância l percorrida pelo bloco. Comparar como? Usando a conservação de energia mecânica! Vamos ver como fazer isso!

Passo 2

Como não há atrito nem na parte horizontal e nem na rampa, podemos dizer que não há forças externas realizando trabalho sobre nosso bloquinho. E por isso, a energia mecânica do sistema é constante. Podemos então comparar o ponto 1 e o 3 da seguinte forma:

E 3 = E 1

Ou seja, a energia mecânica nesses dois pontos é igual.

Como a energia mecânica no caso do nosso bloquinho é soma da energia potencial gravitacional U e a energia cinética K , podemos escrever:

U 3 + K 3 = U 1 + K 1

( U 3 -   U 1 + K 3 - K 1 ) = 0

Agora, vamos as análises. Como no ponto final a velocidade é nula, e como a energia cinética é proporcional a velocidade, a energia cinética final vai ser nula K 3 = 0 . E como no ponto 1 a gente está em h = 0 , vamos ter energia potencial gravitacional nula U 1 = 0 .

Substituindo essas duas coisas na nossa equação:

- K 1 +   U 3 = 0

Passo 3

Agora é substituir na relação expressa anteriormente, as fórmulas relativas a energia potencial gravitacional final U 3 e a energia cinética inicial K 1 :

- K 1 +   U 3 = 0

- 1 2 m v 1 2 +   m g h = 0

h = v 1 2 2 g

Mas o que é esse h da fórmula? Bem, o h nada mais é do que a altura máxima que o bloco atinge na rampa. Só que a gente quer o l certo? Então vamos relacionar h e l usando trigonometria no triângulo da nossa figura. Podemos dizer que

s e n   θ = h l → h = l   s e n   θ

Substituindo isso na nossa equação acima:

h = v 1 2 2 g

l s e n θ = v 1 2 2 g

Isolando quem a gente quer:

l = v 1 2 2 g s e n θ

Basta substituir os valores numéricos:

l = v 1 2 2 g s e n θ

l = ( 7,0   m / s ) 2 2 ( 9,81   m / s ² ) ( s e n   40 ° )

l ≅ 3,9 m

Resposta

O bloco percorre uma distância igual a l ≅ 3,9 m .

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